24.4 第3课时 传播问题和销售问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

24.4 一元二次方程的应用 课题 第3课时 销售问题及传播问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P51-52 教学目标 1.会根据具体问题,找到单循环赛及利润问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键. 4.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力. 5.通过用一元二次方程解决实际问题,体会数学知识的应用价值,激发学生的学习兴趣. 教学重难点 重点：列一元二次方程解单循环赛问题、利润问题的应用题. 难点：在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛. 可邀请多少支球队参加比赛呢？ 师生活动：学生独立思考后小组讨论,对学生的展示教师及时引导和点评． 通过讨论足球单循环赛问题,为继续学习一元二次方程的应用做好铺垫,以学生们感兴趣的足球赛导入新课,感受生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,提高学生在日常生活中应用数学解决问题的意识. 2.实践探究，学习新知 【探究】 1.传播问题 试着解决课程导入的问题. 师生活动：学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，解答. 如果学生存在困难，教师可引导学生思考：若设有x支队参加比赛，因每两队之间都要进行比赛，所以每支队除不与自己比之外都要进行一次，比赛场数为x(x-1)，进一步考虑题目要求两个队之间进行比赛一次，所以总的比赛场数应该是.所以可列方程，然后解方程即可. 教师追问：如果赛制为双循环比赛，应该怎样列？ 师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，回答.教师引导学生列出方程x(x-1)=28，提示学生注意题目要求. 解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x -1)支球队各赛一场. 根据题意可得＝28, 化简得x2- x =56, 解得x1=8, x2=-7(不合题意,舍去), 答:应邀请8支球队参加比赛. 教师活动：教师拓展总结传播问题中的常见类型 2.销售问题 例1 某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3 200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516 000元,则该顾客实际购买了多少个路灯? 师生活动：学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，解答.如果学生存在困难，教师可引导学生分析： （1）若顾客实际购买的路灯数量是80个，则所需费用为320 000元； （2）若顾客一次性购买路灯用去516 000元，则所买路灯数量大于80个； （3）设该顾客购买这种路灯x（x>80）个，路灯数超出80个的数量是x-80个，每个路灯可降价8（x-80）元，则每个路灯的单价是4 000（x-80）元； （4）题目中的等量关系是路灯的单价×数量＝总花费； （5）根据等量关系可列方程4 000-8（x-80）＝4 000-8×（430-80）＝1 200. （6）解方程，并检验根是否都符合题意. 学生独立思考后，在练习本上写出解答过程，并找学生代表发表意见. 解:因为4 000×80=320 000<516 000,所以该顾客购买路灯数量超过80个. 设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为 [4 000-8(x-80)]元/个. 根据题意,得x [4 000-8(x-80)]=516 000. 整理,得x2-580x+64 500=0. 解这个方程,得x1=150, x2=430. 当x=430时,4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200(元), 低于3 200元，不合题意,舍去. 答:该顾客实际购买了150个路灯. 教师活动：教师拓展总结利润问题中的常见公式. ★利润问题常见关系式 基本关系：（1）利润＝售价-进价； （2）利润率＝×100%； （3）总利润＝单个利润×销量. 在教师设计的问题的引导下,通过小组活动,让学生亲身经历建立数学模型的过程,感受数学在实际生活中的应用,同时提高学生分析问题、解决问题的能力. 该例题的难度有所增加,教师在引导学生分析过程中,帮助学生正确理解题意,并指导正确用未知数表示等量关系中涉及的量,从而建立方程模型求解,在共同分析、解答的过程中提高学生分析问题及解决问题的能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 传染问题 练习1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 导引：问题怎么设？第一轮之后，共有多少人得了流感？ 通过画图的方式与学生进行分析： 第一轮传染后患流感的人数：1+x； 第二轮传染后患流感的人数：1+x+x(x+1). 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人. 根据题意，得，即. 解方程，得（不合题意，舍去）. 答:平均一个人传染了10个人. 变式训练1 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是( ) A．1+x2=81 B．(1+x)2=81 C．1+x+x2=81 D．1+x+(1+x)2=81 答案：B 考点2 销售问题 练习2 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元? 导引：等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5 000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是 （2 900- x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900-x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为(8+4×)台. 解：设每台冰箱降价x元.根据题意，得 （2 900-x-2 500）(8+4×)=5 000. 整理，得x2-300x+22 500=0. 解这个方程，得x1=x2=150. ∴ 2 900-x＝2 900-150＝2 750. 答：每台冰箱的定价应为2 750元. 变式训练2 经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋.如果售价为“a元/双， 那么可以卖出这种运动鞋(350－10a)双. 物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%. 如果该商店卖完这批鞋赚得400元，那么该商店每双鞋的售 价是多少元？这批鞋有多少双？ 解：根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400, 化简可得：a2-56a+775=0, 解得：a=25或a=31, 因为售价不得超过进价的120%, 即21×120%=25.2(元), 所以a=25, 共卖出350-10×25=100(双). 答：该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双. 巩固求传播问题的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 巩固求销售利润问题的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：C 2.一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3 596元，每件工艺品需降价(　　) A．4元　　 B．6元　　 C．4元或6元　　 D．5元 答案：B 3.将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8 000元利润，则应进货(　　) A．400个 B．200个 C．400个或200个 D．600个 答案：C 4.一条直线上有n个点，共形成了45条线段，则n=______. 答案：10 5.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？ 解：设有x家公司出席了这次交易会， 根据题意，得x(x-1)=78， 解得x1=13，x2=-12（舍去）. 答：有13家公司出席了这次交易会. 6.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10台，为了实现平均每月10 000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少台？ 解:设台灯的售价因定为x元.根据题意，得 （x - 30）[600 - 10 (x - 40) ] =10000. 整理,得 x2 - 130x + 4000 = 0 . 解得x1 = 50 , x2= 80. 当x = 50 时，应进台灯600- 10×（50 - 40）=500（台）. 当x = 80 时，应进台灯600- 10×（80 - 40）=200（台）. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5. 课堂小结，自我完善 1.单循环赛问题中的等量关系： 比赛总场数=x(x-1)÷2(x为球队个数） 易错点：列方程时忽略除以2. 2.利润问题中的等量关系： （1）利润=售价-进价； （2）利润率=00%=×100%； （3）售价=进价（1+利润率）； （4）总利润=单个利润×销售量=总收入-总支出. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P52练习，P52习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.4 一元二次方程的应用 第3课时 销售问题及传播问题 1.传播问题 2.销售问题 （1）利润=售价-进价； （2）利润率=00%=×100%； （3）售价=进价（1+利润率）. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$