25.6 相似三角形的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(冀教版)河北专版

第 二十五章 图形的相似 25.6 相似三角形的应用 学习目标 能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题. 学习重难点 重点 运用相似三角形的知识计算不能直接测量物体的高度和距离. 难点 正确建立相似三角形模型. 典型例题 例1 如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量，若 CD=b,则这个零件的内径为多少，零件的壁厚x又是多少？（用含a,b,m的代数式表示） 如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？ （1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流. （2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高. 探究一 知识点1 利用相似三角形求高 解：（1）找一个标杆，利用阳光下的影子测高，同一时刻的光线互相平行，可利用三角形相似的知识测得旗杆高度. （2） 又因为CD=2 m，BD=3 m，BO=12 m， 所以AO=8 m，即旗杆的高为8 m. 归纳总结： 利用太阳光进行测量时应在晴天，用这一方法时要牢记：太阳光线是平行光线.在同一时刻物高与影长成比例，即 探究二 知识点2 利用相似三角形求距离 1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果. 2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果. 解：构造相似三角形求解. 例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？ 归纳总结 求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 1.A字型. 2.X字型. 1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？ 解得x = 54， 解:设这栋高楼的高度为x，则 即这栋高楼的高度为54 m. 随堂练习 2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m， 请根据这些数据，计算河宽 PQ. 解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即　　　　　 ， , PQ×90=（PQ+45）×60. 解得PQ=90（m）. 因此河宽大约为 90 m. 已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m， 请根据这些数据，计算河宽 PQ. 3.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB. 解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC, ∴△ABD∽△ECD. ∴ , 即 ， 解得AB=100（m）. 1.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端 C 了？ 拓展提升 解：如图（2），假设观察者从左向右走到E点时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK. ∴ ， 即 . 解得EH=8（m）. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边较低的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶点 C . AB =8 m， CD=12 m，BD=5 m，眼睛距地面估计1.6 m． 课堂小结 对于利用相似三角形求不可测的高度、距离的问题，要从题目中挖掘相似三角形，判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质解题. 相似三角形的实际应用 一般构建相似的直角三角形． 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$