第22章 二次函数（专题）待定系数法求二次函数的解析式 教学学案 2025-2026学年人教版九年级上册数学

第12课 第二十二章二次函数（专题）待定系数法求二次函数的解析式人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一、用待定系数法求二次函数的解析式的常见三种形式 1、一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 2、顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3、交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 知识点二、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下 1、设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 2、代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 3、解：解此方程或方程组，求待定系数； 4、还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 【注意】在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为； ②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为； ③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 考点01 用一般式待定系数法求二次函数解析式 例题1. 根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式： ，，； ，，； ，，； ，，． 【答案】(1)解:  设函数解析式为y=+bx+c(a0),由函数图象过三点, ​​​​​​​得关于a, b, c的三元一次方程组解得 所以所求二次函数解析式为y=+2.  (2)解：设函数解析式为y=+bx+c(a0) , 由函数图象过三点,得关于a,b,c的三元一次方程组解得 所以所求二次函数解析式为y=+x-2.  (3)解：设函数解析式为y=+bx+c(a0),由函数图象过三点, 得关于a,b,c的三元一次方程组 所以所求二次函数解析式为y=-x-.  (4)解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 由函数图象过三点,得关于a,b,c的三元一次方程组 所以所求二次函数解析式为y＝x2－5x＋6．  变式1（1）. 已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 【答案】解：根据题意，得解得抛物线的解析式为．  变式1（2）. 已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【答案】解：将点代入抛物线中，得， 解得， 抛物线的解析式为．   变式1（3）. 已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 【答案】解：根据题意，得 解得 抛物线的解析式为．   变式1（4）. 已知抛物线经过原点，和三点，求此抛物线的解析式． 【答案】解：设抛物线的解析式为，则 解得 此抛物线的解析式为．  变式1（5）. 已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设二次函数的解析式为  根据题意，得解得这个二次函数的解析式为．  变式1（6）. 已知二次函数的图象经过、、三点． 求这个函数的解析式； 求这个函数图象的顶点坐标． 【答案】解：设所求二次函数的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所求二次函数的解析式为． 由， 顶点坐标为  【解析】设所求二次函数的解析式为，再把点、、代入函数解析式，得到关于、、的三元一次方程组，解方程组即可求、、，进而可得函数解析式． 把求得的解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 变式1（7）. 已知一个二次函数的图象经过、、三点，求此二次函数的解析式． 【答案】解：设二次函数的解析式为， 则由题意得，，解得 二次函数的解析式为．  【解析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，设二次函数的解析式为，把，，三点的坐标代入函数解析式中求出，，的值即可． 考点02 用顶点式待定系数法求二次函数解析式 例题2.已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． 求这个二次函数的解析式； 判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】(1)解：设函数解析式为：，把代入解析式，得： ， ∴， ∴；   (2)∵抛物线的顶点坐标为， ∴在这个函数图象上， ∴不在这个函数图象上．   【解析】 本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象上的点： 设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；  根据图象的顶点为，即可得出结论； 变式2（1）.已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点， 求出函数解析式． 请求出函数图像与坐标轴的交点． 【答案】(1)解：∵二次函数图象的顶点坐标为，且过点， ∴设函数解析式为：， 将代入得：，解得：； ∴； ∴解析式为：；   (2)解：当时：， 解得：或， ∴图象与轴的交点坐标为：． 由条件知，图象与轴交点坐标为：． 【解析】 本题考查求二次函数的解析式以及抛物线与轴，轴的交点坐标，利用待定系数法准确的求出函数解析式是解题的关键． 设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可；  令，解一元二次方程即可； 变式2（2）.已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． 求这个二次函数的解析式； 写出它的开口方向，对称轴． 【答案】(1)解：设函数的解析式为，把（1，-3）代入解析式，得，这个二次函数的解析式为；  (2)抛物线的开口向下，对称轴为直线.  变式2（3）.已知抛物线经过点，且顶点坐标为，求抛物线的解析式． 【答案】解：抛物线的解析式为．  变式2（4）.已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】解：由题可设该抛物线的解析式为  又抛物线过点，解得抛物线的解析式为．  变式2（5）.已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】．  变式2（6）.已知一条抛物线过点，且顶点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 【答案】解：抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为 将点代入，得， 则抛物线的解析式为：．  【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，难度适中，关键是正确表示出二次函数顶点式坐标的形式．设出抛物线的顶点式解析式，再把点代入即可求解． 变式2（7）.已知某二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：根据题意，设二次函数的解析式为 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为．  【解析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算出的值即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 考点03 用交点式待定系数法求二次函数解析式 例题3.已知一个二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为和，与轴的交点坐标为，求二次函数的解析式． 【答案】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得． 所以抛物线解析式为，即．  【解析】由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 变式3（1）.已知抛物线过点，，；求出对应的二次函数关系式。 【答案】解：解：设抛物线解析式为： -2a=2，得：a=-1，得：； 变式3（2）.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，且抛物线过点，求二次函数的解析式． 【答案】解：解方程得： ，， 设抛物线的解析式是， ， 把点的坐标代入得：， ，  【解析】先根据题意求出一元二次方程的二根，，设抛物线的解析式是，把点的坐标代入求出的值即可． 本题考查了抛物线与轴的交点以及用二次函数的交点式：是常数，，可直接得到抛物线与轴的交点坐标，求函数的解析式． 变式3（3）.二次函数的图象与轴交于两点，其中交点坐标为，，点在抛物线上，求抛物线的解析式； 【答案】解：设抛物线的解析式为， 将代入得 ， 解得：． 则该抛物线的解析式为．  【解析】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，根据题意设抛物线的解析式为，然后将代入求解即可． 变式3（4）.已知一抛物线与轴的交点是、，且经过点． 求该抛物线的解析式； 作出该抛物线的简图自建坐标系； 【答案】解：函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 抛物线图象如下图： 【解析】函数的表达式为：，将点的坐标代入上式，即可求解； 抛物线图象如下图； 考点04 用待定系数法求二次函数解析式的几种特殊情况 例题4.已知二次函数的图象如图所示，求二次函数的解析式． 【答案】解：由图象可得二次函数的图象经过，，， 则设二次函数的解析式为， 将代入解析式，得， 解得． 二次函数的解析式为．  【解析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式由图象可得二次函数的图象经过，，，设二次函数的解析式为，再将代入解析式求出的值即可． 变式4（1）.某二次函数图象的顶点坐标为，且它与轴的一个交点的横坐标为，求该二次函数的解析式． 【答案】解：设该二次函数的解析式为，把代入，得，解得故该二次函数的解析式为．  变式4（2）.二次函数的最大值为，且图象过点求二次函数的解析式． 【答案】解：函数的最大值为，且图象过点， ，由于，解得：， 则二次函数的解析式．  【解析】根据二次函数的最大值为和图象过点，得出，求出，的值即可． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，属于中档题． 变式4（3）.已知当时，二次函数取得最大值为，且图象经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】解：依题意可知，顶点为，可设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，， 该二次函数的解析式为．   变式4（4）.已知二次函数的图象经过点和，且对称轴为直线，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设这个二次函数的解析式为，根据题意，得解得二次函数的解析式为．  变式4（5）.已知二次函数在时有最大值，且图象经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】解：设此二次函数的解析式是，把点代入，得，解得，．  变式4（6）.一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设二次函数解析式为由已知，函数图象经过，，三点，得关于，，的三元一次方程组解这个方程组，得 所以二次函数的解析式为．  变式4（7）.已知二次函数的图象经过原点和且图象与轴的另一个交点到原点的距离为，求该二次函数的解析式． 【答案】解：图象与轴的另一个交点到原点的距离为， 这个交点坐标为、． 二次函数的图象经过原点， 设二次函数解析式为， 当这个交点坐标为时，代入点， ， 解得． 故该二次函数的解析式为； 当这个交点坐标为时，代入点， ， 解得． 故该二次函数的解析式为． 综上所述，所求的二次函数解析式为：或．  【解析】根据与轴的另一交点到原点的距离为，分这个交点坐标为、两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，利用待定系数法求二次函数解析式时，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一条抛物线与轴交于点和点，且与轴交于点，则该抛物线对应的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.已知抛物线过点和点，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，关键是观察、两点坐标的特点，可以推出、为抛物线与轴的交点；然后利用勾股定理求出点的纵坐标，最后用待定系数法求出函数的解析式．注意：点的纵坐标有两个． 【解答】 解： ，， ， 点的坐标有两种可能：，． 设所求抛物线的解析式为， 将代入，得；将代入，得， 所求抛物线的解析式为或． 故选C． 3.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.二次函数的图象经过，，三点，则它的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.已知一条抛物线与轴交于点和点，且与轴交于点，则该抛物线对应的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.已知抛物线经过，，三点． 设抛物线的解析式为，将三个点的坐标代入，可求得解析式为          ； 设抛物线的解析式为                     ，将          代入，解得          ，所以抛物线的解析式为          ，化为一般形式为          ． 【答案】(1)y＝x2-4x＋3  (2)-1;-3 ;（0，3）;1 ;（x-1）（x-3）;x2-4x＋3  7.若二次函数图象的顶点是，且经过点，则此函数的解析式为______． 【答案】  【解析】解：若二次函数图象的顶点是， 可知抛物线的解析式为， 将代入得， ， 函数解析式为， 所以该抛物线的函数解析式为， 故答案为． 由题意可得抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求出的值，从而得到二次函数解析式． 本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 8.如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点则抛物线的解析式为          ． 【答案】  9.已知二次函数的图象经过，两点，则这个二次函数的解析式为______． 【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得， 这个二次函数的解析式是， 故答案为． 将抛物线经过的两点坐标代入解析式，解二元一次方程组求、的值即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 10.已知二次函数的图象与轴的交点是，，与轴的交点是，那么这个二次函数的解析式是          ． 【答案】  【解析】解：设二次函数解析式为， 代入点，得， 解得； 所以二次函数解析式为 故答案为： 因为二次函数图象与轴交点，，可设二次函数解析式为，再进一步代入点，求得解析式即可． 本题主要考查待定系数求二次函数的解析式的知识点，熟悉二次函数的性质是解答本题的关键． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知某抛物线的顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同，求此抛物线的解析式． 【答案】  12.已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：将点和代入，得解得这个二次函数的解析式为．  13.已知二次函数在时有最大值，且图象经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】解：设此二次函数的解析式是， 把点代入，得，解得， ．   14.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：抛物线过，，三点，将三点代入，解得，，，二次函数解析式为．  15.如图，二次函数图象过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，求二次函数的解析式． 【答案】解：二次函数的解析式为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12课 第二十二章二次函数（专题）待定系数法求二次函数的解析式人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一、用待定系数法求二次函数的解析式的常见三种形式 1、一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 2、顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3、交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 知识点二、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下 1、设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 2、代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 3、解：解此方程或方程组，求待定系数； 4、还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 【注意】在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为； ②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为； ③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 考点01 用一般式待定系数法求二次函数解析式 例题1. 根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式： ，，；，，；，，； ，，． 变式1（1）. 已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 变式1（2）. 已知抛物线过点，求抛物线的解析式．   变式1（3）. 已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式．   变式1（4）. 已知抛物线经过原点，和三点，求此抛物线的解析式． 变式1（5）. 已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的解析式． 变式1（6）. 已知二次函数的图象经过、、三点． 求这个函数的解析式； 求这个函数图象的顶点坐标． 变式1（7）. 已知一个二次函数的图象经过、、三点，求此二次函数的解析式． 考点02 用顶点式待定系数法求二次函数解析式 例题2.已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． 求这个二次函数的解析式； 判断点是否在这个二次函数的图象上． 变式2（1）.已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点， 求出函数解析式． 请求出函数图像与坐标轴的交点． 变式2（2）.已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． 求这个二次函数的解析式； 写出它的开口方向，对称轴． 变式2（3）.已知抛物线经过点，且顶点坐标为，求抛物线的解析式． 变式2（4）.已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 变式2（5）.已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 变式2（6）.已知一条抛物线过点，且顶点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 变式2（7）.已知某二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 考点03 用交点式待定系数法求二次函数解析式 例题3.已知一个二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为和，与轴的交点坐标为，求二次函数的解析式． 变式3（1）.已知抛物线过点，，；求出对应的二次函数关系式。 变式3（2）.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，且抛物线过点，求二次函数的解析式． 变式3（3）.二次函数的图象与轴交于两点，其中交点坐标为，，点在抛物线上，求抛物线的解析式； 变式3（4）.已知一抛物线与轴的交点是、，且经过点． 求该抛物线的解析式； 作出该抛物线的简图自建坐标系； 考点04 用待定系数法求二次函数解析式的几种特殊情况 例题4.已知二次函数的图象如图所示，求二次函数的解析式． 变式4（1）.某二次函数图象的顶点坐标为，且它与轴的一个交点的横坐标为，求该二次函数的解析式． 变式4（2）.二次函数的最大值为，且图象过点求二次函数的解析式． 变式4（3）.已知当时，二次函数取得最大值为，且图象经过点，求该二次函数的解析式．   变式4（4）.已知二次函数的图象经过点和，且对称轴为直线，求这个二次函数的解析式． 变式4（5）.已知二次函数在时有最大值，且图象经过点，求该二次函数的解析式． 变式4（6）.一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，求这个二次函数的解析式． 变式4（7）.已知二次函数的图象经过原点和且图象与轴的另一个交点到原点的距离为，求该二次函数的解析式． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一条抛物线与轴交于点和点，且与轴交于点，则该抛物线对应的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 2.已知抛物线过点和点，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 4.二次函数的图象经过，，三点，则它的解析式为(    ) A. B. C. D. 5.已知一条抛物线与轴交于点和点，且与轴交于点，则该抛物线对应的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.已知抛物线经过，，三点． 设抛物线的解析式为，将三个点的坐标代入，可求得解析式为          ； 设抛物线的解析式为                     ，将          代入，解得          ，所以抛物线的解析式为          ，化为一般形式为          ． 7.若二次函数图象的顶点是，且经过点，则此函数的解析式为______． 8.如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点则抛物线的解析式为          ． 9.已知二次函数的图象经过，两点，则这个二次函数的解析式为______． 10.已知二次函数的图象与轴的交点是，，与轴的交点是，那么这个二次函数的解析式是          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知某抛物线的顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同，求此抛物线的解析式． 12.已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式． 13.已知二次函数在时有最大值，且图象经过点，求该二次函数的解析式． 14.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 15.如图，二次函数图象过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，求二次函数的解析式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$