24.3 一元二次方程根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

24.3 一元二次方程根与系数的关系 课题 一元二次方程根与系数的关系 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P45-46 教学目标 1.了解一元二次方程根与系数的关系，经过一元二次方程根与系数的关系的探究，体会探究过程中的化归思想. 2. 能够不解方程，应用根与系数的关系解决问题. 3. 通过探究发现根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和探究精神. 4. 在探究根与系数的关系过程中，让学生体会事物之间的联系，激发学生的求知欲望. 教学重难点 重点：1.一元二次方程的根与系数的关系. 2.能根据根与系数的关系解决有关问题. 难点：探究一元二次方程的根与系数的关系的过程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在? 师生活动：学生讨论交流、总结发言，教师补充． 用讲故事的方法引出本节课的学习内容，直观形象，激发学生学习兴趣． 2.实践探究，学习新知 【探究】 （1）由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的两根为x1=2，x2 = 3，而方程(x－2)(x－3)=0可化为x2 －5x＋6 =0的形式，则：x1＋x2＝______， x1x2＝______. （2）设方程2x2＋3x－9 =0的两根分别为x1，x2， 则：x1+x2＝______, x1x2＝_______. （3）对于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0，当 b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1＋x2 ，x1x2与方程系数之间的关系， 并利用求根公式验证你的结论. 预设答案：（1）5，6；（2）- ，-；（3）x1+x2=-，x1x2= 猜想： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，b2-4ac≥0时,设方程的两根分别为x1，x2，则. 【结论】 一元二次方程根与系数的关系: 如果一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根分别为x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=. 师生活动：小组讨论,共同探究,教师适时引导方程两根的和与积与系数之间的关系,教师板书. 我们归纳总结了一元二次方程根与系数的关系，让我们尝试用所得结论解决有关问题吧！ 【例题】 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1） x2－3x－8＝0； （2）3x2＋4x－7＝0. 解：（1） 这里a＝1，b＝-3，c＝-8，且 b2－4ac＝(－3)2－4×1×(-8)＝41＞0. 所以x1+x2=-=3，x1x2==-8. （2）这里a＝3，b＝4，c＝－7，且 b2－4ac＝42－4×3×(-7)＝100＞0， 所以x1+x2=-，x1x2=. 师生活动：学生代表板书解答过程,其他学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,并强调解答过程的规范性. 【总结】 求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，然后利用根与系数的关系求出两根的和与积． 师生活动：教师提问，学生思考回答,教师补充,归纳后课件展示. 例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的 一个根是2，求方程的另一个根和p的值． 提示：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值． 解：设方程的两根为x1和x2， ∵x1＋x2＝-＝6，x1＝2， ∴x2＝4.　 又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8， ∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.　 师生活动：学生代表板书解答过程,其他学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,并强调解答过程的规范性. 【总结】 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值． 师生活动：学生归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 例3 方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值为___________． 解：根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1， 又因为x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， 所以(－m－3)2－2(m＋1)＝4， 解得m1＝－1，m2＝－3， 并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解， 所以m的值为－1或－3. 师生活动：根据老师的引导，学生独立思考，教师追问其解题依据和步骤，并给出解答示范． 【总结】 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值． 师生活动：学生归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 通过小组合作交流,探究数字系数的一元二次方程中根与系数的关系,培养学生观察思考能力及合作意识,为探究一般形式的一元二次方程中根与系数的关系做好铺垫,同时体会由特殊到一般解决数学问题的思想方法. 该例题是根与系数关系的直接应用,加深学生对根与系数关系的理解和掌握,通过独立完成及交流答案的过程,既培养学生独立思考问题的能力,又培养学生与他人交流的能力. 灵活运用一元二次方程根与系数的关系，渗透方程思想、整体思想解决问题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 通过归纳总结，使学生掌握运用一元二次方程根与系数的关系解决相关知识，深刻理解根与系数的关系并为灵活运用打下知识基础． 通过对一元二次方程根与系数关系的另一种运用方法，熟练其运算规则，形成一定的求解程序，总结相应的方法，提升数学运算素养． 通过归纳总结，使学生更加熟练掌握运用一元二次方程根与系数的关系解决，掌握本节课的核心内容，培养学生的语言概括能力，发散思维能力． 3.学以致用，应用新知 考点1 根据一元二次方程的根的情况求参数 练习1 若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有实数根，则a的取值范围是（       ） A.a≥ B.a≥ C.a≤ D.a≤且a≠1 解：由题意得，∆=(-2)2-4(a-1)×2≥0， 解不等式得，a≤， ∵该方程为一元二次方程， ∴a-1≠0， ∴a≠1， ∴a的取值范围是a≤且a≠1.故选D. 变式训练1 关于x的元二次方程x2+bx+2c=0有两个相等的实数根，则b2-2(3+4c)的值为 __________ ． 答案：-6 巩固求参数的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则的值是(　　) A．3 B．－3 C．5 D．－5 答案：D 2.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　) A．－1或 　 B．－1　　 C. 　 　 D．不存在 答案：C 3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　　) A．9　　　 B．10　　　 C．9或10　　　 D．8或10 答案：B 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5. 课堂小结，自我完善 本节课所学知识：学会判辨一元二次方程根与系数的关系. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P46习题A组、B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.3 一元二次方程根与系数的关系 提纲掣领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$