25.6 第1课时 利用相似三角形测内径和高度-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

25.6 相似三角形的应用 课题 第1课时 利用相似三角形测内径和高度 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P88-90 教学目标 1.在测量旗杆、电视塔等的具体情境中进一步理解相似三角形的概念及性质； 2.积累数学操作活动经验，培养学生的问题意识，提高分析问题和解决问题的能力； 3.在解决实际问题的过程中，感受到数学活动充满着探索与创造的乐趣. 教学重难点 重点：能灵活应用相似三角形的性质解决有关实际问题. 难点：如何把实际问题转化为数学模型. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 教师活动：相似三角形有哪些性质？ 学生活动1：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 学生活动2：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 学生活动3：相似三角形周长的比等于相似比. 学生活动4：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 教师活动：相似三角形的这些性质有哪些应用呢？这节课继续研究. 教师抛出问题，激发学生思考，从而调动学生学习的积极性，为下面的学习奠定基础. 2.实践探究，学习新知 【探究1】利用相似三角形的性质测内径 学生活动：利用所学知识，设计测量空心圆柱形机械零件的内径的方案，并说明方案的可行性. 例1 这是一个零件的剖面图，外径为a,内径AB不能直接量出，求它的壁厚x,需要用交叉卡钳去量，如果OC:OA=OD:OB=1:m ,CD=b,请计算这个零件的壁厚x.(用含a,b,m的代数式表示) 解：∵，∠OCD=∠AOB， ∴△CDO~△ABO. ∴. 又∵CD=b， ∴AB=mb，x=. 即这个零件的内径为mb，壁厚为. 师生活动：小组合作探究，教师巡视，适当给予提示，小组展评. 【探究2】利用相似三角形的性质测量旗杆的高度 教师活动：提出问题:我们操场上飘扬的红旗，你想知道旗杆的高度吗？例1的做法给我们什么启发？ 学生活动：测量旗杆的高度几种代表性的做法如下： 方法一的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、1米竿. ①先分别测量出同一时刻旗杆AB与1米竿CD的影长BM与DN； ②再利用△ABM∽△CDN即可求得旗杆的高度. 计算步骤如下： ∵△ABM∽△CDN， 方法二的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、长竿. ①将长竿立于旗杆与人之间； ②观察长竿与旗杆的顶端A，C，使人的眼睛E与A，C在同一直线上； ③利用△ANE∽△CME可求得旗杆的高度. 计算步骤如下： 先根据△ANE∽△CME可求出AN的长度； 再根据AB=AN+NB计算即可. 方法三的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、镜子. ①将镜面朝上置于地面C处； ②观察镜子中旗杆顶端A′，使人的眼睛E与C， A′在同一直线上； ③利用△A′BC∽△EFC求出A′B的长度； ④利用△ABC≌△A′BC求出旗杆的长度. 方法四的操作步骤及其对应图形如下： 测量工具：皮尺、测角器. ①通过测角器观察旗杆顶端A，使测角器的示数为60°； (条件允许可以是45°，30°) ②利用AB=AM+BM=ME+EF，即可求得旗杆的高度. 师生活动：让学生先独立思考，然后同组学生把自己的方法汇集归纳，研究方法的合理性．教师巡回指导并参与个别小组的探究后，最后再找几个小组代表展示成功做法(画图像并写出设计原理)，其他不同方法的小组补充完善，教师对表现好的提出鼓励和表扬． 【方法归纳】 测量高度的方法 测量较高的物体(很难到达顶部的物体)的高度，通常用“在同一时刻物体高与影长成正比例”的原理解决. 让学生动脑、动手，先设计方案，然后实施方案，真正让学生动起来，在活动的过程中培养学生的建模能力，在合作的过程中，培养学生的合作交流意识，积累数学活动经验. 让学生通过“审题→画示意图→明确数量关系→解决问题”的数学建模过程，学会运用两个三角形相似的知识解决实际问题，培养学生的抽象概括能力，锻炼学生能把生活中的实际问题转化为数学问题的能力. 总结测量较高物体高度的方法，培养学生的总结概括能力和语言表达能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用相似三角形测内径 练习1  图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，求此时液面宽度． 解：如图，过点O作OM⊥CD,垂足为M， 过点O′作O′N⊥AB，垂足为N， ∵AB∥CD， ∴△CDO~△ABO′， ∴， ∵OM=15-7=8 cm，O′N=11-7=4 cm， ∴， 解得：AB=3. 变式训练1 如图，用一个卡尺（AD=BC ，）测量气缸的内孔直径AB，量得CD的长为8 cm，则内孔直径AB的长为（     ） A. cm B. cm C.28 cm D.20 cm 答案：D 考点2 利用标杆或阳光下的影子测高度 练习1 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度. 解：设高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG， ∴. ∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x. 再由△EFH∽△ABH可得，即， ∴BH＝2x， 即BD+DF+FH＝2x，即x－2+52+4＝2x， 解得x＝54. 答：建筑物的高度为54米. 变式训练2 如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2 m，并测得BC＝3 m，CA＝1 m，那么树DB的高度是（　　） A．6m B．8m C．32m D．0.125m 答案：B 巩固利用相似三角形测内径的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过典型例题的分析，加深、巩固测量物体高度方法的使用，以及提高学生的解决问题的能力. 4.随堂训练，巩固新知 1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图(1)所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为________米. 答案：9 2．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C，D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米. 答案：6 3．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m. 答案：4 4.一个圆柱形空心零件的上面有个孔，截面图如图所示，若OA:OD=OB:OC=，且量得AB=a，则厚度x可表示为（       ） A. B. C. D. 答案：D 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识： （1）测量物体的内径（无法直接测量的内径）： 利用相似三角形对应边的比相等可测量物体的内径； （2）测高度： 在同一时刻物体高与影长成正比例； 通过学生自我反思，引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P89练习，P90习题 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 25.6 相似三角形的应用 第1课时 利用相似三角形测内径和高度 1.利用相似三角形测内径； 例题： 2.利用标杆或阳光下的影子测高度； 例题： 提纲掣领，重点突出. 教后反思 通过本节知识的学习,可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题,发展学生的应用意识,加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标,大部分学生都学会了建立数学模型,利用相似的判定和性质来解决实际问题. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$