2.4用因式分解法求解一元二次方程（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1.理解用因式分解法解方程的依据； 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程；(重点) 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. (难点) 知识回顾 1.我们已经学过哪些一元二次方程的解法？ 直接开平方法、配方法、公式法. 2.因式分解的主要方法有哪些？ ①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c). ②公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b), 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 . ③十字相乘法：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) . 情境引入 思考：你能根据上边的正确结论解一元二次方程(x+1)(x－1)=0吗？ 问题：若ab=0，可以得到下面两个结论吗？ (1)a和b都为0，即a=0，且b=0. (2)a和b至少有一个为0，即a=0，或b=0. × √ 新知探究 探究一：因式分解法解一元二次方程 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程 x2 = 3x.但他们的解法各有不同. 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0. 因此, x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3. 小颖 方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3. 小明 你有什么发现？ 新知探究 由方程 x2 = 3x，得 x2 - 3x = 0， 即 x(x - 3)= 0． 于是 x = 0，或 x - 3 = 0. 因此 x1 = 0，x2 = 3． 所以这个数是 0 或 3． 小亮 这样做的依据是什么？ 依据：如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0. 新知探究 议一议 （1）他们做的对吗？为什么？你是怎么做的？ 小亮的方法更简单，但是小颖的方法是万能的. 小颖和小亮的解法都是正确的，小明的解法是错误的。 小颖应用了公式法解方程，是正确的。 小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况。 小亮的方法是利用了方程一边为0,另一边分解成两个一次因式乘积的形式。 （2）对比小颖和小亮的方法，你有什么发现？ 新知探究 因式分解法解一元二次方程 知识归纳 通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 适用范围：一元二次方程为一般形式，方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积. 依据：若a·b＝0，则a＝0或b=0. 新知探究 1.解下列方程：（1）5x2 = 4x ; （2）x – 2 = x (x - 2). 解：5x2 - 4x = 0, x (5x - 4) = 0. ∴x = 0 或 5x – 4 =0. ∴ x1 = 0 , x2=. 解：(x - 2) – x (x - 2) = 0, (x - 2) (1 - x) = 0. ∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0. ∴ x1 = 2 , x2=1. 原来的一元二次方程化成了两个一元一次方程. 新知探究 1.移项：将方程的右边化为0; 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; 3.转化：方程转化为两个一元一次方程; 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 因式分解法解一元二次方程的步骤： 知识归纳 新知探究 探究二：选用适当的方法解一元二次方程 解： (x+2)(x-2)=0, ∴ x+2=0 或 x-2=0. ∴ x1=-2， x2=2. 想一想 (1) x2-4=0; (2) (x+1)2-25=0. 你能用因式分解法解下列方程吗？ 解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴ x+6=0 或 x-4=0. ∴ x1=-6，x2=4. 这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解? 还可以用直接开平方法解方程. 新知探究 例 用适当的方法解方程： （1）3x(x + 5)= 5(x + 5)； （2）(5x + 1)2 = 1。 分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0，x2 = 新知探究 一元二次方程的解法及适用类型: 知识归纳 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 新知探究 一元二次方程的解法选择思路： 知识归纳 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 新知探究 2.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( ) A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x 2－4 C． x 2＋5 x －2＝0 D．12(2－ x)2＝3 B 典例分析 分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2. 用适当的方法解下列方程： 例1 （1）2（x-1）2-18 ＝ 0 ； （2）x2+4x-1 ＝ 0 ； 分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法. 解：原方程变形为x2+4x＝ 1. 配方，得x2+4x+22＝ 1+22， 即（x+2）2＝5. 可得x+2 ＝ ± ， ∴ x1＝ -2+ ，x2＝-2- . 典例分析 （3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ； 分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法. 解：整理，得 [3(x+1)]2-(2x-5)2＝ 0. 因式分解，得 [3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]＝ 0. 可得3(x+1)+(2x-5)＝0或3(x+1)-(2x-5)＝0, 即5x-2 ＝0 或x+8 ＝0， ∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8. 解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1， ∴ Δ＝ b2-4ac＝（-12）2-4×9×（-1）＝ 144+36 ＝180>0， （4）9x2-12x-1 ＝ 0. 分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 例2 典例分析 解：设这个数为x,根据题意,得 ∴x=0,或2x-7=0. 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x1=0，x2=. 巩固练习 基础巩固题 1.一元二次方程x(x －3)＋3－ x ＝0的根是( ) A．1 B．3 C．1和3 D．1和2 C 2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4 x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( ) A．5 B ．7 C．5或7 D．10 B 3.经计算，整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4=0的根为(　　) A. x1=-1，x2=-4　  B. x1=-1，x2=4 C. x1=1，x2=4　   D. x1=1，x2=-4 B 巩固练习 基础巩固题 6．若正数a是一元二次方程x 2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是 ． 4．方程x 2＝| x |的根是 ． 5．如果x 2－ x －1＝(x ＋1)0，那么x的值为 ． 0，±1 2 5 7.小华在解一元二次方程x2－8x＝0时，只得出一个根是x＝8，则被她漏掉的一个根是x＝______. 0 巩固练习 基础巩固题 8.用因式分解法解下列方程： (1)2(x －3)2＝x2－9； (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)5x(2x－3)＝10x－15. 解：(1)2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)， (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0. 解得x1＝3，x2＝9. (2)(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0， 解得x1＝－，x2＝－2. (3)5x(2x－3)＝5(2x－3)， (5x－5)(2x－3)＝0， 解得x1＝1，x2＝. 巩固练习 基础巩固题 9.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， (x－7)(x－10)＝0 得 x1＝7，x2＝10. 当x＝10时，3＋7＝10， ∴x2＝10不合题意，舍去． ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 课堂小结 用因式分解法求解一元二次方程 概念 通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 步骤 依据 若a·b＝0，则a＝0或b=0. 移项、化积、转化、求解. 作业布置 1.必做题：习题2.7第1-2题。 2.探究性作业：习题2.7第3题。 感谢聆听! $$