24.2 第3课时 因式分解法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(冀教版)河北专版

第 二十四章 一元二次方程 24.2 解一元二次方程 第3课时 因式分解法 学习目标 学习重难点 用因式分解法解特殊的一元二次方程. 选用恰当的方法解一元二次方程. 难点 重点 1.理解用因式分解法解方程的依据，能用因式分解法解特殊的一元二次方程. 2.会选用恰当的方法解一元二次方程. 回顾复习 我们已经学过哪些解一元二次方程方法？这些方法是否能解所有的一元二次方程. 导入新知 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 ① 思考 对于方程x2-2x=0，除了可以用配方法或公式法求解，还可以怎样求解呢？ 观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？ 小亮的思考及解法 解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，可将方程的左边分解因式.于是，得 x（x-2）=0. 所以，x=0,或x-2=0. 方程x2-2x=0的两个根为x1=0,x2=2. 4 定义 小亮的解法是正确的，他给出了解一元二次方程的又一种方法.像这样，把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 5 例1 用因式分解法解下列方程： （1）3（x-1）2=2（x-1）；（2）（x+5）2=49. 解：（1）原方程可化为 3（x-1）2-2（x-1）=0， （x-1）（3x-5）=0. 得x-1=0，或3x-5=0. x1=1，x2= . （2）原方程可化为 （x+5）2-72=0， （x+12）（x-2）=0. 得x+12=0，或x-2=0. x1=-12，x2=2. 6 归纳 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 1.因式分解: 把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式; 2.降次:把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式; 3.计算: 解两个一次方程，求出方程的根. 7 巩固练习 1. 方程(x－2)(x+1)=x－2 的解是( ) A. x=0 B. x=2 C. x=2 或x=－1 D. x=2 或x=0 2.方程 (3x+6)(2x-4)=0的根是 . x1=-2,x2=2 D 8 知识点2 用适当的方法解方程 ② 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其 中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接 开方法和因式分解法适合于某些特殊方程. 9 例2 用适当的方法解方程： (1) (3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0； (2)（5x + 1）2 = 1； 解：(1) 因式分解，得[(3x＋2)－3] [(3x＋2)－5]＝0， 即 (3x－1)(3x－3)＝0， ∴x1＝ ，x2＝1. （2）开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= 10 例2 （3）2x2－7x－6＝0； （4） x2 - 12x = 4 解： (3) ∵a＝2，b＝－7，c＝－6，∴b2－4ac＝97>0， （4）配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 11 归纳 解一元二次方程方法的选择顺序： 在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首先考虑用直接开平方法和因式分解法，其次考虑用公式法．方程中系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法. 12 随堂演练 D 1. 解下列方程： ①5(m+2)2=8,② 3y2-y-1=0,③ -3t2+t=0 ，较适当的方法为( ) A. ①直接开平方法, ②因式分解法, ③公式法 B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法 C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法 D. ①直接开平方法, ②公式法, ③因式分解法 13 随堂演练 2. 解下列方程： (1)9(x－1)2=5；(2)x2+5x+7=3x+11；(3)3x2－6x=－3. 14 随堂演练 解：（2）化简，得 x2+2x=4，x2+2x+1=5， (x+1)2=5 (3)化简，得 x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 ( x－1 )( x－1 ) = 0. 即x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 15 随堂演练 3.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0 的解， 求这个三角形的周长． 解：解方程x2-4x+3=0 ， 得（x-3）（x-1）=0， ∴x1=3，x2=1. ∵三角形两边长分别为2和4， ∴第三边只能是3. ∴这个三角形的周长为9. 16 课堂小结 因式分解法 依据 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 步骤 ①化；②分；③降次；④计算 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 解：(1)9(x－1)2＝5， (x－1)2＝，x－1＝±， ∴x1＝＋1，x2＝－＋1. $$