5.2二次函数的图像和性质（第1课时y=ax2(a≠0））（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 5.2.1 二次函数的图像 和性质—y = ax2 ( a ≠ 0 ) 第五章 二次函数 章节导读 5.2.1 二次函数的图像 和性质—y = ax2 ( a ≠ 0 ) 学 习 目 标 1 2 能用描点法作出二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像 能根据二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像描述其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等，理解a对二次函数图像的影响 新知探究 我们已经学习了一次函数和反比例函数的图像的画法，并借助图像研究这些函数的性质； 同样地，我们也可以借助二次函数的图像研究二次函数的性质。 以二次函数y = x2为例，你能根据表达式描述其图像特征吗？ x = 0时，y = 0 图像过原点 x可取一切实数， 图像向左、右无限延伸 新知探究 y ≥ 0，图像向上无限延伸， 且x轴下方没有图像 x = 2时，y = 4； x = -2时，y = 4； 图像上的点A ( -2，4 )与点B ( 2，4 )关于y轴对称 O -2 2 x y A B 4 2 新知探究 思 考 1. 用描点法画y = x2的图像。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … ① 列表： ② 描点： ③ 连线： 新知探究 思 考 2. 用描点法画y = -x2的图像。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … ① 列表： ② 描点： ③ 连线： 新知探究 思 考 3. 函数y = x2的图像与函数y = -x2的图像有什么共同特征？ ① 图像都是抛物线； ② 抛物线关于y轴对称； ③ 抛物线的顶点在原点。 新知探究 y = x2、y = -x2的图像： 二次函数y = x2、y = -x2的图像都是抛物线，且关于y轴对称。 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 知识要点 新知探究 探 究 1. 分析函数y = x2和y = 2x2的图像的共同特征。 共同特征： ① 图像都是抛物线； ② 抛物线的开口向上； ③ 抛物线关于y轴对称； ④ 抛物线的顶点在原点； ⑤ 顶点是抛物线的最低点。 新知探究 探 究 2. 分析函数y = -x2和y = -2x2的图像的共同特征。 共同特征： ① 图像都是抛物线； ② 抛物线的开口向下； ③ 抛物线关于y轴对称； ④ 抛物线的顶点在原点； ⑤ 顶点是抛物线的最高点。 新知探究 探 究 3. 观察函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像的开口大小，你发现了什么？ ① 当a > 0时，a越大，开口越小；当a < 0时，a越小，开口越大； 即| a |越大，开口越小。 ② | a |相同，开口大小相同。 新知探究 a对二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像的影响： ( 1 ) a的正负决定抛物线的开口方向； ( 2 ) | a |的大小决定抛物线的开口大小。 知识要点 新知探究 二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像： ( 1 ) 顶点在原点： ( 2 ) 当a > 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a < 0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 ( 3 ) | a |越大，开口越小；| a |相同，开口大小相同。 知识要点 新知探究 探 究 1. 观察函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像的升降，你发现了什么？ 当a > 0时， y轴左边的图像下降， y轴右边的图像上升； 当a < 0时， y轴左边的图像上升， y轴右边的图像下降。 新知探究 探 究 2. 如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？ 图像“上升”可以用“x增大时，y也增大”来描述 图像“下降”可以用“x增大时，y减小”来描述 新知探究 二次函数y = ax2 ( a > 0 )的性质： 当x < 0时，y随x增大而减小； 当x > 0时，y随x增大而增大； 当x = 0时，y取最小值0。 知识要点 二次函数y = ax2 ( a < 0 )的性质： 当x < 0时，y随x增大而增大； 当x > 0时，y随x增大而减小； 当x = 0时，y取最大值0。 新知探究 完成下面表格。 解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 y = x2 y = -x2 y = x2 y = -x2 y = 2x2 y = -2x2 向上 y轴 ( 0，0 ) 最小值0 先减后增 向下 y轴 ( 0，0 ) 最大值0 先增后减 向上 y轴 ( 0，0 ) 最小值0 先减后增 向下 y轴 ( 0，0 ) 最大值0 先增后减 向上 y轴 ( 0，0 ) 最小值0 先减后增 向下 y轴 ( 0，0 ) 最大值0 先增后减 新知探究 知识要点 a的正负 图像 开口 顶点坐标 对称轴 增减性 a > 0 向上 ( 0，0 ) y轴 ( 直线x = 0 ) 当x < 0时，y随x增大而减小 当x > 0时，y随x增大而增大 当x = 0时，y取最小值0 a < 0 向下 当x < 0时，y随x增大而增大 当x > 0时，y随x增大而减小 当x = 0时，y取最大值0 二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像和性质： 题型探究 【例1】在下列抛物线中，开口最小的是（　　） A．y = -x2 B．y = -x2 C．y = x2 D．y = ( 2 + ) x2 y = ax2 ( a ≠ 0 )的开口大小 题型一 解：二次函数y = ax2中| a |越大，抛物线的开口越小， ∵| 2 + | > | | > | - | > | - |， ∴抛物线y = ( 2 + ) x2的开口最小。 D 题型探究 【例2】(1) 抛物线y = 4x2中的开口方向是_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______，函数有最____值为____； (2)抛物线y = -x2中的开口方向是_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______，函数有最____值为____。 y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像和性质 题型二 向上 ( 0，0 ) y轴 小 0 向下 ( 0，0 ) y轴 大 0 题型探究 【例3】抛物线y = x2，y = 5x2，y = -3x2的共同性质是： ① 都是开口向上； ② 都以点(0,0)为顶点； ③ 都以直线x=0为对称轴； ④ 都有最小值0； 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：① y = -x2开口向下，×； ② √； ③ 直线x = 0即y轴，√； ④ y = -x2有最大值0，×。 y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像和性质 题型二 B 题型探究 【例4】如图，在同一直角坐标系中，k ≠ 0， 函数y = kx2和y = -kx - 7k的图象可能是（　　） A. B. C. D. 图像共存问题 题型三 A 解：① 当k < 0时， 一次函数经过一、二、三象限，抛物线开口向下， ② 当k > 0时， 一次函数经过二、三、四象限， 抛物线开口向上。 课堂小结 二次函数y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像： ( 1 ) 顶点在原点： ( 2 ) 当a > 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a < 0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 ( 3 ) | a |越大，开口越小；| a |相同，开口大小相同。 课堂小结 感谢聆听! $$