27.1 反比例函数-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

27.1 反比例函数 课题 反比例函数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P128-130 教学目标 1.理解反比例函数的概念. 2.能根据反比例函数的概念判断一个函数是否为反比例函数. 3.会求反比例函数的表达式，并确定自变量的取值范围. 教学重难点 重点：掌握反比例函数的定义及形式. 难点：能根据已知条件确定反比例函数表达式. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.函数的定义：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.一次函数与正比例函数：一般地，形如y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数. 3.二次函数：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数. 【导入新课】 同一条铁路线上，因为不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢. 速度v,时间t与路程s之间满足的关系是什么？ （1）如果速度v一定，那么路程s与时间t是什么函数关系? （2）如果时间t一定,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系? （3）如果路程s一定，那么速度v和时间t又是什么关系呢? 师生活动：教师展示上面的问题，学生独立思考后进行解答： （1） s＝vt，正比例函数关系； （2） （2）s＝vt，正比例函数关系； （3），是函数关系 学生思考：这个函数是不是我们前边学过的函数？ 回顾复习函数的定义，以及学过的几种函数. 通过对现实生活和数学中问题的分析，发现变量间的反比例关系和函数关系，从而引出反比例函数的学习和探究. 2.实践探究，学习新知 【做一做】 回答下列问题： 1.要制作容积为15 700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=　　　 ,用h表示S的函数表达式为　　 . 2.自行车运动员在长为10 000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=　　　　,用t表示v的函数表达式为　　　. 3.若y与x的乘积为-2,则用x表示y的函数表达式为　　　. 答案：1. 15 700； 2. 10 000； 3. 教师活动：提出以下问题. 1.由上面的问题我们得到怎样的函数表达式？ 2.每个实例中的两个变量是什么? 3.当一个量变化时,另一个量随之怎样变化? 4.上面的函数表达式形式上有什么共同点? 学生活动：独立思考后，小组内讨论交流： 1.由上面的问题我们得到这样的三个函数表达式： ；；. 2. s和h；v和t；x和y. 3.当一个量增大时，另一个量减小；当一个量减小时，另一个量增大. 4.上面的函数表达式都是的形式，其中k是非零常数. 【归纳总结】 反比例函数的概念：一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成（k为常数，且k ≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，k称为比例系数. 注意： 1.k为常数，且k ≠0，x和y都是不等于0的一切实数； 2.自变量x的指数是-1； 3.（k为常数，k0），（k为常数，k0）也是反比例函数的不同形式. 【例题】 例1 写出下列问题中y与x之间的函数表达式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k. （1）y与x互为相反数. （2）y与x互为负倒数. （3）y与2x的积等于a（a为常数,且a≠0）. 解:（1）因为y + x =0,即y = - x, 所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1. （2）因为xy =-1,即, 所以y是x的反比例函数,比例系数k = -1. （3）因为2xy =a，即, 所以y是x的反比例函数，比例系数. 通过对实际问题和数学问题的分析，抽象地理解反比例函数的概念. 通过老师的层层问题，学生可得到上述问题中函数的变化规律. 归纳上述的函数规律可得到反比例函数的概念. 概括出反比例函数的概注意环节，知道自变量的指数和不同的表示形式. 巩固学生对反比例函数的的认识和理解. 3.学以致用，应用新知 考点1 反比例函数的定义 练习1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A.y=2x B.y=x+3 C.y= D.y=x2 答案：C 变式训练1 若函数y=是关于x的反比例函数，则a满足的条件是______，自变量x的取值范围是______. 答案：a≠-3 不等于0的实数 考点2 求反比例函数的表达式 练习2 已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝6. （1）写出的表达式； （2）当-2时，求的值. 解：（1）设.因为当x＝4时，y＝6，所以，解得k＝24， 因此. （2）把x＝-2代入，得y＝＝-12. 变式训练2 已知y是x2的反比例函数，且当x＝2时，y＝4. （1）写出y关于x的函数表达式； （2）求当x＝时，y的值. 解：（1）设. 因为当x＝2时，y＝4，所以， 解得k＝16，因此. （2）把x＝代入，得y＝＝64. 【归纳总结】 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： 1.设出表达式； 2.代入对应的x与y的值，转化为关于待定系数k的方程； 3.求出待定系数k； 4.将求出的k代回原表达式，得到要求的反比例函数表达式. 考点3 由实际问题得出反比例函数表达式 练习3 用函数表达式表示下列问题中变量间的对应关系： （1）平行四边形的面积是35，它的一边长随这边上的高的变化而变化； （2）某小区绿地总面积是400 m2，该小区的人均绿地面积数y随人口数x的变化而变化. 解：（1）； （2）. 变式训练3  计划修建铁路1200km，则铺轨天数y(d)与平均每天铺轨量x(km/d)之间的函数关系式是（       ） A.y=1 200x B.y= C.y=1 200+x D.y=1 200-x 答案：B 巩固反比例函数定义，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 根据待定系数法求反比例函数的表达式. 总结出待定系数法求反比例函数的一般步骤，更好的理解反比例函数. 通过对实际问题和数学问题的分析，知道自变量和对应的函数值成反比例的特征. 4.随堂训练，巩固新知 1.若函数是反比例函数，则m的值为（ ） A.-1　　　　B.1　　　　C.2或-2　　　　D.-1或1 答案：B 2.若反比例函数的图像经过点（-3，2），则k的值为（ ） A.-6　　　　 B.6　　　 　C.-5　　　 　　　D.5 答案：A 3.下列各点中，在函数的图像上的是（ ） A.（-2，-4） B.（2，3） C.（-6，1） 　 D. 答案：C 4.水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 解：（1）根据题意得， 函数关系式为y=； （2）当x=15时，y= 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 6.布置作业 课本P130习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 27.1 反比例函数 一、定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数. 二、反比例函数的几种形式： 1.（k为常数，k≠0）； 2.（k为常数，k≠0）； 3.（k为常数，k≠0）. 三、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： 1.设出表达式； 2.代入对应的x与y的值，转化为关于待定系数k的方程； 3.求出待定系数k； 4.将求出的k代回原表达式，得到要求的反比例函数表达式. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 ①[授课流程反思] 在情境导入环节中，对两个实际问题进行分析研究，并写出它们的函数表达式，为导入反比例函数做好铺垫，本节课的主要任务是通过设计问题,经历抽象反比例函数概念的过程，由形成概念到理解概念再到应用概念. ②[讲授效果反思] 对于反比例函数的概念，强调确定了反比例函数表达式中的系数k，就确定了两个变量之间的反比例关系. ③[师生互动反思] 从课堂氛围和课堂效果分析，学生能够积极地投入到新知学习中，学生能够集中精力完成学习任务. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$