18.3 分式的加法与减法 同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.3 分式的加法与减法 讲义 新知廊 知识点1：分式的加减 1．同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． 2．异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 知识点2：分式的混合运算 分式的混合运算，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． 求甚解 1．异分母分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母分式转化成同分母分式； （2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号，合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 2．分式的加减运算注意事项 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． 3．当分式的分母互为相反数时，把其中一个提出“-”号，转化为同分母分式． 4．分式混合运算的关键点 （1）在计算分式的乘除时，需将除法转化为乘法； （2）在计算分式的加减时，异分母要转化为同分母； （3）在运算的过程中，可以借助乘法或加法运算律简化计算； （4）最终结果一定要化为最简分式或整式． 练题型 题型01 分式的加减法 典型例题 典例 01 （2025•金凤区校级三模）化简结果是　　 ． 【答案】． 【分析】先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　　（2025•龙湖区一模）计算的结果是（　　） A．3 B．3a+3 C．2 D． 【答案】A 【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可． 【解答】解：． 故选：A． 【变式练2】　　（2025•巴彦淖尔校级二模）计算的结果是（　　） A． B．﹣2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣2， 故选：B． 【变式练3】　　（2025春•屯留区月考）计算的结果正确的是（　　） A．1 B． C．a2 D． 【答案】D 【分析】根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【解答】解： ， 故选：D． 题型02 分式的混合运算 典型例题 典例 02 （2025•襄城区模拟）计算：． 【答案】a2+2． 【分析】先计算单项式乘以多项式、括号内分式的加法、把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法，最后计算整式加减法即可． 【解答】解：原式 ＝a2﹣a+a+2 ＝a2+2． 即学即练 【变式练1】　　（2025•峰峰矿区三模）化简的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．1﹣x D． 【答案】A 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解： • ＝x﹣1， 故选：A． 【变式练2】　　（2025•龙马潭区一模）化简：． 【答案】． 【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【解答】解： ． 【变式练3】　　（2025•江阳区校级模拟）化简：． 【答案】． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解： • ． 题型03 分式的化简求值 典型例题 典例 03 （2025•苏州校级模拟）化简：，并从﹣1，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 【答案】a+2，3． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解： ＝a+2， 由题意得，a2﹣4≠0，a+1＝0， 则a≠±2，a≠﹣1， ∴a＝1， 当a＝1时，原式＝1+2＝3． 即学即练 【变式练1】　　（2025•宿迁）先化简，再求值：，其中x＝﹣4． 【答案】x+3，﹣1． 【分析】先把括号内的整式写成分母是x﹣2的分式，然后按照同分母分式加减法则计算括号里面的，再把除法化成乘法，然后进行约分，最后把x的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝x+3， 当x＝﹣4时， 原式＝﹣4+3 ＝﹣1． 【变式练2】　　（2025春•朝阳区校级月考）先化简，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： • ， ∵a≠0，a﹣1≠0， ∴a≠0，a≠1， ∴当a＝2时，原式1． 【变式练3】　　（2025•蓬江区校级三模）先化简，再求值：，其中m＝﹣2． 【答案】﹣m﹣1，1． 【分析】先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再将m的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣m﹣1． 当m＝﹣2时， 原式＝﹣（﹣2）﹣1＝1． 题型04 新定义问题 典型例题 典例 04 （2025春•邳州市月考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，x，y，都有x*y．若5*3＝2，则　　 ． 【答案】﹣6． 【分析】先根据新定义得到2，则通分后变形得到2，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得2， ∴2， 即2， ∴3×（﹣2）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 即学即练 【变式练1】　　（2025•陇南模拟）定义新运算：，若a⊕（﹣b）＝3，则的值是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据，a⊕（﹣b）＝3，可以得到ab和b﹣a的关系，然后将所求式子变形，再计算即可． 【解答】解：∵，a⊕（﹣b）＝3， ∴3， ∴3， ∴3ab＝b﹣a， ∴ ， 故答案为：． 【变式练2】　　（2025春•建邺区校级期末）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　 ． 【答案】或． 【分析】根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【解答】解：∵与互为“美妙分式”， ∴， ∵， ∴或， ∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2）， ∵a、b均为不等于0的实数， ∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 【变式练3】　　（2024秋•莘县期末）对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x﹣1）⊗（x+2），则A+3B＝ 　　 ． 【答案】8． 【分析】由定义的运算易得，再将通分并计算后得到关于A，B的二元一次方程组，解得A，B的值后计算A+3B即可． 【解答】解：（x﹣1）⊗（x+2） ， ， ∵（x﹣1）⊗（x+2）， ∴， ∴， 解得：， 则A+3B＝﹣1+9＝8， 故答案为：8． 题型05 分式运算的灵活运用 典型例题 典例 05 （2024秋•天山区校级期末）已知，求（　　） A．﹣9 B．12 C．﹣15 D．18 【答案】D 【分析】由已知条件可得a+b＝3ab，然后将其代入原式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a+b＝3ab， 原式 ＝18， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　　（2025春•隆昌市校级期末）若，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【分析】把变形得，然后代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式练2】　　（2025春•瑶海区校级期末）已知，，，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据已知易得：5，6，7，从而可得5，6，7，进而可得9，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵，，， ∴5，6，7， ∴5，6，7， ∴2（）＝18， ∴9， ∴9， ∴， 故选：B． 【变式练3】　　（2024秋•高青县期末）若a+b＝﹣2，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】先运用分式的混合运算法则化简，然后将a+b＝﹣2代入计算即可． 【解答】解： • ＝﹣（a+b） ＝﹣（﹣2） ＝2． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.3 分式的加法与减法 讲义 新知廊 知识点1：分式的加减 1．同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． 2．异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 知识点2：分式的混合运算 分式的混合运算，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． 求甚解 1．异分母分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母分式转化成同分母分式； （2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号，合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 2．分式的加减运算注意事项 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． 3．当分式的分母互为相反数时，把其中一个提出“-”号，转化为同分母分式． 4．分式混合运算的关键点 （1）在计算分式的乘除时，需将除法转化为乘法； （2）在计算分式的加减时，异分母要转化为同分母； （3）在运算的过程中，可以借助乘法或加法运算律简化计算； （4）最终结果一定要化为最简分式或整式． 练题型 题型01 分式的加减法 典型例题 典例 01 （2025•金凤区校级三模）化简结果是　　 ． 【答案】． 【分析】先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　　（2025•龙湖区一模）计算的结果是（　　） A．3 B．3a+3 C．2 D． 【变式练2】　　（2025•巴彦淖尔校级二模）计算的结果是（　　） A． B．﹣2 C．2 D．4 【变式练3】　　（2025春•屯留区月考）计算的结果正确的是（　　） A．1 B． C．a2 D． 题型02 分式的混合运算 典型例题 典例 02 （2025•襄城区模拟）计算：． 【答案】a2+2． 【分析】先计算单项式乘以多项式、括号内分式的加法、把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法，最后计算整式加减法即可． 【解答】解：原式 ＝a2﹣a+a+2 ＝a2+2． 即学即练 【变式练1】　　（2025•峰峰矿区三模）化简的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．1﹣x D． 【变式练2】　　（2025•龙马潭区一模）化简：． 【变式练3】　　（2025•江阳区校级模拟）化简：． 题型03 分式的化简求值 典型例题 典例 03 （2025•苏州校级模拟）化简：，并从﹣1，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 【答案】a+2，3． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解： ＝a+2， 由题意得，a2﹣4≠0，a+1＝0， 则a≠±2，a≠﹣1， ∴a＝1， 当a＝1时，原式＝1+2＝3． 即学即练 【变式练1】　　（2025•宿迁）先化简，再求值：，其中x＝﹣4． 【变式练2】　　（2025春•朝阳区校级月考）先化简，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值． 【变式练3】　　（2025•蓬江区校级三模）先化简，再求值：，其中m＝﹣2． 题型04 新定义问题 典型例题 典例 04 （2025春•邳州市月考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，x，y，都有x*y．若5*3＝2，则　　 ． 【答案】﹣6． 【分析】先根据新定义得到2，则通分后变形得到2，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得2， ∴2， 即2， ∴3×（﹣2）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 即学即练 【变式练1】　　（2025•陇南模拟）定义新运算：，若a⊕（﹣b）＝3，则的值是 　　 ． 【变式练2】　　（2025春•建邺区校级期末）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　 ． 【变式练3】　　（2024秋•莘县期末）对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x﹣1）⊗（x+2），则A+3B＝ 　　 ． 题型05 分式运算的灵活运用 典型例题 典例 05 （2024秋•天山区校级期末）已知，求（　　） A．﹣9 B．12 C．﹣15 D．18 【答案】D 【分析】由已知条件可得a+b＝3ab，然后将其代入原式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a+b＝3ab， 原式 ＝18， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　　（2025春•隆昌市校级期末）若，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【变式练2】　　（2025春•瑶海区校级期末）已知，，，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【变式练3】　　（2024秋•高青县期末）若a+b＝﹣2，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 学科网（北京）股份有限公司 $$