13.1 命题与证明-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

13.1 命题与证明 课题 命题与证明 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P32—34 教学目标 1.了解互逆命题，会写出一个命题的逆命题. 2.能运用基本事实和相关定理进行简单的证明. 3.感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性. 教学重难点 重点： 1.让学生弄清命题的条件和结论,熟悉命题的形式. 2.理解逆定理和证明的概念,能进行简单的证明. 难点：理解证明的必要性. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 导入: 师:我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的外角和等于360度”“两条边相等的三角形是等腰三角形”等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确. 1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 2.两直线平行，同旁内角互补. 3.同旁内角相等,两直线平行. 4.正方形的四条边相等. 5.直角都相等. 通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假，初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知. 2.实践探究，学习新知 活动一:真假命题与互逆命题 观察下面两个命题： （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； （2）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行,那么同位角相等. 引导学生思考: （1）在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系? （2）请再举例说明两个具有这种关系的命题. 归纳:像这样，一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题. 在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题. 完成教材第32页【做一做】并指出原命题和逆命题的真假性. 教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性. 1.命题的条件和结论 【教师讲解】 在数学中，许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……"的形式,用“如果”开始的部分是条件，“那么"开始的部分是结论. 有的命题的条件和结论不十分明显，可以将它写成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的条件和结论了.例如:命题“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”. 下列命题的条件是什么？结论是什么? （1）对顶角相等. （2）如果a＞b,b＞c,那么a=c. 引导学生把（1）先改写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论. 解:(1)条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等. (2）条件:a>b，b>c，结论：a=c. 2.真假命题 判断下列句子是否正确. （1)三角形的内角和是180度. （2）同位角相等. （3）同角的余角相等. （4）一个锐角与一个钝角的和是180度. 让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由. 3.互逆命题 【教师讲解】 例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截，且两直线平行”,结论是“那么内错角相等”.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”.这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题. 一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题. 活动二：证明与互逆定理 要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理，这种推理叫做证明 【教材例题】证明:平行于同一条直线的两条直线平行. 让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法. 说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求. 已知:如图所示,直线a，b,c，a∥c，b∥c. 求证:a∥b. 证明：如图所示,作直线d，分别与直线a，b，c相交. ∵a∥c（已知), ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等）. ∵b∥c（已知）， ∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等). ∴∠1=∠3（等量代换). ∴a∥b(同位角相等,两直线平行）. 即平行于同一条直线的两条直线平行. 一般地,证明命题按如下步骤进行: （1)依据题意画图,将文字语言转换为符号(图形）语言;(2)根据图形写出已知、求证；(3）根据基本事实、已有定理等进行证明. 【教师讲解】如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是真命题，所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理. 你能举出我们学过的一些互逆定理吗? 一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如：“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理. 指导学生完成教材第33页“做一做". 【做一做】　已知:如图所示，点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线. 求证：OD⊥OE. 证明:∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC, ∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC, ∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC)=180°=90°, 即∠DOE=90°, ∴OD⊥OE. 明确真、假命题与互逆命题,通过区分两类概念，从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力. 通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据. 3.学以致用，应用新知 【例1】以下说法正确的有：　　　　（只填序号）. ①垂线段最短； ②在平面内，若a⊥b,b⊥c，则a∥c; ③“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”； ④过一点有且只有一条直线平行于已知直线. 解：①②③（解析:垂线段最短，所以①正确；在平面内，若a⊥b,b⊥c,则a∥c，所以②正确；“同旁内角互补，两直线平行"的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行"，所以③正确;过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线,所以④错误.） 【例2】如图所示，现有以下3个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C，③∠E=∠F.请以其中2个作为条件,第3个作为结论构造命题. (1)你构造的是哪几个命题? (2)你构造的命题是真命题还是假命题?请加以证明. 解:（1）①②为条件,③为结论；①③为条件，②为结论；②③为条件，①为结论.　 证明：（2）∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF， ∴CE∥BF，∴∠E=∠F， 所以由①②为条件，③为结论组成的命题是真命题. ∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF, ∵∠E=∠F，∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C, 所以由①③为条件，②为结论组成的命题是真命题. ∵∠E=∠F,∴CE∥BF, ∴∠C=∠CDF,∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD, 所以由②③为条件，①为结论组成的命题是真命题. 4.随堂训练，巩固新知 1.下列命题的逆命题一定成立的是 （　　) ①对顶角相等; ②同位角相等，两直线平行； ③若a=b，则|a|=|b｜; ④若x=3,则x2—3x=0. A.①②③ B.①④ C.②④ D.② 解析:①对顶角相等,逆命题为:相等的角为对顶角，错误;②同位角相等,两直线平行，逆命题为：两直线平行,同位角相等,正确；③若a=b，则｜a|=|b｜,逆命题为：若｜a｜=｜b｜，则a=b,错误；④若x=3，则x2-3x=0,逆命题为：若x2-3x=0，则x=3,错误.故选D. 2.命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有（　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:对顶角相等，所以①为真命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行,所以②为假命题；相等的角不一定是对顶角,所以③为假命题;两直线平行，同位角相等，所以④为假命题.故选C. 3.已知三条不同的直线a，b,c在同一平面内,下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a，c∥a,那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a,那么b⊥c； ④如果b⊥a,c⊥a，那么b∥c. 其中真命题的是　　　　.(填写所有真命题的序号)  解析：分析所给命题是否为真命题，需要分析条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.故填①②④. 4.命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件是　　　　，结论是　　　　，这是　　　　命题（填“真”或“假”）.  解析:命题写成“如果…,那么…”的形式时，“如果"后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论.依此可写出命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件和结论.根据偶数的定义可知该命题是真命题. 答案:n是整数　2n是偶数　真 5.如图所示,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个条件中，请你选择其中两个作为条件,剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明. ①AB⊥BC,CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2. 解析:可以由①②得到③:由AB⊥BC，CD⊥BC得到AB∥CD,利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB,又BE∥CF，所以∠EBC=∠FCB,所以∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB，即∠1=∠2. 解:(答案不唯一）已知:如图所示,AB⊥BC，CD⊥BC,BE∥CF. 求证:∠1=∠2. 证明:∵AB⊥BC，CD⊥BC, ∴AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB, 又∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB， ∴∠ABC—∠EBC=∠DCB-∠FCB， ∴∠1=∠2. 5.课堂小结，自我完善 1.命题的组成：每一个命题都是由条件和结论两部分组成的,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 2.真命题、假命题、反例：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；举一个例子，其具备命题的条件，而不具备命题的结论,这种例子称为反例. 3.互逆命题与互逆定理：般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 4.证明的一般步骤：（1)画图；（2)写出已知、求证;(3）证明. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P34练习T1; 2.课本P34习题T1,T2和T3. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 13.1　命题与证明 活动一：真假命题与互逆命题 活动二:证明与互逆定理 提纲掣领，重点突出. 教后反思 1.本节课的主要内容是命题、定理、证明.为此,在导入时让学生通过生动的情境导入，提高了学生学习的兴趣,激发了学生的好奇心.整个过程以学生与学生、学生与教师之间的“对话”“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的,让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值.本课的内容比较简单,但概念较多，因此在学习之后设计了大量练习,让学生在练习中巩固所学知识，加深对概念的理解和运用. 2.不足之处：本节涉及的概念较多，在概念的传授上,教师没有做到成功引导,虽然有引导的内容，但实际效果不佳.在判断一些较难命题的条件和结论时判断不够准确，语言表达不够清晰，对于定理部分的内容介绍较少. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$