专题02 圆周角定理（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题02 圆周角定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用圆周角定理求角 1 题型二、利用圆周角定理证明 4 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 11 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 14 题型五、已知圆内接四边形求角度 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用圆周角定理求角 1.如图，在中，，，为上的点，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2.如图，是的直径，是的弦，若，则 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据是的直径，得出，进而得出，最后根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3.如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ．    【答案】/115度 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意补全图形，可得，，由圆周角定理可知，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点O为外圈所对的圆心，连接、、，       由题意得，，， 由圆周角定理可知，，， ∴， 故答案为：． 4.已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧所对的圆心角的度数为． 【知识点】三线合一、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 题型二、利用圆周角定理证明 5．如图，在中，直径弦于点，于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）先根据圆周角定理得出，由全等三角形的判定定理得出，故可得出结论． （2）先根据的长，设，连接，在中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论． 【详解】（1）证明：与是同弧所对的圆周角， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， 又， 设，则，，， 连接，则， 是直角三角形，，，， ，解得， ． 6．如图，是的直径，于，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由得到，由直径所对的圆周角等于可得出，即，由角平分线的定义可得出，即可得到，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可推出，即可得证； （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵； （2）解：由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ，， ∴， 即的长为． 7．如图，是的直径，是弦，与相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明得到，由三线合一定理即可证明结论； （2）由三线合一定理得到，由勾股定理得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为5． 8．如图1，的高，交于点，延长交外接圆于点，连接．    (1)求证：； (2)如图，连接，，若平分，求的值； (3)在（2）的条件下，如图，延长交于点，连接，，若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据圆周角定理可证，从而可得，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立； 过点作，，延长交于点，连接，可证四边形是正方形，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可知，利用圆周角定理可知，从而可证是等腰直角三角形，所以可知，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等，可得，可得：； 过点作，连接，可得和是等腰直角三角形，从而可得：，所以可得点、、在以点为圆心的圆上，所以有，根据等腰三角形的三线合一定理可得：，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证是的垂直平分线，所以可得是等腰直角三角形且，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：是的高， ， ， 是的高， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ； （2）解：如下图所示，过点作，，延长交于点，连接， ， 四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 即；    （3）解：如下图所示，过点作，连接， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 点、、在以点为圆心的圆上， ， ， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ．    题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 9.如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到，，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵的角平分线与交于点， ∴， 故答案为：． 10.如图，是的直径，弦，若，则 ． 【答案】65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 11.如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接，根据圆周角定理的推论可得，进而，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 12.如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）连接交于点E，根据垂径定理易得，，根据三角形中位线定理求出，由（1）知，，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， 是直径，   ， ，， ； （2）解：连接交于点E， ， ，， 又， 是的中位线， ， ， 在中，， 即，   解得：，（舍去）， 的半径为5． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 13.如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 14.如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在为直径的上运动，进而勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 15.如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 16.如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等； （1）根据圆内接四边形的性质得，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，即可求解； （2）连接，根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可求解； 掌握相关的性质，能由找出连接的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 题型五、已知圆内接四边形求角度 17.如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    【答案】/160度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 18.如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 【答案】/119度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形，是四边形的一个外角， ， 故答案为：． 19.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    【答案】60 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据是的直径得出，故可得出，由可知，故可得出，故，根据可知，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ，即， ． 故答案为：60． 20.如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； （1）根据圆周角定理得到，在证，根据圆周角定理得结论； （2）根据圆内接四边形的性质和勾股定理即可解答； 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， （2）四边形的四个顶点都在上，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，． 设交于点E， 则 在中， ，即， 解得： 故 即的半径为6． 一、单选题 1．如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和． 先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，内接于，连接、，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 根据圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求解． 【详解】解：，， ． 故选：． 3．如图，四边形为的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆心角与圆周角的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的对角互补求出相关圆周角的度数，再结合圆心角与圆周角的倍数关系求解． 先根据圆内接四边形对角互补，由求出的度数；再依据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到与的关系，进而求出的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴（圆内接四边形的对角互补）． ∵， ∴． ∵和分别是中弧所对的圆心角和圆周角， ∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）． ∴． 故选：B． 4．如图，内接于，是的直径，是上一点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据直径所对的圆周角为直角，得，由同弧所对的圆周角相等，得，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， 在中，， 是所对的圆周角， ， 故选：C． 5．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 二、填空题 6．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，又是的直径，则，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 根据圆周角定理求出，，进而求出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接AC， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键． 作交于点连接，交的延长线于点，连接，得到，继而得到，，推出关于对称，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于点，连接，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 9．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点， ∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：， 此时， ∴面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的面积，三角形全等的性质和判定，的圆周角所对的弦是直径等知识，确定的面积最小值时点的位置是解题的关键． 10．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】由已知可得，即得点在以为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解， 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∵为等腰三角形， 当时，点为正方形对角线的中点，如图， ∵    ， ∴； 当时，如图，过点作于，则，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，仅当点和点重合时， ∵点为正方形内部一点， ∴此种情况不符合； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，点和圆的关系，圆周角，等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题 11．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 13．如图，内接于于，交于另一点E，交于，已知，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接三角形相关性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是通过作辅助线，利用圆的性质找到角与边的关系，进而证明三角形全等和计算线段长度． （1）连接，先由推出，进而得到角相等关系，再结合已知，利用判定定理证明，从而得出． （2）延长交于，连接、，通过角的等量代换得到，结合得出，再根据已知边长和直径所对圆周角是直角，利用勾股定理求出直径，进而得到的长． 【详解】（1）证明：如图，连接 ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于，分别连接， ，，， ， ， ， ， ，， ， 是直径， 由勾股定理，得， ． 14．如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，，可得，从而可得结论； （2）连接，由（1）知，可得，证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 又平分， ， ， ， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：连接，由（1）知， ， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)60；60 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案； （2）延长至E，使，连接，如图所示：证明，可得，证明是等边三角形，即可得出结论． （3）过点E作于点F，求解，，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：延长至E，使，连接，如图所示： ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； （3）解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴. 16．如图，是的直径，点在上，过点作交于点E，G为上的一点，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．    (1)求证：． (2)设． ①求证：． ②若，求和的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接交于H，垂径定理得到为中垂线，得到，等边对等角，结合圆周角定理，等量代换，即可得出结论； （2）①圆周角定理结合三角形的内角和定理，推出，，垂径定理得到，进而得到，根据角的和差关系，得到，即可；②证明，得到关于对称，得到，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接交于H， 是的直径，， 为中垂线， ∴， ， ， ； （2）①， ， ， ， ， ， 为中垂线， ∴， ， ∵， ∴， ， ，即． ② 关于对称， ，即， ， ，即． 17．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点，使得，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：，，三点共线； (3)如图2，连接并延长交延长线于点，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)5． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由圆的内接四边形的性质得，结合三角形内角和定理得即可得证； （2）连接，可得，由圆的基本性质得是的直径，即可得证； （3）连接，，过点作于点，等腰三角形的判定及性质得，，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正方形的判定方法得菱形是正方形，可得是的直径，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形内接于， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2）证明：连接， 由（）得， ， ， ， 是的直径， ，，三点共线； （3）解：连接，，过点作于点， 由（1）得， ， ， ． ， ，， 由（2）知，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，， ，． 点、、、在上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 过作交于， ，， ， ， ， 与、相交于矛盾， 与重合， ． 菱形是正方形． ， 是的直径， ， 的半径是． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理等．掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 18．四边形是的内接四边形，是对角线，平分．     (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点，交线段于点，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）由圆的基本性质得，即可得证； （2）由等腰三角形的性质得可设，，可得，由圆的内接四边形的性质，即可得证； （3）连接，延长使，连接，，由正方形的判定方法得矩形是正方形，由圆的基本性质得 ，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ； （2）证明：， 可设， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ． （3）解：； 证明：连接，延长使，连接，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， 又， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆周角定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用圆周角定理求角 1 题型二、利用圆周角定理证明 4 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 11 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 14 题型五、已知圆内接四边形求角度 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用圆周角定理求角 1.如图，在中，，，为上的点，，则的度数是 ． 2.如图，是的直径，是的弦，若，则 ． 3.如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ．          4.已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 题型二、利用圆周角定理证明 5．如图，在中，直径弦于点，于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 6．如图，是的直径，于，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)作，垂足为，若，求的长． 7．如图，是的直径，是弦，与相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 8．如图1，的高，交于点，延长交外接圆于点，连接．    (1)求证：； (2)如图，连接，，若平分，求的值； (3)在（2）的条件下，如图，延长交于点，连接，，若，求的面积． 题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 9.如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 10.如图，是的直径，弦，若，则 ． 11.如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 12.如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 题型四、90°的圆周角所对的弦是直径 13.如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 14.如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 15.如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 16.如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 题型五、已知圆内接四边形求角度 17.如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    18.如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 19.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    20.如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 一、单选题 1．如图，在中，是直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，连接、，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形为的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，内接于，是的直径，是上一点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 二、填空题 6．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 7．如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为 ． 8．如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长 ． 9．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ． 10．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 12．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 13．如图，内接于于，交于另一点E，交于，已知，． (1)求证：． (2)若，求的长． 14．如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 16．如图，是的直径，点在上，过点作交于点E，G为上的一点，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．    (1)求证：． (2)设． ①求证：． ②若，求和的数量关系． 17．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点，使得，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：，，三点共线； (3)如图2，连接并延长交延长线于点，连接，若，，求的半径． 18．四边形是的内接四边形，是对角线，平分．     (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点，交线段于点，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$