精品解析：福建省泉州市丰泽区北附中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

泉州北附中学2024-2025学年下学期第一次月考试卷（高二年数学科） 考试时间长度：120分钟，总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 2. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式可求得常数项． 【详解】由题意，解得． 展开式通项为， 由得，解得，∴常数项为． 故选：C． 3. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 5. 被8整除的余数为（     ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用二项式定理展开即可求得余数. 【详解】由 ， 所以被8除所得的余数是7. 故选：C. 6. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时， 函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确； ∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； ∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确. 故选：B 7. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，利用导数求出曲线在处的切线方程，以及曲线在处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对函数求导得，对函数求导得， 则曲线在处的切线方程为，即， 曲线在处的切线方程为， 即， 所以，解得， 故，，所以． 故选：C． 8. 若函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数有极值问题，解决的方法是要保证其导数有变号零点. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求解判断ACD；利用导数的定义计算判断B. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B. 小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C. 英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D. 六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用隔板法求将个团员指标分到个班，每班要求至少得个的方法数，判断A，利用间接法判断B，利用插空法求满足条件的方法数，判断C，先求除甲，乙，丙外的三人排成一排的方法数，再考虑排甲的方法数，再按要求插入乙，丙确定其方法数，由此可得结论，判断D. 【详解】对于A，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下个团员指标排成一排，个指标之间有个空，用块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将个指标分给个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种，A正确； 对于B，因为借回至少本的反面为本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少本的方法数为种，B正确； 英文单词“”中字母有个，字母有个，字母、、各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种方法，再插入个字母，共有种方法，所以一共有种方法，C正确； 先将除甲，乙，丙外的三人排成一排，共有种方法，再将甲排在丁相邻的位置，有种方法，再将乙，丙插空排入队列中，且保证不插在甲的两侧，有种方法，故共有种方法，D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C，设函数，并求出与函数的切点的横坐标，结合图象分析时，直线斜率增大，此时函数满足在时处于直线下方，从而判断D. 【详解】（i）当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. （ii）当时，，， 当在单调递增， 当在单调递减， 故， 且当时， ，，恒有. 综上可知，， 作出函数大致图象，如下图. 对于A，函数的单调减区间为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，方程有三个根， 则所以与有3个公共点， 由图象可知当时，与有3个交点，满足题意， 即的取值范围是，故C正确; 对于D，设函数为过定点的直线， 且与函数的切点为， 则有① ，②，且③， 由①②得， 将③代入上式可得，即， 即，解得或（舍去）， ，此时直线与函数相切，为临界情况； 当，直线斜率增大，此时函数满足在时，处于直线下方， 即对于恒成立， 因此，，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】总结点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用在的二项展开式中，令，可得各项系数和即可求解. 【详解】在的二项展开式中，令，可得各项系数和为， 解得. 故答案为：6 13. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导后取，即可求得，则有，再代入，计算即得. 【详解】由求导得， 令，可得，解得， 则，故. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选名球员组建校足球队.（以下问题最终结果用数字作答） （1）若将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额，问有多少种分配方法？ （2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练. 若其中一组人，另外两组每组人，问有多少种不同的分组方式？ （3）比赛入场式时工作人员会为名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用隔板法可求得结果； （2）利用平均分组法可求得分组方法种数； （3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，然后将、、、四人进行插空，利用捆绑法与插空法可求得不同的排法种数. 【小问1详解】 解：将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分为组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为种. 【小问2详解】 解：将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. 【小问3详解】 解：将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种. 16. （1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 【答案】（1）240；（2）第3项；（3） 【解析】 【分析】（1）求出的展开式的通项公式可得答案； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时只有中间一项的二项式系数最大，利用展开式的通项可得答案； （3）分别令、可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为， 令，得. 故常数项为； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大， 故的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，； （3）在中， 令，得; 令，得， 所以. 17. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； （2）若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，解出在点处的切线斜率，令斜率得即可解出的值； （2）代入化简函数，求出过点的切线方程，进而解出此切线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【小问1详解】 直线的斜率为，所以切线斜率为， 由，，所以， 则，所以. 【小问2详解】 如图：由题意知：，所以，定义域为， 由，则过点作曲线的切线斜率一定存在， 设切点为，设切线斜率为，则， 则， 又因为切线过两点，所以， 所以，解得，或（舍）， 所以，， 切线方程为，即， 令，，即切线横截距为，纵截距为， 所以此切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 18. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中） 【答案】（1） 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （2）证明：由（1）知，由时，得， 因，当时且当时，，此时，， 即函数在上单调递减，则， 因此不等式不成立，即不等式在区间上无解， 当时，即当， 当时，，当时，， 即在上递减，在上递增， 于是得在上的最大值为或， 而，， ，即， 因此不等式不成立，即不等式在区间上无解， 所以当时，关于的不等式在区间上无解. 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最大值，比较与的大小关系，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 当时，由得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； 当时，由得或. 当时，，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，，则函数的增区间为，无减区间； 当时，，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【小问2详解】 略. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况； （3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州北附中学2024-2025学年下学期第一次月考试卷（高二年数学科） 考试时间长度：120分钟，总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 240 3. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 被8整除的余数为（     ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 6. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 7. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法 B. 小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法 C. 英文单词“”由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） D. 六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有种 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______． 13. 已知函数，则___________． 14. 已知函数，则的最小值是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选名球员组建校足球队.（以下问题最终结果用数字作答） （1）若将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额，问有多少种分配方法？ （2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练. 若其中一组人，另外两组每组人，问有多少种不同的分组方式？ （3）比赛入场式时工作人员会为名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 16. （1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 17. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； （2）若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $