28.4 垂径定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(冀教版)河北专版

第二十八章 圆 28.4 垂径定理* 1.了解垂径定理及其推论. 2.能够运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. 学习目标 学习重难点 重点 了解垂径定理及其推论. 难点 能够运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. 复习导入 圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 圆的对称性 3 知识点1 垂径定理 探究新知 如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能得出什么结论. 4 已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD. 证明：如图，连接OA，OB. 在△OAB中，∵OA=OB，OE⟂AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴AD=BD. ∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE， ∴∠AOC=∠BOC. ∴AC=BC. 5 直径 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 条件 结论 垂径定理 符号语言： ∴PC=PD, ⌒ ⌒ BC=BD, ⌒ ⌒ AC=AD. ∵AB是直径, AB⊥CD， A B . O C P D ∟ ● 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 6 垂径定理的几个基本图形： 垂径指垂直于弦的直径、半径、过圆心的直线或线段. 7 如图，在⊙O中，直径CD与弦AB（非直径）相交于点E. （1）若AE=BE，能判断CD⊥AB吗？弧AD与弧BD（或弧AC与BC）相等吗? （2）若弧AD与弧BD（或弧AC与BC）相等，能判断CD⊥AB吗？AE与BE相等吗？ 解：（1）如图，连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 由垂径定理可得弧AC=弧BC，弧AD =弧BD. （2）请同学们自证. 知识点2 垂径定理的推论 8 推论 1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 实际上，垂直于弦，平分弦，直径，平分弦所对的一条弧，平分弦所对的另一条弧这5个条件中，任知2个，可得另3个。 补充说明 已知：如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⟂CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长. 例 解：如图，连接OA. 设⊙O的半径为r. ∵CD为⊙O的直径，AB⟂CD， ∴AE=BE. ∵AB=8,∴AE=BE=4. 在Rt △ OAE中，OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED， 即r2=（r-2）2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 例题解析 课堂练习 1.（2021 广东广州海珠期末）如 图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则 ⊙O的半径为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B 12 2.如图，矩形ABCD的 边 AB 过 ⊙O的圆心， E，F 分别为 AB，CD 与 ⊙O的 交 点 ，若 AE=3 cm，AD=4 cm，DF= 5 cm，则⊙O的直径等于______. 10 cm 13 3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 14 1.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 解：连接OC. ∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= . 即⊙O的半径为 m. 拓展提升 课堂小结 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 16 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $$