26.4 第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

课题

第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P118-120

教学目标

1.使学生进一步掌握解直角三角形

2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.

教学重难点

重点：会用计算器由已知锐角求它的锐角三角函数值.

难点：提高用现代工具解决实际问题的能力.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

【复习回顾】

直角三角形的边角之间的关系:

sin A==,cos A==,tan A==,

sin B==,cos B==,tan B==.

回顾复习三角函数值，为学习新课打下基础.

2.实践探究，学习新知

【探究】

问题：什么叫做坡度？

预设答案：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或

得出坡度、坡角的定义，为下面解决相关问题打下基础.

坡比）；坡面与水平面所成的夹角叫做坡角.

显然，可得坡度与坡角之间的关系：.

注意：

坡度不是一个度数，而是一个比值，是坡角的正切值.坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越缓.坡角α越大，tan α越大，坡度i越大.

【例题】

例1  如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC∥AD，∠A=∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角（结果精确到1′）

师生活动：教师展示上面的问题，学生独立思考后小组内进行合作探究和交流，在学生解决问题的过程中，教师可通过以下问题进行引导：

(1)进行和坡度有关的计算，常作辅助线构造直角三角形，根据解直角三角形的知识求坡角.

(2)根据坡度概念及梯形的高，可以求出AE，DF的长.

(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系，求出EF的长，从而求出底AD的长.

(4)在Rt△ABE中，由坡角和坡度之间的关系可求出坡角.

解:如图所示，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.

在四边形BEFC中，

∵BC∥AD，∠AEB=∠DFC=90°，

∴四边形BEFC为矩形.

总结出坡度、坡角的注意事项，有利于后续的解题.

通过分析典型例题，让学生学习、熟悉如何用解直角三角形知识解决有关坡度、坡角的实际问题，提高学生解决问题的能力.

∴BC=EF，BE=CF.

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∵∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，BE=CF，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF.

∴AE=DF.

在Rt△ABE中，，BE=4，

∴ α≈38°39'，AE=5.

∴ AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.

即路基下底的宽为20 m，坡角约为38°39'.

【归纳总结】

前边我们已经整理了用解直角三角形的知识解决实际问题的解题一般过程，那在解决与坡度、坡角有关的实际问题时还应注意什么？

解决与坡度、坡角有关的实际问题：

利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.

总结概括如何解决与坡度、坡角有关的实际问题，培养并提高学生的总结概括能力.

3.学以致用，应用新知

考点1  与坡度、坡角有关的实际问题

练习1  水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求：

(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；

(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1 m).

解：（1）斜坡CD的坡度i＝tan α＝1∶2.5＝0.4，

巩固解决与坡度、坡角有关的实际问题，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．