因式分解（1）课件-2025年初高中衔接数学

第2讲 因式分解 — 初高衔接 1．学会利用分组分解法对多项式进行因式分解； 2．通过对因式分解之分组分解法的学习，培养数学运算的核心素养． 学习目标 知识点1 · 因式分解 观察这三个等式，等号左右两边的式子各有什么特点？ = = = 左边是多项式 右边是积的形式 知识点1 · 因式分解 将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解 因式分解 一个 多项式 几个 整式的积 因式分解 整式乘法 和差化积 积化和差 巩固练习 判断下列等式从左到右的变形是否为因式分解？ （1） （2） （3） （4） （5） 知识点2· 因式分解方法 因式分解 公式法 提取公因式法 十字相乘法 一 公式法 概念界定 常用的乘法公式 （3）完全立方公式 （4）立方和公式 （5）立方差公式 （6）三数和平方公式 （1）完全平方公式 （2）平方差公式 典型例题 例1.分解因式 （1） （2） 解：原式= = 解：原式= （2） （1） 练习1.分解因式 解：原式= 解：原式= 典型例题 例2.分解因式 （1） （2） 解：原式= = 解：原式= = （2） （1） 练习2.分解因式 解：原式= 解：原式= 典型例题 例3.分解因式 （1） （2） 解：原式= = 解：原式= = = 立方和（差）公式 典型例题 练习3.分解因式 （1） （2） 解：原式= 解：原式= 归纳总结 (1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如  ，这里逆用了法则 ； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 二 提取公因式法 概念界定 提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式. p a a p p b b ＋ ＋ ( ) ＝ 多项式的各项有一个公共的因式p. 公因式 提取公因式p,将多项式写成公因式与另一个因式相乘的形式. 因式分解·提公因式法 典型例题 例4.把下列各式分解因式. (1) ax＋ay; (2) 3mx＋6my. 公因式: a 解:原式＝a(x＋y) 公因式: 3m 解:原式＝3m(x＋2y) 如何分解因式: 8a3b2＋12ab3c. 问题探索 解:原式＝(m－n)(a＋b) 如何分解因式: 8 a3 b2 ＋ 12 a b3 c. (1)多项式两项的系数为______; (2)系数的最大公约数___; (3)都含有的字母为____; (4)字母a最低次数为__; 字母b最低次数为__; (5)公因式为_____. 8和12 4 a,b 1 2 4ab2 典型例题 例4.把下列各式分解因式. (3) 8a3b2＋12ab3c. 公因式: 4ab2 解:原式＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc ＝4ab2(2a2＋3bc) 如何确定多项式的公因式呢？ 以下是小雯同学的做法,有问题吗？ 解:原式＝4ab·2a2b＋4ab·3b2c ＝4ab(2a2b＋3b2c) 公因式: 4ab 因式分解必须要分解到每一个因式都不能再分解为止. ①取系数的最大公约数; ②取相同字母的最低次幂. 小试锋芒 练习4.把下列各式分解因式. (1) mn2＋m2n; (2) 12abc－3bc2; (3) pa＋p2b－pc; (4) －12x3y4z－9x4y3. 公因式: mn 解:原式＝mn(n＋m) 公因式: 3bc 解:原式＝3bc(4a－c) 公因式: －3x3y3 解:原式＝ －3x3y3(4yz＋3x) 公因式: p 解:原式＝p(a＋pb－c) 如何检查因式分解的结果是否正确？ ★按整式乘法把因式乘回去. 典型例题 例5.如何分解因式2a(b＋c)－3(b＋c)? 公因式: b＋c 解:原式＝(b＋c)(2a－3) 练习5-1.把下列各式分解因式. (1) 2a(y－z)－3b(y－z); (2) a(m－n)－b(n－m). 公因式: y－z 解:原式＝(y－z)(2a－3b) 公因式: m－n 解:原式＝(m－n)(a＋b) 小试锋芒 练习5-2.多项式8x2y2−14x2y＋4xy3各项的公因式是( ). A. 8xy B. 2xy C. 4xy D. 2y 练习5-3.(1)已知x＋y＝10, ＝1, 则代数式x2y＋xy2的值为___; (2)若实数a、b满足a＋b＝5, a2b＋ab2＝−15, 则ab的值是___. B 10 －3 归纳总结 (1)提取公因式p,将多项式写成公因式与另一个因式相乘的形式. (2)因式分解必须要分解到每一个因式都不能再分解为止. 三 十字相乘法 问题探索 根据整式乘法计算结果, 完成填空. (m＋3)(m＋4)＝___________; (m－3)(m＋4)＝___________; (m＋3)(m－4)＝___________; (m－3)(m－4)＝___________. m2＋m－12 你有什么发现？ m2＋7m＋12 m2－m－12 m2－7m＋12 (x＋p)(x＋q)= x2＋(p＋q)x＋pq 进一步探索 根据左边计算的结果, 完成填空. (m＋3)(m＋4)＝___________; (m－3)(m＋4)＝___________; (m＋3)(m－4)＝___________; (m－3)(m－4)＝___________. m2＋m－12 m2＋7m＋12＝____________; m2＋m－12＝____________; m2－m－12＝____________; m2－7m＋12＝____________. 你有什么发现？ m2＋7m＋12 (m＋3)(m＋4) m2－m－12 m2－7m＋12 (m－3)(m＋4) (m＋3)(m－4) (m－3)(m－4) (x＋p)(x＋q) x2＋(p＋q)x＋pq = 探索新知 一个 多项式 几个 整式的积 因式分解 十字相乘法 x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 如何用几何图形表示呢？ 问题思考 将大长方分割 问题思考 x x p q 如何表示长方形的面积？ 问题思考 x x p q x2 pq px qx 如何表示长方形的面积？ (x＋p)(x＋q) x2＋px＋qx＋pq 问题思考 x x p q x2 pq px qx 如何表示长方形的面积？ (x＋p)(x＋q) x2＋(p＋q)x＋pq 问题思考 x x p q x2 pq px qx 如何表示长方形的面积？ (x＋p)(x＋q)=x2＋(p＋q)x＋pq 几何表示 概念界定 十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法. 初步感知 例6.分解因式. (1) x2 ＋ 3x ＋ 2 ; x x 1 2 验证: 2x＋x＝3x 解:原式＝(x＋1)(x＋2) (2) x2 － 2x －8. x x 2 －4 验证: －4x＋2x＝－2x 解:原式＝(x＋2)(x－4) 练习6-1.分解因式. (1) y2－7y＋12; (2)m2＋7m－18. 解:原式＝(y－3)(y－4) 解:原式＝(m＋9)(m－2) 小试锋芒 练习6-2.小智与小雯学习完“十字相乘法”以后, 思考完全平方公式法与“十字相乘法”的联系. 问题: 因式分解4x2－12xy＋9y2. 1.小雯认为可以使用完全平方公式解决, 请你帮小雯写出答案; 2.小智认为可以使用“十字相乘法”解决这个问题, 你认同吗? 为什么? 解:原式＝(2x－3y)2 4x2 － 12xy ＋ 9y2 2x 2x －3y －3y 验证: －6xy－6xy＝－12xy ∴原式＝(2x－3y)2 你有什么发现？ 小试锋芒 练习6-3.把多项式x2＋ax＋b分解因式, 得(x＋1)(x−3), 则a, b的值分别是( ). A. a＝2, b＝3 B. a＝−2, b＝−3 C. a＝−2, b＝3 D. a＝2, b＝−3 B 练习5.如图, 根据图形把多项式a2＋5ab＋4b2因式分解为____________. a a b b b b b (a＋b)(a＋4b) 小试锋芒 练习6-4.因式分解. (2) x3−7x2−30x. (1)(m＋2)2−7(m＋2)−8; 解:原式＝x(x＋3)(x－10) 解:原式＝(m＋3)(m－6) 四 分组分解法 教学目标 01 理解分组分解法的概念，掌握常见四项式的分组规律 02 能运用分组分解法对四项或四项以上多项式进行因式分解 Q1：下列四项式能否直接用提公因式法或公式法因式分解 (1)ax+bx+ay+by； (2)x2-2xy+y2-1。 【分析】四项间无公因式，无法用提公因式法； 01 情境引入 两项逆用平方差公式，三项逆用完全平方公式，四项无法用公式法。 你能找到其他方法对上述两式进行因式分解吗？ Q2-1：因式分解 (1)x(a+b)+y(a+b)=__________________； (2)(x-y)2-1=__________________。 (a+b)(x+y) (x-y+1)(x-y-1) 01 情境引入 Q2-2：多项式的乘法 (1)x(a+b)+y(a+b)=__________________； (2)(x-y)2-1=__________________。 ax+bx+ay+by x2-2xy+y2-1 因式分解 原式 多项式的乘法 (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) ax+bx+ay+by (x-y+1)(x-y-1) (x-y)2-1 x2-2xy+y2-1 01 情境引入 Q3：ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)、x2-2xy+y2-1=(x-y+1)(x-y-1)是因式分解吗？ 【分析】是，符合因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 因式分解 原式 多项式的乘法 (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) ax+bx+ay+by 01 情境引入 Q4-1：ax+bx+ay+by具体是如何因式分解的？ ①先将ax+bx+ay+by二二分组+提公因式 二二分组 ax+bx + ay+by 提公因式 x(a+b) + y(a+b) ②再将x(a+b)+y(a+b)提公因式(a+b)，可得：(a+b)(x+y) 因式分解 原式 多项式的乘法 (x-y+1)(x-y-1) (x-y)2-1 x2-2xy+y2-1 01 情境引入 Q4-2：x2-2xy+y2-1具体是如何因式分解的？ ①先将x2-2xy+y2-1三一分组+公式法 三一分组 x2-2xy+y2 - 1 公式法-完全平方 (x-y)2 - 1 ②再将(x-y)2-1运用公式法-平方差，可得：(x-y+1)(x-y-1) 分组分解法 ②三一分组： x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1) eg：①二二分组： ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y) 02 知识精讲 分解因式：(1)ax-by-bx+ay； 【分析】法一： 第一步：分组，提公因式（选择a、b作为公因式） 原式=(ax+ay)-(bx+by) =a(x+y)-b(x+y) 02 知识精讲 第二步：提公因式(x+y) =(x+y)(a-b) 二二分组 分解因式：(1)ax-by-bx+ay； 法二：第一步：分组，提公因式（选择x、y作为公因式） 原式=(ax-bx)+(ay-by) =x(a-b)+y(a-b) 02 知识精讲 第二步：提公因式(a-b) =(a-b)(x+y) 二二分组 分解因式：(2)ac2+bd2-ad2-bc2； 【分析】法一： 第一步：分组，提公因式（选择a、b作为公因式） 原式=(ac2-ad2)+(bd2-bc2) =a(c2-d2)+b(d2-c2) 02 知识精讲 第二步：提公因式(c2-d2) =a(c2-d2)-b(c2-d2) =(c2-d2)(a-b) 第三步：运用公式法-平方差=(c+d)(c-d)(a-b) 二二分组 分解因式：(2)ac2+bd2-ad2-bc2； 法二：第一步：分组，提公因式（选择a、b作为公因式） 原式=(ac2-bc2)+(bd2-ad2) =c2(a-b)+d2(b-a) 02 知识精讲 第二步：提公因式(a-b) =c2(a-b)-d2(a-b) =(a-b)(c2-d2) 第三步：运用公式法-平方差 =(a-b)(c+d)(c-d) 二二分组 分解因式：(3)(ax+by)2+(ay-bx)2； 【分析】第一步：去括号 原式=a2x2+2abxy+b2y2+(a2y2-2abxy+b2x2) =a2x2+b2y2+a2y2+b2x2 02 知识精讲 第二步：分组，提公因式（选择a2、b2作为公因式） =(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2) =a2(x2+y2)+b2(x2+y2) 第三步：提公因式(x2+y2) =(x2+y2)(a2+b2) 第一步：分组提公因式， 也可以选择x2、y2作为公因式 二二分组 分解因式：(4)9m2-n2+3m-n； 【分析】第一步：分组，运用公式法-平方差 原式=(9m2-n2)+(3m-n) =(3m+n)(3m-n)+(3m-n) 02 知识精讲 第二步：提公因式(3m-n) =(3m-n)(3m+n+1) 二二分组 分解因式：(5)16x2-4x-9y2+3y。 【分析】第一步：分组，运用公式法-平方差 原式=(16x2-9y2)-(4x-3y) =(4x+3y)(4x-3y)-(4x-3y) 02 知识精讲 第二步：提公因式(4x-3y) =(4x-3y)(4x+3y-1) 二二分组 分解因式：(1)a2-2ab+b2-4； 【分析】第一步：分组，运用公式法-完全平方 原式=(a2-2ab+b2)-4 =(a-b)2-4 第二步：运用公式法-平方差 =(a-b+2)(a-b-2) 02 知识精讲 三一分组 分解因式：(2)1-4x2+4xy-y2； 【分析】第一步：分组，运用公式法-完全平方 原式=1-(4x2-4xy+y2) =1-(2x-y)2 第二步：运用公式法-平方差 =(1+2x-y)(1-2x+y) =-(2x-y+1)(2x-y-1) 02 知识精讲 三一分组 分解因式：(3)y(y-2)-(m-1)(m+1)。 【分析】第一步：去括号 原式=y2-2y-(m2-1) =y2-2y-m2+1 02 知识精讲 三一分组 第三步：运用公式法-平方差 =(y-1+m)(y-1-m) =(y+m-1)(y-m-1) 第二步：分组，运用公式法-完全平方 原式=(y2-2y+1)-m2 =(y-1)2-m2 02 知识精讲 【注意点】 一般地，因式分解一个四项式时，若其中三项可以构成完全平方式，则为三一分组，否则为二二分组。 分组分解法 例1、下列分解因式错误的是（　　） A．15a2+5a=5a(3a+1) B．-x2-y2=-(x2+y2) C．ax+x+ay+y=(a+1)(x+y) D．a2-bc-ab+ac=(a-b)(a-c) D 【分析】 C、ax+x+ay+y=(ax+x)+(ay+y)=x(a+1)+y(a+1)=(a+1)(x+y)，正确； D、a2-bc-ab+ac=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)，错误。 03 典例精析 例2、分解因式：16-a2+ab-b2。 03 典例精析 【分析】 原式=16-(a2-ab+b2) =42-(a-b)2 =(4+a-b)(4-a+b) =-(a-b+4)(a-b-4) 分组分解法 的拓展 例1、分解因式：2ax-3bx+x-2a+3b-1。 【分析】法一： 第一步：按照“3+3”分组，提公因式 原式=(2ax-3bx+x)-(2a-3b+1) =x(2a-3b+1)-(2a-3b+1) 03 典例精析 拓展——多项分组 第二步：提公因式(2a-3b+1) =(2a-3b+1)(x-1) 例1、分解因式：2ax-3bx+x-2a+3b-1。 【分析】法二： 第一步：按照“2+2+2”分组，提公因式 原式=(2ax-2a)-(3bx-3b)+(x-1) =2a(x-1)-3b(x-1)+(x-1) 03 典例精析 拓展——多项分组 第二步：提公因式(x-1) =(x-1)(2a-3b+1) 例2、分解因式：a2+ab+2ac+bc+c2。 03 典例精析 拓展——多项分组 【分析】 第一步：按照“3+2”分组，运用公式法-完全平方&提公因式 原式=(a2+2ac+c2)+(ab+bc) =(a+c)2+b(a+c) 第二步：提公因式(a+c) =(a+c)(a+b+c) 例3、分解因式：(m-2n)4-2m2-8n2+8mn+1。 【分析】第一步：按照“1+3+1”分组，提公因式 原式=(m-2n)4-(2m2-8mn+8n2)+1 =(m-2n)4-2(m2-4mn+4n2)+1 03 典例精析 拓展——多项分组 第三步：运用公式法-完全平方 =[(m-2n)2-1]2 第二步：运用公式法-完全平方 =(m-2n)4-2(m-2n)2+1 将(m-2n)2看作整体 第四步：运用平方差公式 =[(m-2n+1)(m-2n-1)]2 =(m-2n+1)2(m-2n-1)2 例4、分解因式：a2-4b2-c2+a+2b+4bc-c。 【分析】第一步：按照“4+3”分组，运用公式法-完全平方 原式=a2+a+(2b-c)-(4b2-4bc+c2) =a2+a+(2b-c)-(2b-c)2 03 典例精析 拓展——多项分组 第二步：二二分组，运用公式法-平方差 =[a2-(2b-c)2]+[a+(2b-c)] =(a+2b-c)(a-2b+c)+(a+2b-c) 将(2b-c)看作整体 第三步：提公因式(a+2b-c) =(a+2b-c)(a-2b+c+1) 课后总结 【分组分解法】 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能运用公式。 对于常见的四项式，一般有两种分法：①二二分法，②三一分法。 【注意点】 一般地，因式分解一个四项式时，若其中三项可以构成完全平方式，则为三一分组，否则为二二分组。 1．公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式． 常用方法总结 2．提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式． 4．十字相乘法：十字相乘法就是利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式进行因式分解． 3．分组分解法：先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法． 谢谢观看 $$