25.5 第1课时 相似三角形对应线段的比-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

课题

第1课时 相似三角形对应线段的比

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P83-85

教学目标

1.了解相似三角形对应线段的比与相似比的关系，能利用这一关系进行有关计算.

2.通过探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.

3.在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.

教学重难点

重点：理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比.

难点：运用相似三角形中对应线段的比等于相似比解决问题.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

【复习回顾】

教师活动：如何判定两个三角形相似？

学生活动：①两个角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例.

教师活动：相似三角形有哪些性质？

学生活动：三对对应角相等，三对对应边成比例.

教师活动：在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这些性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.

由问题来引入本节的课题，调动学生学习的积极性，为后面的学习奠定基础.

2.实践探究，学习新知

【探究一】

在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图2，钳工小王依据图纸上的△ABC（图1），以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.

图1　　　　　　　　　　图2

教师活动：△ABC与△A′B′C′的对应边之间有什么样的关系？对应角之间呢？

学生活动：，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′.

教师活动：△ACD与△A′C′D′相似吗？

学生活动：相似.

教师活动：你的依据是什么？

学生活动：∵ CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，

∴ ∠ADC＝∠A′D′C′＝90°.

∵ ∠A＝∠A′，

∴ △ACD∽△A′C′D′（两角分别相等的两个三角形相似）.

教师活动：它们的相似比是多少？

学生活动：.

教师活动：如果CD＝1.5 cm，那么模型房梁的立柱有多高？

学生活动：∵，CD＝1.5 cm，∴C′D′＝3 cm.

教师活动：由此我们能得到什么结论？

学生活动：相似三角形对应高的比等于相似比.

从学生熟悉的建筑模型房梁入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形最基本的性质展开研究，使学生明确相似比与对应高的比的关系.

【探究二】

如图3，已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E，E′分别为BC，B′C′的中点.试探究AD与 A′D′的比值与相似比的关系，AE与A′E′呢？

图3

把学生分为八个小组，四个小组探究对应角平分线的比与相似比的关系，另外四个小组探究对应中线的比与相似比的关系，小组内交流，然后找学生代表到黑板上板书本小组的探究过程，对比各个小组探究的结果是否一致，对做的好的小组进行鼓励，做的有错误的小组及时给予纠正.

教师活动：由此可知相似三角形还有以下性质：

相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

教师活动：若∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′，则等于多少？

学生活动：等于k. 

教师活动：若BE＝BC，B′E′＝B′C′，则等于多少？

学生活动：等于k.

教师活动：你还能提出哪些问题？由此得到什么结论？

学生活动：相似三角形对应角的n等分线的比、对应边的n等分线的比都等于相似比.

通过学生小组合作探究，类比前面的探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生类比的思维能力与归纳总结能力.

有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.