25.1 比例线段-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

25.1 比例线段 课题 比例线段 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P58-61 教学目标 1.掌握比例线段、比例中项的概念及比例的基本性质. 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例. 3.知道黄金分割的意义及其中的文化价值. 教学重难点 重点：理解线段的比与成比例线段的概念及求解. 难点：应用比例的基本性质进行比例变形. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？ 教师活动：对于上面我们给出的几组图形，形状相同的图形有什么不同吗？ 学生活动：大小不同. 教师活动：大小不同的两个图形我们应该怎样得到呢？ 学生活动：通过图形之间的放大或者缩小得到另一个图形. 教师活动：图形上相应的线段关系又如何呢？ 学生活动：放大或缩小的同时图形上相应的线段也被放大或缩小. 教师活动：这样对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述图形的大小关系. 通过生活中常见的实物图片和图形，引发学生进行对比和思考，这样能激发学生学习的兴趣，从而开始愉快的一节课. 2.实践探究，学习新知 1.线段的比 【观察与思考】 观察下图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同? 理由是什么? 通过以上的观察思考，两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比是否相等有关.为此，需要研究线段的比和成比例线段. 我们知道，选定一个长度单位，如米、厘米等，可以量出一条线段的长度，如果选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成=． 注意： （1）和数的比一样，两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b�叫做比的后项； （2）两条线段的比就是其长度的比，它是一个数，它没有单位.比值总是正的； （3）两条线段的比是有顺序的； （4）两条线段的比与所选的长度单位无关； （5）求两条线段的比时，如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比. 【探究】 图1 回答下列问题： （1）求线段AB，AD，EF，EH的长度. （2）分别计算，，，的值，你发现了什么？ 学生活动：独立完成第1小题，然后小组讨论第2小题，让小组代表发表本小组的见解. 学生活动：通过计算得到，. 教师活动：这样的线段有什么专有名称？ 学生活动：这样的线段我们把它叫做成比例线段. 教师活动：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 由此可知AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段. 注意：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关. 2.比例的基本性质 教师活动：如果线段a，b，c，d成比例，即，那么ad＝bc 吗？ 学生活动：由等式的基本性质，在两边同乘以bd，得ad＝bc. 教师活动：反之，如果线段a，b，c，d满足ad＝bc，那么这四条线段成比例吗？ 学生活动：成比例. 由教师补充，由等积式得到比例式时要注意a，b，c，d都不等于0. 教师活动： 比例的基本性质：（1）如果，那么ad＝bc； （2）如果ad＝bc，那么（b，d≠0）. 如果＝，即b2＝ac，那么b叫做a，c的比例中项． 【一起探究】 3.等比性质 (1)如果＝＝，那么＝________. (2)如果＝＝，那么＝成立吗？ (3)如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝成立吗？ 探究得： 事实上若设＝＝…＝=k则有a＝kb，c＝kd，···，m＝kn. 所以a＋c＋···＋m＝kb＋kd＋···kn＋＝k(b＋d＋···＋n). 因为b＋d＋···＋n≠0，所以(b＋d＋…＋n≠0)， ＝k ， ＝. 我们把这条性质叫做比例的等比性质. 师生活动：学生分析题意，并写出证明过程，教师巡回指导，让学生学会“举一反三”，灵活运用相关的知识，查看学生的自学能力． 4.黄金分割 问题： 如图2所示，已知线段AB=a，点C在AB上. 图2 当时，线段AC的长是多少? 解：设AC＝x，则BC＝a-x. ∵ ，∴ ， ∴ 建立关于x的方程x2+ax-a2=0， 解得x=. ∵ AC的长为正数，∴ AC＝.618a. 总结：在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，称为黄金比. 每条线段上的黄金分割点都有两个. 通过问题让学生理解线段的比的概念，这样大大降低了学习难度，学生能较容易地接受新知识. 通过图形各边的比引出比例线段的定义. 以问题的形式引导学生思考,加深对比例的基本性质的理解和掌握. 本环节难度层层加大，目的是让学生加强对新知的理解，同时介绍一种方法——引入比值k，利用这种方法，可以将比例的大部分性质加以证明. 黄金分割 3.学以致用，应用新知 考点1 线段的比 练习1 在比例尺为1:10 000 000的地图上，A，B 两城市之间的距离为5 cm，则这两城市之间的实际距离为（　　） A.0.5 cm B.5 km C.50 km D.500 km 答案：D 变式训练1 根据下列条件，求a∶b的值. （1）4a=5b；（2） . 解：（1）∵ 4a=5b，∴. （2）∵，∴ 8a＝7b，∴. 考点2 成比例线段 练习2 判断下列线段a，b，c，d是否为成比例线段. （1）a=4，b=6，c=5，d=10； （2）a=2，b=，c=2，d=5. 解：（1）∵，， ∴， ∴ 线段a，b，c，d不是成比例线段. （2） ∵， ∴， ∴线段a，b，c，d是成比例线段. 变式训练2 已知线段a，b，c，d成比例，且a=3b，c=12 cm，则线段d的长为（      ） A.4 cm B.6 cm C.9 cm D.36 cm 答案：A 考点3 比例的性质 练习3 在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18，求△DEF的周长. 解：∵， ∴ ， ∴ 4（AB+BC+CA）＝3（DE+EF+FD）， 即DE+EF+FD＝（AB+BC+CA）. 又∵△ABC的周长为18，即AB+BC+CA＝18， ∴ DE+EF+FD＝（AB+BC+CA）＝24， ∴ △DEF的周长为24. 变式训练3 已知，则的值是______． 答案： 考点4 黄金分割 练习4 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD=2，求AB的长. 解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点， ∴AC=，BD=AB， ∴AC+BD=(-1)AB， 即AB+CD=(-1)AB, ∵CD=2， ∴AB=2. 变式训练4 C是AB的黄金分割点，AC>BC，若AB=10 cm，则AC=________cm.（结果精确到0.1） 答案:6.2 巩固求比例线段的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.若两地的实际距离为300 km，图上距离为3 cm，则这张地图的比例尺为(　　) A.1 000 000：1 B.10 000 000：1 C.1：1 000 000 D.1：10 000 000 答案：D 2.下列四条线段中，不能成比例的是(　　) A.a＝3，b＝6，c＝4，d＝8 B.a＝1，b＝，c＝2，d＝ C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D.a＝2，b＝，c＝，d＝2 答案：C 3.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则下列等式中成立的是(　　) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2BC·AB 答案：C 4.（1）已知 ，那么______，＝______. （2）如果，那么＝______. （3）如果，那么______. 答案： 5.如果求m的值. 解：①当x＋y＋z＝0时， y＋z＝－x，z＋x＝－y，x＋y＝－z， ∴ m为其中任何一个比值，即m＝＝-1. ②当x＋y＋z≠0时， m＝＝＝2. ∴ m＝2或－1. 6.已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm. (1)求线段a与线段b的比； (2)如果线段a，b，c，d成比例，求线段d的长. 解：(1)∵ a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm， ∴ a∶b＝30∶60＝1∶2. (2)∵线段a，b，c，d成比例， ∴ . ∵ c＝12 dm＝120 cm， ∴ ，∴d＝240 cm. 7.已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状. 解：设=k可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8， 代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12，解得k＝3， 则a＝5，b＝3，c＝4，∴b2＋c2＝a2，即△ABC为直角三角形. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识：一元二次方程的应用—增长率的问题. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P61习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 25.1　比例线段 成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 比例的基本性质：（1）如果，那么ad＝bc； （2）如果ad＝bc，那么（b，d≠0）. 比例的等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 在教学中，不仅要求学生掌握抽象的数学结论，更应注重学生的“发现”意识，引导学生参与探讨知识的形成过程．尽量挖掘学生的潜能，能让学生通过努力，自己解决问题，这一教学过程，让学生通过计算、观察、发现、自学的方式，使学生在自己探索中学习知识，发现知识，并通过讨论，说出判断两个比能否组成比例的依据，促进了学生学习的顺利进行． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$