17.4 直角三角形全等的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

17.4 直角三角形全等的判定 课题 17.4 直角三角形全等的判定 课型 新授课 教学内容 教材第159-161页的内容 教学目标 1. 探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用. 2. 会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形. 3. 初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力. 教学重难点 教学重点：探究直角三角形全等的条件. 教学难点：灵活运用直角三角形全等的条件进行证明. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 师：三角形全等的判定方法有哪些? 师生共同复习三角形全等的判定方法 教师引导学生分析判定三角形全等的四个定理，找出思路，让学生独立完成证明过程. 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？今天我们一起探究一下. 2.实践探究，学习新知 【过渡语】在一个直角三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定，那么第三边也随之确定.由此可得出直角三角形全等的新的判定方法. 活动一:教材探究活动——直角三角形全等的判定定理 【探究】 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 全等，根据AAS 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 全等，根据ASA 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 全等，根据SAS 如图，两个直角三角形，AB = A′B′ ，AC= A′C′，这两个直角三角形全等吗？如何证明？ 教师说明:我们已经知道三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知两边对应相等的两个直角三角形,其第三边一定相等.从而这两个直角三角形一定全等.因此斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 怎样利用勾股定理证明这个命题呢? 指导学生画出图形，写出已知、求证. 【课件5】　已知:如图所示，在ΔABC和ΔA'B'C'中，∠C=∠C'=90°,AB=A'B’，AC=A’C’. 求证：ΔABC≌ΔA'B'C'. 证明：在ΔABC和ΔA'B’C’中， ∵∠C=90°，∠C'=90°, ∴BC2=AB2-AC2, B’C'2=A'B’2—A'C'2（勾股定理). ∵AB=A'B',AC=A'C'， ∴BC=B’C’. ∴ΔABC≌ΔA’B’C'（SSS）. 【归纳】直角三角形全等的判定定理： 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 这个定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL". 【说明】对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了，如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形也全等.三角形全等的各个条件中，一个必要的条件是至少有一条边对应相等. 活动二:教材例题——尺规作直角三角形 【教材例题】 例1 已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知:如图所示，线段a，c. 求作：ΔABC，使∠C=90°,BC=a，AB=c. 分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A. 作法:如图所示. （1)作线段CB=a. （2）过点C，作MC⊥BC. （3）以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A. (4)连接AB. 则ΔABC即为所求. 与同桌所作的进行比较,是否重合. 活动二:教材例题——尺规作直角三角形 例2 已知:如图所示,点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D,且PC=PD. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 证明:如图所示,作射线OP. ∵PC⊥OA，PD⊥OB. ∴∠PCO=∠PDO=90°, 在RtΔOPC和RtΔOPD中， ∵ ∴RtΔOPC≌RtΔOPD(HL). ∴∠POA=∠POB. ∴OP是∠AOB的平分线, 即点P在∠AOB的平分线上. 思考：这个命题与角平分线的性质定理有什么区别？通过这道题,你能得到怎样的结论？ 归纳：角平分线性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3.学以致用，应用新知 考点1 直角三角形全等的判定 【例1】例 如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是 . 答案：AC＝AD或BC＝BD 变式训练 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）△OBC是何种三角形？证明你的结论 证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°， AC＝BD，BC为公共边， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）. （2）△OBC是等腰三角形， ∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 答案：A （2）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝ A．28° B．59° C．60° D．62° 答案：B （3）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ ，△ABC与△APQ全等． 答案：5或10 （4）如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF． 求证：Rt△BCE≌Rt△DCF． 证明：如图，连接AC， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∵BE⊥EF，DF⊥EF， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）. 5.课堂小结，自我完善 谈谈这节课你的收获有哪些？ 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.根据勾股定理，HL实际转换为SSS的判定方法. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 6.布置作业 课本P160练习1-2题，P161习题A，B组. 回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识，并为后续问题的探究做铺垫. 根据转变不同的条件看两直角三角形是否全等，让学生理解和掌握探究的流程和思考问题的方式. 通过“HL”定理的推导渗透转化的思想，体验从特殊到一般的思维方式，发展合情推理与演绎推理的能力，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，培养学生严谨的治学态度和创造性的解决问题的能力. 该例题作图的依据是“如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边，那么这个直角三角形就确定了”.也是直角三角形全等判定的应用. 利用直角三角形全等的判定定理证明角平分线性质定理的逆定理，理解知识间的必然联系. 通过例题讲解，巩固理解使用“HL”判定直角三角形，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏. 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用“HL”定理解决问题. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 归纳出本节课的知识要点；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力 板书设计 17.4 直角三角形全等的判定 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本节教学重点是掌握直角三角形全等的条件，并能用之解决实际问题，难点是能有条理地进行简单推理，在教学时，可采用以下两种方法来抓住重点，突破难点，效果较好. 1、合作探究，生生互助.在探究直角三角形全等的条件时，让学生经历“建模—说理—验证”合作学习，归纳得出“HL”判定方法；通过“议一议、练一练、想一想”，深化理解“HL”；为了学生掌握，我以“问题—模型—归纳—应用”模式，使学生感受生活与教学的联系.这样，既符合教学规律，又培养学生推理应用能力，既能抓住重点，又提高了教学效率. 2、适时点拨，突破难点.在“HL”应用推理时，我以“示范—思考—讨论—小结—验证”为线索，设计演示、训练、点评、归纳、总结.这样既符合学生认识水平，也易于接受，又突破难点. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$