26.1 第2课时 正弦、余弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(冀教版)河北专版

第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解锐角正弦、余弦的定义． 2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值． 理解锐角正弦、余弦的意义． 用正弦值、余弦值表示直角三角形中两边的比. 回顾复习 什么叫锐角的正切？如何表示？ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA . 问题引入 问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是定值. 探索新知 知识点1 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 在图中， ∠A的对边记作a， ∠B的对边记作b， ∠C的对边记作c. 问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个定值． 知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 在图中, ∠A的对边记作a, ∠B的对边记作b, ∠C的对边记作c. 做一做 分别求30°，45°，60°的正弦和余弦，并把结果填入下表中. α 30° 45° 60° sinα cosα 知识点3 在Rt △ABC中，∠C＝90°， sinA=cosB 例题示范 例2 求下列各式的值： （1）2sin30°+3tan30°-tan45°； （2）（sin45°）2+tan60°sin60°. 例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5，BC=12.求sinA，cosA，tanA的值. B A C 归纳 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见，今后将（sinα）2，（cosα）2，（tanα）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α. 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 随堂练习 1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长 是______． 2．已知A为锐角，tanA＝ ，则sinA＝___ ,cosA=_____ ． 3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且 cosα＝ ，AB＝4，则AD的长为_____． 6 4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. A M E D B C 解：设正方形ABCD的边长为4x， 由勾股定理可知， ∵M是AD的中点，BE=3AE， ∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x． ∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2 ∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2 ∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2 ∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知， △EMC为直角三角形. ∴sin∠ECM= = = . 拓展提升 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA,cosB的值． A B C 8 解：∵tanA= = ,AC=8, ∴BC= AC= ×8=6, ∴AB = = =10, ∴sinA= = = , cosB= = = . 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值． A B C 6 10 解：∵sinA= , ∴sinA= = = , 又∵AC = = =8 , ∴cosA= = , ∴tanA= = . 归纳小结 绿卡图书—走向成功的通行证 $$