24.2 第1课时 配方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

24.2 解一元二次方程 课题 第1课时 配方法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P37-39 教学目标 1.理解求解一元二次方程的实质. 2.掌握用配方法求一元二次方程的根. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 4.通过配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的学习兴趣. 教学重难点 重点：用配方法解一元二次方程的步骤. 难点：1.平方根的意义. 2.具体用配方法的一般步骤解一元二次方程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 试一试：根据所学知识，完成下面的问题。 1.如果 x2=a,则x叫做a的_______； 2.如果 x2=a(a ≥0),则x=_______； 3.如果 x2=36 ,则x=_______； 4.如果4x2=36 ,则x=_______. 预设答案：1.平方根；2.±a；3.±6；4.±3 思考：上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 【归纳】一般地，对于方程 x2=p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不等的实数根x1=-，x2=-； （2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当p<0 时,因为对任意实x，都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根. 师生活动：学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨. 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点，通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考. 2.实践探究，学习新知 我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧. 【探究】 1.直接开平方法 问题1 根据平方根的意义,解下列方程: （1）x2=4； （2）(x+1)2=4； 解:(1)根据平方根的意义得x=±2, ∴x1=2, x2= -2. (2)根据平方根的意义得x+1=±2. ∴x+1=2或x+1=-2， ∴x1=1，x2=-3. 师生活动：教师先引导学生判断上面方程是否为一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程. 2.配方法 问题2 你还记得吗？填一填下列完全平方公式. 1.（1）a2+2ab+b2=( )2; （2）a2-2ab+b2=( )2. 预设答案：（1）a+b；（2）a-b. 2.填上合适的数，使下列等式成立. （1）x2+12x+_______=(x+6)2； （2）x2-6x+_______=(x-3)2 ； （3）x2-4x+_______=(x-____)2； （4）x2+8x+_______=(x+____)2. 预设答案：（1）62；（2）32；（3）22 2；（4）42 4 【归纳】 对于二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.对于形如 的式子配成完全平方式应加上一次项系数一半的平方，即. 将方程转化为的形式的方法叫做配方法. 这样，我们就得到了解方程x2+2x-3=0的一种方法： x2+2x-3=0 (x+1)2=4 x+1=±2 x1=1，x2=-3. 师生活动：学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳. 【做一做】 先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n≥0)的形式,再求出方程的根. （1）x2+2x=48； （2）x2-4x=12； （3）x2-6x+5=0； （4）x2+x= 解：（1）配方，得x2+2x+12=48+12，即(x+1)2=49, 两边开平方，得x+1=±7，所以x1=6, x2= -8. （2）配方，得x2-4x+22=12+22 ，即(x-2)2=16 两边开平方，得x-2=±4，所以x1=6, x2= -2. （3）移项，得x2-6x=-5. 配方，得x2-6x+32=-5+32，即(x-3)2=4. 两边开平方，得x-3=±2，所以x1=5, x2=1. （4）移项，得x2+x=, 配方，得即： 两边开方，得x+1， 师生活动：学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代展示，教师点评过程中强调易错点. 【例题】 例1 用配方法解下列方程: （1）x2-10x-11=0; （2）x2+2x-1=0. 解:（1）移项,得x2-10x=11. 配方,得x2-10x+52=11+52, 即(x-5)2=36. 两边开平方,得x-5=±6. 所以x1=11,x2= -1. 提示：配方时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. （2）移项,得x2+2x=1. 配方,得x2+2x+12=1+12,即(x+1)2=2, 两边开平方,得x+1=±. 所以x1=-1+，x2=-1-. 师生活动：学生独立完成,小组内交流答案，比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生. 【合作探究】 问题2 对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢? 提示：如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程，就可以用学过的知识解方程了。 解:移项,得2x2+4x=-1, 二次项系数化为1,得x2+2x= , 配方,得x2+2x+1=+1, 即：(x+1)2=, ∴x+1=±, ∴x1=-1+, x2=-1- . 例2　用配方法解方程:2x2+3=6x. 解:移项,并将二次项系数化为1,得 配方,得：即： 两边开平方,得： 师生活动：小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨. 【归纳】 配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数； （3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程； （5）求解：解一元一次方程得到一元二次方程的解． 师生活动：教师提问，学生思考回答,教师补充,归纳后课件展示. 师生共同分析探讨用开平发的方法求出一元二次方程的根，从而得到把方程变形为左右两边是平方的形式的方法，进一步引出配方法的步骤. 通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础. 通过对一元二次方程配方法定义的归纳，让学生更加清晰、理解并掌握,同时为下一步用配方法解一元二次方程做铺垫. 通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识. 几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力. 以问题的形式引导学生思考,加深对配方法解方程的理解和掌握,让学生体验知识的形成过程,充分发挥学生在课堂上的主体作用,同时培养学生观察能力及归纳总结能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 用配方法解方程 练习1 解方程:x2﹣4x﹣3＝0. 解：x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， (x﹣2)2＝7， x﹣2＝， x1＝2+，x2＝2﹣. 变式训练1 解方程3x2﹣12x＝﹣12. 解：3x2﹣12x＝﹣12， x2﹣4x＝﹣4， x2﹣4x+4＝﹣4+4， （x﹣2）2＝0， x﹣2＝0， 即x1＝x2＝2． 巩固用配方法解方程的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.用配方法解方程3x2-6x-1=0，则方程可变形为( ) A.(x-3)2= B.(x-1)2= C.(3x-1)2= D.(x-1)2= 答案：D 2.若代数式3x2-6的值是21，则x的值是（ ） A.3 B.±3 -3 D.± 答案：B 3.已知关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7，则方程的两根为( ) A.±2 B.±3 C.±4 D.±7 答案：B 4.若x2-4x+p=(x+q)2，则p，q的值分别是（ ） A. p=4, q=2 B. p=4, q=-2 C. p=-4, q=2 D. p=-4, q=-2 答案：B 5.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于（ ） A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6 答案：B 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 解一元一次方程配方法： （1）定义：通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法； （2）步骤：一移常数项； 二配方[配上(2]； 三写成(x+n)2=p(p>0)； 四直接开平方； 五解两个一元一次方程. 提示：在使用配方法解方程前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P39习题A组，P40习题B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.2 解一元二次方程 第1课时　配方法 1.配方法的一般步骤：一移、二化、三配、四开、五解. 2.一般地，对于方程 x2=p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不等的实数根x1=-，x2=-； （2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当p<0 时,因为对任意实x，都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.配方法不仅是解一元二次方程的基本方法，而且也是讨论二次函数等所必备的基础.配方法是一种重要的代数变形工具，引导学生完全掌握该法. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$