24.4 第2课时 平均增长率问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

24.4 一元二次方程的应用 课题 第2课时平均变化率问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P49-51 教学目标 1.会根据具体问题,找到增长率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键. 4.经历将实际问题抽象为方程问题的过程,探索问题中的数量关系,进一步体会数学中的建模思想. 5.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力. 教学重难点 重点：掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 难点：正确分析问题中数量关系并建立一元二次方程模型. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭 .据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达21. 6万辆. 若该市这两年 汽车保有量增长率相同，求这个增长率. 师生活动：教师提问,学生回答． 列举和生活息息相关的案例，用增长率有关的一元二次方程引入新课,为本节课建立一元二次方程的数学模型解决增长率的实际问题打下基础,降低了本节课知识的难度,学生易于理解和掌握,激发学生学习兴趣. 2.实践探究，学习新知 【探究】 试着解决课程导入的问题. 设年增长率为x，请你思考并解决下面的问题： (1) 2011年底比2010年底增加了______万辆汽车，达到了______万辆. (2) 2012年底比2011年底增加了______万辆汽车，达到了______万辆. (3)根据题意，列出的方程是______. (4)解方程，回答原问题，并与同学交流解题的思路和过程. 预设答案：(1) 15x ，15x+15 ； (2) (15x+15)x，(15x+15)+(15x+15)x； (3) 15(x+1)2=21.6 (4)设年增长率为x,根据题意得:15(1+x)2=21.6, 解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去). 答:这个增长率为20%. 师生活动：学生独立思考后小组合作交流,完成解答过程后交流答案,学生板书展示结果,教师点评并规范答题格式. 【归纳总结】 如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则 第一次增长后的数量为a(1＋x)， 第二次增长后的数量为a(1＋x)2， … … 第n次增长后的数量为a(1＋x)n. 师生活动：学生在教师的启发下归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 例1 某镇2016年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2018年达到82.8公顷． (1)求该镇2016年至2018年绿地面积的年平均增长率； (2)若年平均增长率保持不变，则2019年该镇的绿地面积能否达到100公顷？ 解：(1)设该镇2016年至2018年绿地面积的年平均增长率为x， 则57.5(1＋x)2＝82.8. 解得x1＝-2.2(舍去)，x2＝0.2. ∴该镇2016年至2018年绿地面积的年平均增长率为20%. (2)2019年的绿地面积为82.8×(1＋0.2)＝99.36(公顷)，99.36＜100. ∴2019年该镇的绿地面积不能达到100公顷． 师生活动：学生在教师的引导下思考回答,独立完成解答过程,教师帮助有困难的学生,并展示答案,同时规范做题格式. 【归纳总结】 列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：审、设、列、解、验、答． 一般情况下， “审”不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，才能准确列出方程． 师生活动：学生归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 例2 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径. 经过市场调查发现：搭建 一个面积为x(公顷)的大棚，所需建设费用(万元)与x＋2成正比例， 比例系数为0.6；内部设备费用(万元)与x2成正比例，比例系数为2. 某农户新建了一个大棚，投人的总费用为4. 8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积. (总费用=建设费用+内部设备费用) 解：依题意得：0. 6(x＋2)＋2x2＝4. 8. 整理，得10x＋3x－18＝0. 解方程，得：x1＝1.2，x2＝－1.5(不合题意，舍去). 答：该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷. 师生活动：教师引导学生分析题意,学生独立完成解答过程,教师点评. 【做一做】 某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少? 师生活动：教师展示问题，学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，教师在巡视过程中，如果发现学生存在困难，可追问. 教师活动1：题目中的已知量和未知量分别是什么?未知量之间的数量关系是什么? 教师活动2：如何设未知数? 题目中的等量关系是什么? 师生活动：根据追问，学生进一步思考，进行解答，发表意见. 解：设第一年废气减少的百分率为x,则第二年废气减少的百分率为2 由题意得， 300（1-x）（1-2x）＝144. 解得x1=1.3（舍去），x2=0.2. ∴ 2x＝0.4. 把分析问题的过程设置成小问题的形式,通过教师的引导或者小组合作交流,学生层层递进的方式分析并解决问题,降低了学习难度,进一步培养学生分析问题的能力. 通过归纳总结，使学生掌握和增长率有关的一元二次方程应用题中量的关系，为解决此类问题打下坚实基础. 根据上面增长率有关的归纳总结，师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系,列出方程解决问题,提高学生的读题、审题能力,培养学生深入思考、分析问题的能力. 通过归纳总结，使学生掌握一元二次方程解应用题的一般步骤. 教师引导学生分析题意,难点是用代数式正确表示等量关系中的两种费用,通过对实际问题的理解,进一步体会建立方程模型的过程,提高学生的应用意识. 在教师设计的问题的引导下,通过小组活动,让学生亲身经历建立数学模型的过程,感受数学在实际生活中的应用,同时提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的应用——平均变化率问题 练习1 AI技术的崛起正在改变着我们的生活和工作方式，让我们的生活更加智能、高效、便捷．某机器人月份的销售额为30000元，经过两个月的连续增长，月份销售额达到了76800元，求该AI机器人这两个月销售额的月平均增长率． 解：设该AI机器人这两个月销售额的月平均增长率为x. 根据题意，得 30000(1+x)2=76800， 解得x1=-2.6(舍去)，x2=0.6=60%. 答：该AI机器人这两个月销售额的月平均增长率为60%. 变式训练1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为___________． 答案：200(1-x)2=162 巩固求平均变化率问题的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.某工厂工业废气年排放量为300万立方米. 为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米. 如果第二年废气减少的百分 率是第一年废气减少的百分率的2倍，那么每年废气减少的百分率各是多少？ 解：第一年减少的百分率是x，第二年减少的百分率是2x. 由题意得：300（1-x）(1-2x)=144 整理化简得：50x2-75x+13=0. 解得：x1=0.2, x2=1.3(不符合题意，舍去) 故x=0.2. 答：第一年减少的百分率是20%，第二年减少的百分率是40%. 2.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(　　) A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315 答案：B 3.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为(　　) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4 答案：D 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识：一元二次方程的应用—平均变化率的问题. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P50习题A组，P51习题B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.4　一元二次方程的应用 第2课时　平均变化率问题 【归纳】 如果增长率中的基数为a，平均增长（或降低）率为x，则 第一次增长（降低）后的数量为a(1±x)， 第二次增长（降低）后的数量为a(1±x)2， … … 第n次增长（降低）后的数量为a(1±x)n. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调解决有关增长率问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$