第一章 有理数 章节（12知识点回顾+20题型巩固）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

第一章 有理数 章节（12知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数和负数 2.0的特殊性 3.相反意义的量 4.有理数的相关概念 5.有理数的分类 6.数轴 7.数轴上的点与有理数的关系 8.相反数 9.多重符号的化简 10.绝对值 11.绝对值的非负性 12.有理数的大小比较 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、有理数的分类 六、带“非”字的有理数 七、数轴的三要素及其画法 八、用数轴上的点表示有理数 九、利用数轴比较有理数的大小 十、数轴上点的平移（动点问题） 十一、数轴上整点覆盖问题 十二、数轴上的规律探究 十三、相反数的定义 十四、化简多重符号 十五、绝对值的几何意义 十六、求一个数的绝对值 十七、绝对值非负性 十八、绝对值的其他应用 十九、有理数大小比较 二十、有理数大小比较的实际应用 知识梳理 知识点1.正数和负数“+”号一般省略不写，如2，2.25，，…都是正数 1. 定义 正数：像3 ，1 .8%，3 .5 这样大于0 的数叫作正数.有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数前面加上符号“+”(读作“正”)，如+2，+2.2 5 ，+ ，… . 负数：像－3，－2.7%，－4.5，－1 .2 这样在正数前加上符号“－”(负号)的数叫作负数.这些数前面的“-”号不能省略 2.数的符号：一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号， 其中“＋”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3. 符号“＋”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号. 知识点2.0的特殊性 1.0 既不是正数，也不是负数. 2.0 的多重意义 (1)表示没有，如0 支笔，0 本书； (2)0 是正数与负数的分界； (3) 在现实生活中，0 是某些实际的量的分界，如在温度中，0℃是零上和零下的分界； (4)0 表示某些实际的量的基准，如在标准大气压下0℃表示水开始结冰的温度，海平面的海拔为0 米等； (5)0 表示起点，如直尺、米尺上刻度的起点为0； (6)0 起到占位作用，如“ 106 ”中，0 表示0 个十，不能省略. 知识点3.相反意义的量 1. 定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量. 具有相反意义的量的特点 解读与举例 成对性 “相反”是相互的，单独的一个量不能称为相反意义的量，如增加5 元 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如上升3 m和亏损3 元不是同类量，不具备相反意义 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，重在意义相反，如伸长3 cm 与缩短2 cm 是一对相反意义的量，与具体长度无关 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 规定 对于具有相反意义的两个量，若其中一个量用正数表示，则另一个量用负数表示 举例 若规定向东走100 m 记作＋100 m，则向西走200 m 记作－200 m 3. 用正数、负数表示具有相反意义的量的步骤 第一步：定基准→起始位置或开始变化时刻的值； 第二步：找相反→找具有相反意义的词； 第三步：定正负→确定一个量为“＋”； 第四步：写结果→用正数、负数表示出具有相反意义的量. 知识点4.有理数的相关概念 1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… . 2. 分数：正分数、负分数统称为分数，如3，0 .3，－1.2 5 ，－，0.2，… . 特别说明：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数. 3. 有理数：可以写成分数形式的数称为有理数.无限不循环小数不能用分数的形式表示 特别提醒 有理数都可以写成分数的形式，整数可以看成是分母为1 的分数. 4. 部分常用的数的名称 名称 特征 正有理数 正整数和正分数 非正有理数 0、负整数、负分数 正整数 1. 符号为正；2. 整数 非负整数 正整数和0 正分数 1. 符号为正；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非负数 正数和0 奇数 1，3，5，⋯和－1，－3，－5，⋯ 负有理数 负整数和负分数 非负有理数 0、正整数、正分数 负整数 1. 符号为负；2. 整数 非正整数 负整数和0 负分数 1. 符号为负；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非正数 负数和0 偶数 2，4，6，⋯和－2，－4，－6，⋯ 知识点5.有理数的分类 1. 分类: 有理数分为正有理数、0、负有理数. 说明：可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数，不要忽略0 . 2. 拓展：数的集合 (1)定义：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合.必须是符合条件的所有数，不能遗漏. (2)集合的两种常见形式 省略号表示集合有无数个元素. 知识点6.数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(如图1.2-2). 数轴的三要素 原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 2. 画数轴的步骤 步骤 图示 (1)画直线，取原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点. (2)标正方向：通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，用箭头表示出来，箭头标在画出部分的最右边(或最上边)，则从原点向左(或下)为负方向. (3)选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…. 知识点7.数轴上的点与有理数的关系 数轴上的每一个点都表示一个数，有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数. 如π 可以用数轴上的点表示，但π 不是有理数. 知识点8.相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数. 特别解读 1.“ 只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3.数轴上与原点的距离是( 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数. 2. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即 的相反数是－，其实质是改变这个数的符号. a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0 3. 相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个； 正数的相反数是负数； 负数的相反数是正数； 0 的相反数是0 . 4. 相反数的几何意义 如图1.2－10 ，设是一个正数，把和它的相反数－ 表示在数轴上，它们分别在正、负半轴上，且到原点的距离都是. 反之，数轴上到原点的距离是的点有两个，它们分别在正、负半轴上，这两点表示的数互为相反数. 知识点9.多重符号的化简 1. 多重符号化简的依据 的相反数为－. 1. a可以是正数，0或负数. 2. 当a 是一个负数时，－a是正数，故带负号的数不一定是负数. 2. 多重符号的化简 根据相反数的性质由内向外化简. 当前面的符号是“＋”号时，省略“＋”号直接写；当前面的符号是“－”号时，去掉“－”号，写出括号内的数的相反数. 知识点10.绝对值 1. 定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作||. 读作“ 的绝对值”. 2. 性质由于绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能是负数 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0 . 即：(1)如果＞ 0，那么||=； (2)如果=0，那么||=0； (3)如果 ＜ 0，那么||=－. 知识点11.绝对值的非负性 1. 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数 . 2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0 是绝对值最小的数， 即：若| |= ，则 ≥ 0；若| |=－ ，则 ≤0 . 3. 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：若| |= | b | ，则=b 或=－b. 知识点12.有理数的大小比较 1. 用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：左边的数小于右边的数. 2. 用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0 大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 两数同号考虑绝对值 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号考虑正负 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列数中，属于负数的是（    ） A．2025 B．0 C．0.25 D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 题型二、相反意义的量 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·开学考试）如果在银行存入200元记作元，那么，从银行取出160元记作（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）在横线上填上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量． （1）库存增加千克与 千克； （2）小红家这个月收入元与 元． 题型三、正负数的实际应用 5．（25-26七年级上·全国·周测）体育课上“引体向上”项目男生满分标准为15次，若训练时小航把17次记为，则小千记为是 次． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 请你计算该火锅店这周共盈利多少元． 题型四、有理数的定义 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．0.1010010001… D．0 8．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 题型五、有理数的分类 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）将，，，，，分为两类，使这两类所含数的个数相等，则应分为 ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的括号内：，0，，，7，，，． 整数：{                  }； 分数：{                  }； 正数：{                  }； 负数：{                  }． 题型六、带“非”字的有理数 11．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）有理数， ， 0，， ， 中， 非负数有 个． 12．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数分别填在它所在的集合里：，，2004，，，，0，6.2． (1)正有理数集合：{__________________…} (2)负有理数集合：{__________________…} (3)非负整数集合：{__________________…} 题型七、数轴的三要素及其画法 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 题型八、用数轴上的点表示有理数 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上四点M，N，P，Q中表示负整数的点是 ． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）画一条数轴，并在数轴上描出表示下列各数的点： 1.5，，，2，． 题型九、利用数轴比较有理数的大小 17．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所表示的数最小的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）点A，B在数轴上的位置如下图所示，它们分别表示数a，b． (1)请将a，b，1，四个数按从小到大的顺序排列起来． (2)若将点B向右移动3个单位长度，则将a，b，三个数按从小到大的顺序排列起来． 题型十、数轴上点的平移（动点问题） 19．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 题型十一、数轴上整点覆盖问题 20．（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点有 个． 题型十二、数轴上的规律探究 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 23．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 题型十三、相反数的定义 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，与互为相反数，则与的关系是 ． 25．（25-26七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的相反数：，，，，，，，． 题型十四、化简多重符号 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列化简中，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 题型十五、绝对值的几何意义 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）若有理数a满足，且，则a的值为 ． 题型十六、求一个数的绝对值 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）计算：① ；② ， ；③ ， ． （2）比较大小： 0． 题型十七、绝对值非负性 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 32．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 题型十八、绝对值的其他应用 33．（2025·浙江温州·二模）工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 （1）请你指出哪几号排球符合要求． （2）请你对6个排球按照最好到最差排名． 题型十九、有理数大小比较 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）在有理数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）比较下列各对数的大小： (1)与0． (2)与． (3)与． 题型十二、有理数大小比较的实际应用 37．（2025·四川成都·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）“霜降”是秋季的最后一个节气，“霜降”之后气温骤降、昼夜温差更大，今年霜降后的某天，本市清徐、阳曲、娄烦、古交四个县市的最低气温分别是：、、、，其中最低温度是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 章节（12知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数和负数 2.0的特殊性 3.相反意义的量 4.有理数的相关概念 5.有理数的分类 6.数轴 7.数轴上的点与有理数的关系 8.相反数 9.多重符号的化简 10.绝对值 11.绝对值的非负性 12.有理数的大小比较 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、有理数的分类 六、带“非”字的有理数 七、数轴的三要素及其画法 八、用数轴上的点表示有理数 九、利用数轴比较有理数的大小 十、数轴上点的平移（动点问题） 十一、数轴上整点覆盖问题 十二、数轴上的规律探究 十三、相反数的定义 十四、化简多重符号 十五、绝对值的几何意义 十六、求一个数的绝对值 十七、绝对值非负性 十八、绝对值的其他应用 十九、有理数大小比较 二十、有理数大小比较的实际应用 知识梳理 知识点1.正数和负数“+”号一般省略不写，如2，2.25，，…都是正数 1. 定义 正数：像3 ，1 .8%，3 .5 这样大于0 的数叫作正数.有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数前面加上符号“+”(读作“正”)，如+2，+2.2 5 ，+ ，… . 负数：像－3，－2.7%，－4.5，－1 .2 这样在正数前加上符号“－”(负号)的数叫作负数.这些数前面的“-”号不能省略 2.数的符号：一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号， 其中“＋”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3. 符号“＋”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号. 知识点2.0的特殊性 1.0 既不是正数，也不是负数. 2.0 的多重意义 (1)表示没有，如0 支笔，0 本书； (2)0 是正数与负数的分界； (3) 在现实生活中，0 是某些实际的量的分界，如在温度中，0℃是零上和零下的分界； (4)0 表示某些实际的量的基准，如在标准大气压下0℃表示水开始结冰的温度，海平面的海拔为0 米等； (5)0 表示起点，如直尺、米尺上刻度的起点为0； (6)0 起到占位作用，如“ 106 ”中，0 表示0 个十，不能省略. 知识点3.相反意义的量 1. 定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量. 具有相反意义的量的特点 解读与举例 成对性 “相反”是相互的，单独的一个量不能称为相反意义的量，如增加5 元 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如上升3 m和亏损3 元不是同类量，不具备相反意义 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，重在意义相反，如伸长3 cm 与缩短2 cm 是一对相反意义的量，与具体长度无关 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 规定 对于具有相反意义的两个量，若其中一个量用正数表示，则另一个量用负数表示 举例 若规定向东走100 m 记作＋100 m，则向西走200 m 记作－200 m 3. 用正数、负数表示具有相反意义的量的步骤 第一步：定基准→起始位置或开始变化时刻的值； 第二步：找相反→找具有相反意义的词； 第三步：定正负→确定一个量为“＋”； 第四步：写结果→用正数、负数表示出具有相反意义的量. 知识点4.有理数的相关概念 1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… . 2. 分数：正分数、负分数统称为分数，如3，0 .3，－1.2 5 ，－，0.2，… . 特别说明：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数. 3. 有理数：可以写成分数形式的数称为有理数.无限不循环小数不能用分数的形式表示 特别提醒 有理数都可以写成分数的形式，整数可以看成是分母为1 的分数. 4. 部分常用的数的名称 名称 特征 正有理数 正整数和正分数 非正有理数 0、负整数、负分数 正整数 1. 符号为正；2. 整数 非负整数 正整数和0 正分数 1. 符号为正；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非负数 正数和0 奇数 1，3，5，⋯和－1，－3，－5，⋯ 负有理数 负整数和负分数 非负有理数 0、正整数、正分数 负整数 1. 符号为负；2. 整数 非正整数 负整数和0 负分数 1. 符号为负；2. 分数或有限小数或无限循环小数 非正数 负数和0 偶数 2，4，6，⋯和－2，－4，－6，⋯ 知识点5.有理数的分类 1. 分类: 有理数分为正有理数、0、负有理数. 说明：可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数，不要忽略0 . 2. 拓展：数的集合 (1)定义：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合.必须是符合条件的所有数，不能遗漏. (2)集合的两种常见形式 省略号表示集合有无数个元素. 知识点6.数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(如图1.2-2). 数轴的三要素 原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 2. 画数轴的步骤 步骤 图示 (1)画直线，取原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点. (2)标正方向：通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，用箭头表示出来，箭头标在画出部分的最右边(或最上边)，则从原点向左(或下)为负方向. (3)选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…. 知识点7.数轴上的点与有理数的关系 数轴上的每一个点都表示一个数，有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数. 如π 可以用数轴上的点表示，但π 不是有理数. 知识点8.相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数. 特别解读 1.“ 只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3.数轴上与原点的距离是( 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数. 2. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即 的相反数是－，其实质是改变这个数的符号. a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0 3. 相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个； 正数的相反数是负数； 负数的相反数是正数； 0 的相反数是0 . 4. 相反数的几何意义 如图1.2－10 ，设是一个正数，把和它的相反数－ 表示在数轴上，它们分别在正、负半轴上，且到原点的距离都是. 反之，数轴上到原点的距离是的点有两个，它们分别在正、负半轴上，这两点表示的数互为相反数. 知识点9.多重符号的化简 1. 多重符号化简的依据 的相反数为－. 1. a可以是正数，0或负数. 2. 当a 是一个负数时，－a是正数，故带负号的数不一定是负数. 2. 多重符号的化简 根据相反数的性质由内向外化简. 当前面的符号是“＋”号时，省略“＋”号直接写；当前面的符号是“－”号时，去掉“－”号，写出括号内的数的相反数. 知识点10.绝对值 1. 定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作||. 读作“ 的绝对值”. 2. 性质由于绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能是负数 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0 . 即：(1)如果＞ 0，那么||=； (2)如果=0，那么||=0； (3)如果 ＜ 0，那么||=－. 知识点11.绝对值的非负性 1. 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数 . 2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0 是绝对值最小的数， 即：若| |= ，则 ≥ 0；若| |=－ ，则 ≤0 . 3. 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：若| |= | b | ，则=b 或=－b. 知识点12.有理数的大小比较 1. 用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：左边的数小于右边的数. 2. 用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0 大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 两数同号考虑绝对值 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号考虑正负 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列数中，属于负数的是（    ） A．2025 B．0 C．0.25 D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，小于0的数为负数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：负数是指小于的数． 选项A：是正整数，大于，属于正数，不符合； 选项B：既不是正数也不是负数，不符合； 选项C：是正小数，大于，属于正数，不符合； 选项D：带有负号，表示比小个单位，属于负数，符合． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：，，，； （2）负数有：，，； （3）既不是正数也不是负数的是0． 故答案为：（1），，，；（2），，；（3）0． 题型二、相反意义的量 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·开学考试）如果在银行存入200元记作元，那么，从银行取出160元记作（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量．存入银行记为正，则取出就为负，由此直接表示即可． 【详解】解：∵在银行存入200元记作元， 从银行取出160元记作元， 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）在横线上填上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量． （1）库存增加千克与 千克； （2）小红家这个月收入元与 元． 【答案】 减少 支出 【知识点】相反意义的量 【分析】此题考查了实际问题中具有相反意义的量的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识．根据增加与减少、收入与支出分别表示相反的意义进行求解． 【详解】解：（1）∵增加与减少表示相反的意义， ∴库存增加千克与减少千克是一对意义相反的量， 故答案为：减少 （2）∵收入与支出表示相反的意义， ∴小红家这个月收入元与支出元是一对意义相反的量， 故答案为：支出 题型三、正负数的实际应用 5．（25-26七年级上·全国·周测）体育课上“引体向上”项目男生满分标准为15次，若训练时小航把17次记为，则小千记为是 次． 【答案】12 【知识点】正负数的实际应用 【分析】以男生满分标准为15次为基准，超过的次数记为正，不足的次数记为负. 【详解】解：体育课上“引体向上”项目男生满分标准为15次，若训练时小航把17次记为，则小千记为是（次） 故答案为：12． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 请你计算该火锅店这周共盈利多少元． 【答案】3750元 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负号在题目中所代表的含义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，这周每天的盈利分别为元、元、元、元、元、元、元， 所以该火锅店这周共盈利（元）； 故答案为：该火锅店这周共盈利元． 题型四、有理数的定义 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．0.1010010001… D．0 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数，解题关键在于掌握定义. 根据有理数的定义，判断各选项是否为有理数。 【详解】有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。 A： 是整数，属于有理数。 B： 是无限循环小数，可表示为分数，属于有理数。 C： 的小数部分无循环节，是无限不循环小数，属于无理数。 D：是整数，属于有理数。 综上，只有选项C不是有理数。 故选：C. 8．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 【答案】，，，；，，，；， ； 【知识点】有理数的定义 【分析】分别根据整数、非负整数、正分数的定义得出即可． 【详解】解：整数集：，，，； 非负整数集：，，，； 正分数集：， ； 故答案为：，，，；，，，；，. 【点睛】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握相关的定义是解题关键． 题型五、有理数的分类 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）将，，，，，分为两类，使这两类所含数的个数相等，则应分为 ． 【答案】正数和非正数（或整数和分数） 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，关键掌握分类的方式，结合题目，找出符合条件的分类方式. 根据有理数的不同性质和形式进行分类，使两类数的个数相等，这里给出两种常见的分类方式：正数和非正数，整数和分数. 【详解】解：根据正数和非正数分类： 正数是大于0的数，非正数是小于等于0的数. 所以正数有：， 非正数有：， 可以看到正数和非正数都有3个，个数相等. 根据整数和分数分类： 整数有：， 分数有：， 可以看到整数和分数都有3个，个数相等. 故答案为：正数和非正数（或整数和分数）. 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的括号内：，0，，，7，，，． 整数：{                  }； 分数：{                  }； 正数：{                  }； 负数：{                  }． 【答案】整数：；分数：；正数：；负数： 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了有理数，弄清有理数的分类是解本题的关键. 据有理数的分类即可填写： 数字前面带“”号或不带号的为正数；数字前面带“”号为负数； 0既不是正数也不是负数；0和正整数是自然数；负整数、0和正整数合称为整数；由此进行分类即可. 【详解】解：整数：； 分数：； 正数：； 负数：． 题型六、带“非”字的有理数 11．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）有理数， ， 0，， ， 中， 非负数有 个． 【答案】3 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查有理数，牢记非负数的定义（正数和）是解题的关键．非负数包括正数和，据此即可求得答案． 【详解】解：非负数包括正数和， 则非负数为：，，共个． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数分别填在它所在的集合里：，，2004，，，，0，6.2． (1)正有理数集合：{__________________…} (2)负有理数集合：{__________________…} (3)非负整数集合：{__________________…} 【答案】(1)2004，，，6.2 (2)，， (3)2004，0 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】（1）解：正有理数集合：{2004，，，6.2，…}， 故答案为：：2004，，，6.2； （2）解：负有理数集合：{，，，…}， 故答案为：，，； （3）解：非负整数集合：{2004，0，…}， 故答案为：2004，0． 题型七、数轴的三要素及其画法 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴），是正确判断的前提. 根据数轴的定义对各选项进行分析判断利用排除法求解. 【详解】解：A、单位长度不统一，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、没有原点，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意. 故选： D． 14．（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【知识点】数轴的三要素及其画法 【详解】解:作图如下： 题型八、用数轴上的点表示有理数 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上四点M，N，P，Q中表示负整数的点是 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数的方法，数形结合是解题的关键； 根据图形，可得数轴上四点M，N，P，Q表示的数，进而可得结果． 【详解】由图可知，点M表示数，点N表示的数在和0之间，点P表示数0，点Q表示数1， 数轴上四点M，N，P，Q中表示负整数的点是M． 故答案为：M． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）画一条数轴，并在数轴上描出表示下列各数的点： 1.5，，，2，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，先画出数轴，再在数轴上描出各点即可，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：在数轴上描出表示下列各数的点如图所示： ． 题型九、利用数轴比较有理数的大小 17．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所表示的数最小的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小． 根据“数轴上右边的数总比左边的大”，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可知，点A位于最左侧，故点A表示的数最小， 故选：A． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）点A，B在数轴上的位置如下图所示，它们分别表示数a，b． (1)请将a，b，1，四个数按从小到大的顺序排列起来． (2)若将点B向右移动3个单位长度，则将a，b，三个数按从小到大的顺序排列起来． 【答案】（1）; （2）. 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，能够熟练掌握数轴上右边的点表示的数总是比左边的点表示的数大是解决本题的关键. （1）根据数轴可知与的大小关系，根据题目要求的顺序排列即可； （2）判断点移动后的大小，并与进行比较，按题目顺序排列即可. 【详解】解：（1）由题图可得，． （2）点向右移动个单位长度后，则的大小关系为． 题型十、数轴上点的平移（动点问题） 19．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 题型十一、数轴上整点覆盖问题 20．（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】根据题意，与的两点之间，表示整数点的有，解答即可． 本题考查了数轴上整数点问题，熟练掌握整数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得与的两点之间，表示整数点的有，有5个， 故选：C． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点有 个． 【答案】或/或 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查数轴上整点覆盖问题，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论．根据题意，按照端点是否为整点进行分类讨论即可． 【详解】解：若点所在位置不是整点，则线段盖住的整点有个， 若点所在位置是整点，则线段盖住的整点有个， 故答案为：或． 题型十二、数轴上的规律探究 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 23．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 题型十三、相反数的定义 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，与互为相反数，则与的关系是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，深刻理解相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义可得，进而求得． 【详解】解：与互为相反数，与互为相反数， ，． ． 与的关系是：． 故答案为： 25．（25-26七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的相反数：，，，，，，，． 【答案】，，8，，，，100， 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐项求解即可． 【详解】解：的相反数为， 6的相反数为， 的相反数为8， 的相反数为， 的相反数为， 10的相反数为， 的相反数为100， 的相反数为． 题型十四、化简多重符号 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列化简中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【详解】本题考查符号化简的基本规则，需根据括号前的正负号对括号内的数进行符号判断. A、（负负得正），但选项结果为，选项错误，不符合题意. B、（正号前的负号使结果变负），选项正确，符合题意. C、（正号不改变数的符号），但选项结果为，选项错误，不符合题意. D、（中括号内化简为，再取负得），但选项结果为，选项错误，不符合题意. 故选：B. 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 9 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了去括号，括号前是正号，去掉括号后，括号内的数不变，括号前是负号，去掉括号后，括号内的数要变号. 观察括号前是正号还是负号来进行化简. 【详解】解：（1）括号前一个号，括号里的数+3.15要变号，即， 故答案为：. （2）括号前一个号，括号里的数要变号，即， 故答案为：. （3）先去小括号，小括号前是“+”号，括号里的数不变号，即，再去中括号，括号前是，括号里的数要变号，即， 故答案为：9. （4）先去小括号，小括号前是号，括号里的数要变号，即，再去中括号，括号前是，括号里的数12要变号，即， 故答案为：. 题型十五、绝对值的几何意义 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）若有理数a满足，且，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据可得，再结合，进而可得的值． 【详解】解：， ． 又， ． 故答案为： 题型十六、求一个数的绝对值 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值相等的数可能有两个，互为相反数；已知，计算的值，再根据确定的可能值． 【详解】解：已知，则； 由，得，因此或，即． 故答案为：D． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）计算：① ；② ， ；③ ， ． （2）比较大小： 0． 【答案】 0 6 7 8 9 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． （1）根据绝对值的概念求解即可． （2）根据绝对值的非负性，即． 【详解】解：（1）①； ②；； ③；； （2） 当时， 当时， 当时， 所以． 故答案为：① 0 ；② 6；③ 7 ；④ 8；⑤ 9；（2）． 题型十七、绝对值非负性 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】要找到表达式的最小值，需分析绝对值的取值范围及其对表达式的影响。 【详解】解：因为当最小时，的值最小， 所以当时，的最小值是. 故选C. 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，解题的关键是理解任意一个数的绝对值都是非负数. 32．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．先求出a、b的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 又， ， ， ∴． 则． 题型十八、绝对值的其他应用 33．（2025·浙江温州·二模）工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， ∵ ∴最接近标准质量的是， 故选：C． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 （1）请你指出哪几号排球符合要求． （2）请你对6个排球按照最好到最差排名． 【答案】(1)2号和6号 (2)排球按照最好到最差的排名为6号、2号、4号、5号、3号、1号 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握如何去绝对值是解题的关键； （1）根据题干的允许误差与表格中的误差进行比较，即可得到符合要求的序号， （2）比较六个排球的误差绝对值大小，可以得到排球质量好坏排名. 【详解】解：（1）故符合要求的有号和号． （2），，， ，，． 因为， 数越小，代表排球的质量越好， 所以排球按照最好到最差的排名为号、号、号、号、号、号． 题型十九、有理数大小比较 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）在有理数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的知识点，熟练掌握正负数的性质、正数之间的比较、负数间的比较是解题的关键． 比较有理数的大小，首先区分正负数，正数大于负数；再分别比较正数中的最大值和负数中的最大值，最终确定整体最大值. 【详解】首先区分正负数，负数：、；正数：、 ∵正数一定大于负数， ∴最大值在正数中， 故选项A和选项B不符合题意； 其次比较正数中最大的数， 对于和，分子相同，分母 根据“分子相同分母小的数大”，可得 ∴最大的数应为. 故选：D． 36．（2025七年级上·全国·专题练习）比较下列各对数的大小： (1)与0． (2)与． (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数大小比较 【分析】（1）根据相反数定义进行化简后，再根据负数小于0判断即可. （2）根据相反数的定义以及绝对值的性质化简后，再根据正数大于负数判断即可. （3）根据相反数的定义以及绝对值的性质化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行判断即可. 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以，即． 题型十二、有理数大小比较的实际应用 37．（2025·四川成都·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较四个数值的绝对值大小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是D足球； 故选D． 38．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）“霜降”是秋季的最后一个节气，“霜降”之后气温骤降、昼夜温差更大，今年霜降后的某天，本市清徐、阳曲、娄烦、古交四个县市的最低气温分别是：、、、，其中最低温度是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵ ∴最低温度是， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$