22.1.4.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 习题课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式导入，以配方法为学习支架，结合例题解析与图形选项，帮助学生衔接前后知识脉络。 其特色是通过随堂演练强化运算能力，表格归纳系数与图象特征培养模型意识，图形选项题发展几何直观。采用讲练结合与表格小结，提升学生数学思维与表达能力，教师可高效实施教学。

22.1.4.1 　二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质 学习目标 （1）会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式. （2）会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值. （3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象. y＝(x－4)2－25 上 x＝4 (4，－25) B D D (4，0) 0 ±2 y＝2(x－2)2－3 左 上 2 D 5 B －5 (4，2) 8 D C D 随堂演练 基础巩固 1.抛物线y＝x2－2x＋2的顶点为( ) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－1，3) A A 综合运用 3.如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a(a是常数)与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4). (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系: 知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系 1．把二次函数y＝x2－8x－9通过配方可化为y＝a(x－h)2＋k的形式为__________________，所以图象的开口向_______，对称轴是直线________，顶点坐标是_______________． 知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 2．二次函数y＝x2－3x＋1的图象大致是( ) 3．关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( ) A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0，8) C．当x>－1时，y随x的增大而减小 D．y的最小值为－9 4．(郑州期末联考)若点A(－6，y1)，B(－2，y2)，C(2，y3)在二次函数y＝2x2－4x＋3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 5．如果抛物线y＝x2＋bx＋c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是________． 6．抛物线y＝x2－4x＋m的图象经过原点，则m的值是________． 【变式】若二次函数y＝x2－mx＋1的顶点在x轴上，则m的值是________． 7．已知抛物线y＝ eq \f(1,2) x2－2x－1. (1)用配方法把抛物线化成顶点式，指出开口方向、顶点坐标和对称轴，并画出函数图象； (2)指出当x为何值时，y随x的增大而减小． 解：(1)配方得y＝ eq \f(1,2) (x－2)2－3.∵ eq \f(1,2) ＞0， ∴开口方向向上，顶点坐标为(2，－3)，对称轴为直线x＝2，图略； (2)当x<2时，y随x的增大而减小． 知识点3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移 8．将抛物线y＝2x2－8x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为________________，图象先向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度，即可得到抛物线y＝2(x＋3)2－1. 9．(2024·南通改)将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为( ) A．(－4，－1) B．(－4，2) C．(2，－2) D．(2，－4) 知识点4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数之间的关系 10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么下列各式中，不成立的是( ) A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．a－b＋c＝0 12．已知抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是____________． 13．新考向　一题多问如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2－8x＋18上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD.则抛物线y＝x2－8x＋18的顶点坐标是________，正方形ABCD周长的最小值是___________. 4 eq \r(2) 　[核心素养：运算能力 推理能力 创新意识] 14．新定义　新概念问题在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：A(x，y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A(1，3)在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2，函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1.当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7. 根据材料，解答下列问题： (1)点B(－6，2)的“纵横值”为____； (2)若二次函数y＝－x2＋bx＋c的顶点在直线x＝ eq \f(3,2) 上，且“最优纵横值”为5，求c的值； (3)若二次函数y＝－(x－h)2＋3的顶点在直线y＝ eq \f(1,2) x＋2上，当－1≤x≤3时，求该二次函数的“纵横值”的范围． 解：(2)由题意，得－ eq \f(b,2×（－1）) ＝ eq \f(3,2) ， 解得b＝3，∴y＝－x2＋3x＋c. ∴y－x＝－x2＋3x＋c－x＝－x2＋2x＋c＝－(x－1)2＋1＋c. ∵“最优纵横值”为5，∴1＋c＝5.∴c＝4； (3)由题意，得 eq \f(1,2) h＋2＝3，解得h＝2. ∴y＝－(x－2)2＋3. ∴y－x＝－(x－2)2＋3－x＝－x2＋3x－1. ∴对称轴为直线x＝－ eq \f(3,2×（－1）) ＝ eq \f(3,2) . ∵－1＜0，∴抛物线开口向下． ∵－1≤x≤3， ∴当x＝ eq \f(3,2) 时，取得最大值为 eq \f(5,4) ， 当x＝－1时，取得最小值为－5. ∴当－1≤x≤3时，－5≤该函数“纵横值”≤ eq \f(5,4) . 【方法指导】解此类题时一般从最简单的函数的图象入手，根据其在平面直角坐标系中的位置判断出其系数的符号，再由此推断出其他函数的系数的符号，进而推断出其他函数在平面直角坐标系中的大致位置，并与平面直角坐标系中已给出的图象进行对比即可判断出正误． 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( ) 2．一次函数y＝ax－1(a≠0)与二次函数y＝ax2－x(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 3．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可能是( ) 已知二次函数y＝－ eq \f(1,2) x2－7x＋ eq \f(15,2) .若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜ x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 解：(1)由抛物线过C(5，4)得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1，∴该二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－ eq \f(5,2) )2－ eq \f(9,4) ，∴顶点坐标为P( eq \f(5,2) ，－ eq \f(9,4) )　 (2)(答案不唯一，合理即正确)如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为y＝(x－ eq \f(5,2) ＋3)2－ eq \f(9,4) ＋4，即y＝(x＋ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(7,4) ，也即y＝x2＋x＋2 $$