28.3.2 圆周角-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

28.3.2 圆周角 课题 圆周角 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P155--159 教学目标 1.了解圆周角的定义,会在具体情景中辨别圆周角. 2.掌握圆周角定理及推论，并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明. 教学重难点 重点：圆周角的概念以及圆周角定理和推论. 难点：圆周角定理的证明中采用的分类思想及由一般到特殊的数学思想方法. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习提问: 1.圆心角是如何定义的? 答：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.圆心角与其所对的弦、弧的关系是什么? 答：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等. 在同圆或等圆中，两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等. 3.如图，∠DAB与∠DCB是不是圆心角?它们有什么特点? 答：∠DAB与∠DCB不是圆心角。它们的顶点在圆上，角的两边都与圆相交。 这些顶点在圆周，两边和圆相交的角就是我们这节课要学习的圆周角，让我们一起探究这些角与圆心角之间的关系吧! 通过从具体生活情境出发, 使学生意识到数学与生活密不可分,激发学生学习兴趣,在实际问题中画出图形,建立数学模型,通过观察、归纳题目中角的特征，很自然地导出圆周角的概念. 2.实践探究，学习新知 一、圆周角的概念 【定义】 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 【针对练习】 观察下列图形中的角都是圆周角吗? 解答：图(1)中∠APB是圆周角，图(2)和图(3)中∠AQB,∠ARB不是圆周角，图(4)中的∠ASB是圆周角，而∠ASC不是圆周角。 【要点提示】强调圆周角必须满足两个条件： 一是顶点在圆上，二是两边都与圆相交，二者缺一不可. 二、圆周角定理 1.通过圆周角的概念和度量的方法回答下列问题（出示小黑板）： （1）一条弧所对的圆周角的个数有多少个？ （2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ （3）同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？ 【答案】（1）一条弧所对的圆周角的个数有无数个。 （2）通过度量，我们可以发现：同弧所对的圆周角是没有变化的。 （3）通过度量，我们可以发现，同弧上的圆周角是圆心角的一半。 2. 画一画 请同学们动手画出⊙O中BC所对的圆周角．观察BC所对的圆周角与圆心O有几种位置关系？ 学生动手在纸上操作，得出结论。 圆周角与圆心的位置关系：⑴圆心在角的一边上；⑵圆心在角的内部；⑶圆心在角的外部。 3. 分类讨论，验证猜想 对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？能否考虑从特殊情况入手试一下。 圆周角一边经过圆心． 由下图可知，显然∠APB＝∠AOB，结论成立． （1）已知：如上图，⊙O中，所对的圆周角是∠APB，圆心角是∠AOB． 求证：∠APB＝∠AOB． 证明：∵∠AOB是△APO的外角， ∴∠AOB＝∠APB＋∠PAO． ∵OA＝OP，∴∠APB=∠PAO． ∴∠AOB＝2∠APB． 即∠APB＝∠AOB． （2）如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？ 【解答】如图1，点O在∠APB内部时，只要作出直径PD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知： ∵∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD， ∴∠APD＋∠BPD＝(∠AOD＋∠BOD)， 即∠APB＝∠AOB． 在图2中，当点O在∠APB外部时，仍然是作出直径PD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可． 由前面的结果，有∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD． ∴∠BPD－∠APD＝(∠BOD－∠AOD)， 即∠APB＝∠AOB． 【归纳结论】 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 【归纳】同弧（等弧）所对的圆周角相等 重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”． 问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识） 三、例题讲解 【例题讲解】 例2 如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB=46°，求∠ACB的度数。 解：如图，连接OB. ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA. ∵∠OAB=46°， ∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°. ∴∠ACB=∠AOB=44°. 【变式训练】如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径,且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长. 解：如图，连接DC, 则∠ADC=∠ABC=∠CAD，故AC=CD. ∵AD是直径，∴∠ACD=90°， ∴AC2+CD2=AD2, 即2AC2=36，AC2=18，AC=3. 四、圆周角定理的推论 【问题展示】 1.直径所对的圆周角是多少度?请说明理由. 答：直径所对的圆心角是180°。根据圆周角定理可得,直径所对的圆周角是所对的圆心角180°的一半，即直径所对的圆周角是90°。 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗?请说明理由. 答：根据圆周角定理可得，90°的圆周角所对的弧所对的圆心角是180°，即90°的圆周角所对的弦是直径。 【结论】 直径所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径. 【知识拓展】 1.定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把“同一条弧”这一前提条件省略. 2.计算圆周角时，常转化为计算同弧所对的圆心角解决. 3.根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形的性质解决有关问题. 根据角的特点归纳圆周角的概念,通过抢答判断图中的角是不是圆周角，活跃课堂气氛,加深对圆周角概念的理解和掌握. 动手、猜想和预见是学生的天性，抓住学生这个心理采取，“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，唤起他们在课堂上主动探索，构建知识. 通过让学生亲自画出圆周角，试着找出圆心与圆周角的三种位置关系。 由实验、观察等方法得出的猜想，其正确性需要进一步验证，让学生体验数学的严谨性。学生发言，锻炼了学生的语言表达能力和说理能力. “同弧”能否改成“同弦”呢？这一问题的设置培养了学生思维的严密性及对圆周角概念的进一步理解。 例题的目的是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解． 【变式训练】巩固圆周角定理及其推论，通过讲解让学生明白在解圆的有关问题时，有时需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。 学生独立思考后小组交流结果，并在小组内解决自己未解决的问题，教师及时帮助有困难的学生，学生展示后，教师点评，师生共同归纳结论. 通过问题形式探究圆周角定理的推论，感受类比思想,体会知识的内在联系,同时让学生体会运用定理解决特殊性问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 圆周角定理 练习1 如图，点A，B，C在⊙O上，△AOB为等边三角形.求∠ACB的度数. 解：由图可知，∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角。 由圆周角定理可知，∠ACB=∠AOB. 而△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°， ∴∠ACB=30°. 考点2 圆周角定理的推论 练习2 如图，指出哪个图形中的线段AB是圆的直径，并说明理由. 解：根据圆周角的推论可知：90°的圆周角所对的弦是直径. 观察上面三图，∠ACB都是直角，也就是说，∠ACB=90°， 只需∠ACB是圆周角，即可说明线段AB是圆的直径. 三个图中，只有图（1）中，∠ACB是圆周角， 所以，图（1）中的线段AB是圆的直径，其他两个都不是. 巩固圆周角定理及其推论，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1．如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，内接于，为的直径．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 答案：B 3．如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 4．如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（    ）    A． B． C．4 D． 答案：D 5．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则 °． 答案：50 6．如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为 ． 答案：40° 7．如图，内接于⊙O，已知，，则的半径为 ． 答案： 5 解析：如图，连接，， ∵，∴， ∵，∴， 在中，， ∴， ∴的半径为5. 8．如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 答案：5 解析：如图，连接，    为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ，，， ，. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.圆周角的概念. 2.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 4.本节课数学思想方法:分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P158--159习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 28.3　圆心角 1.顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本节课我设计了问题情境——自学探究——拓展应用的课堂教学模式，以学生自学探究为主，教师引导点播为辅的方式教学．在教学过程中，教师将问题式教学法，启发式教学法，探究式教学法，情境式教学法，互动式教学法等多种教学方法融为一体，注重教学与生活的联系，创设富有挑战性的问题情境，引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想．教学中注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主体作用．运用适度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，不仅“学会”，而且“会学”,“乐学”．引导学生采用动手实践，自主探究，合作交流的学习方法进行学习，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发现新知，发展能力．与此同时，教师通过适时的点拨、精讲，使观察、猜想、实践、归纳、推理、验证贯穿于整个学习过程之中． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$