1.1 集合的概念 课后提升训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念课后提升训练 人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学 （一）、知识梳理 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). （二）、课后提升训练 一、单项选择题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 3．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 5．若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 8．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 二、多项选择题 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 10．若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 11．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 三、填空题 12．已知集合，则集合中所有元素之和为 ． 13．已知集合各元素之和等于3，则实数 14．（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 4、 解答题 15．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 16．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 17．设为实数，集合. (1)若，求S； (2)若，求满足的条件； (3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 18．给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 19．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. （三）、参考答案 一、单项选择题 1．C 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【详解】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 2．B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 3．B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 4．C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 5．A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 6．C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 7．A 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 8．C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 二、多项选择题 9．BC 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 10．AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 11．ACD 【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对于A：令，，则， 即对任意，均有，所以，故A正确； 对于B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：，但是，故B错误； 对于C：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D：因为，，即，所以，使，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据元素与集合间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】由知，或0或1． 当时，，此时，则，不满足题意，舍去； 当时，，若，此时，则，不满足题意，舍去， 若，此时，则，满足题意； 当时，，此时，满足题意． 所以， 所以集合中所有元素之和为． 故答案为： 三、解答题 13．或 【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 14． 5 0或 【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. （2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论. （3）分析当与两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）因集合，， 当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10， 于是得，所以中元素的个数为5. （2）由题意，可得，所以，则， 所以，所以. （3）当时，有，解得，满足条件； 当时，仅有一根，故，解得， 综上，或. 故答案为：①；②；③或 15．(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 16．(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 17．(1) (2)，，或， (3) 【分析】（1）代入，解方程求解可得； （2）由2是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程的二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可. 【详解】（1）当时，. （2）因为，则，即， 当2为方程的根时，则，解得； 当2不为方程的根时，则. 综上所述，，，或，. （3）， 若，， 则，又， 所以有，解得 验证：当时，， 不满足集合S恰有两个元素，故； 若，由， ， 则，又，则，又， 所以，即. 由，则，即，解得. 验证：当时， 也不满足集合S恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和2. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以，为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 18．(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3)，，，， 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【详解】（1）因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质， 集合中的，， 所以集合不具有性质， 所以集合具有性质，集合不具有性质； （2）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以，       不妨设，则，且， 令，， 则，且，且， ①当时，显然， 因为，所以， 所以，解得，         此时，具有性质； ②当时，则， 因为且， 所以，， 所以，解得， 此时，与题意不符（舍）， 综上，， 故； （3）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，， 此时， 若，显然， 所以， 由集合具有性质， 所以，， 因为且与互为相反数， 所以，两个数中必然一正一负， 所以中有0，有正数也有负数， 下面对中元素的正负个数进行讨论： （1）当中有1个负数，4个正数时， 不妨设，， 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （2）当中有4个负数，1个正数时， 不妨设时，， 因为均小于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （3）当中有2个负数，3个正数时， 不妨设时，，， 因为， 所以， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以，， 因为，， 所以，，， 故，，，， 所以，，，② 由①②，得， 于是：. （4）当中有3个负数，2个正数时， 由（3），同理可得， 由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个， 分别是，，， ，. 19．(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 学科网（北京）股份有限公司 $$