第二十五章概率初步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十五章 概率初步 练习 一、单选题 1．一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 2．深大城际（轨道交通号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线站，其中深圳段站，惠州大亚湾段站，小深同学随机选择其中个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（   ） A． B． C． D． 3．某校艺术节演讲比赛的决赛共有8名学生入围，将8名同学分为A、B两组，A组有3名男生和1名女生，B组有2名男生和2名女生，现在分别从A，B两组中随机抽取1名学生进行，则抽取的两名同学都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 4．广东的早茶闻名遐迩，小明一家去喝早茶，点了1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，每笼均有不透明的盖子盖着，小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是（    ） A． B． C． D． 5．数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球 6．一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．数学课上，在讲解概率问题时，王老师拿出一个装有球的袋子，每个球除颜色外都相同，袋子里有3个红球、2个白球，让小亮从袋子里随机摸出一个球，小亮摸出来的是白球的概率是（    ）． A． B． C． D． 8．不透明袋子中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球、c个黄球，任意摸出一个球为红球的概率是（     ） A． B． C． D． 9．有两个正方体的积木如图所示，小怡掷其中一个积木200次，灰色的面朝上的次数有32次，白色的面朝上的次数有168次，则小怡最有可能掷的是（　　） A．①号积木 B．②号积木 C．①号或②号积木 D．无法判断 10．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个袋子中有2个白球和5个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是 ． 12．不透明的袋子里装有黄球4个，白球2个，红球1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机取出一个球，取出 球的可能性最大． 13．如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ． 14．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m（）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．若A为必然事件，则m的值为 ； 15．如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为 ． 三、解答题 16．贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； (2)该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ (3)为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 17．实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 18．某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分）                     频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______；所抽取学生理论知识成绩的中位数是______； (2)扇形统计图中对应的圆心角的度数为______． (3)请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为______； (4)学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲的理论知识成绩为95分，实践操作成绩为85分．乙的理论知识成绩为90分，实践操作成绩为90分请利用这种评价方法，比较甲成绩______乙成绩（填，或） (5)现要从理论知识成绩在的2男3女中任选两人进行实践操作培训，请用列举法求出所有等可能结果，并计算出恰好选2男生的概率． 19．一只袋中装有除颜色外其他都相同的4个球，其中2个白球、1个红球、1个蓝球．每次从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，多次重复试验，得到下表中部分数据： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 出现红球的频数 6 25 31 40 43 55 60 65 出现红球的频率 (1)请将表中数据补充完整． (2)根据上表完成折线统计图． (3)摸出红球的概率估计值是多少？ 20．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果学校打算从甲、乙、丙三位同学中选择2人参加学校开放日活动的表演，请用列表法或画树状图法计算选择甲的概率是多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章 概率初步 练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C B C C C B B 1．C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A． 至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B． 至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C． 至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D． 至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可； 【详解】解：小深同学随机选择其中个站点参观共有种等可能的结果，其中该站点恰好属于深圳段的有种结果， 所以该站点恰好属于深圳段的概率为， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先列表，然后根据概率公式列式计算即可得出答案． 【详解】列表：            A组 B组             男 男 男 女 男 男男 男男 男男 女男 男 男男 男男 男男 女男 女 男女 男女 男女 女女 女 男女 男女 男女 女女 共16种等可能结果，抽取的两名同学都是男生的结果是6种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率是． 故选：A． 4．C 【分析】此题考查概率的计算公式，根据所求情况数和总情况数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，共4笼， 小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是， 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘球的总个数即可得出答案． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率． 【详解】解：袋子里装有3个红球、2个白球，共5个球， 从中摸出一个球是白球的概率是．   故选：C． 8．C 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】∵袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球， ∴任意摸出一个球是红球的概率是：． 故选： C． 9．B 【分析】本题考查频率和概率的关系，计算出①号、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出小怡掷200次的实验频率，进行判断即可． 【详解】解：①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，小怡掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故他选择的是②号积木， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式直接得出结论即可，熟知概率等于所求情况数除以总情况数是解题的关键． 【详解】解：∵袋子里装有2个白球和5个黑球，共个球， ∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是， 故答案为：． 12．黄 【分析】本题考查的是可能性大小的判断．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，比较即可． 【详解】解：， 摸到黄球的可能性为，摸到白球的可能性为，摸到红球的可能性为， 所以摸到黄球的可能性最大， 故答案为：黄． 13． 【分析】本题考查的是利用三角形的中线的性质求面积，几何概率的含义，设，根据三角形的中线的性质求解，，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设， ∵，分别为，的中点， ∴，，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为， 故答案为： 14．3 【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据必然事件的概念即可得出答案． 【详解】解：∵事件A为必然事件， ∴“摸出黑球”为必然事件， ∴不能有红球，才能使摸出黑球为必然事件， ∵袋子中原来红球有3个， ∴取出红球个数， 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查几何概率，设计轴对称图形，根据轴对称图形的性质，确定可以涂的小正方形的个数，再用概率公式进行计算即可． 【详解】解：所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的个数总共有7个，其中所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的情况有3种，如图： ∴； 故答案为：． 16．(1)，；详见解析； (2)估计该校学生选择B活动的约有人； (3)． 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、由样本估计总体、列表法求概率． 由条形统计图可知，选择A的人数有人，由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的，所以可知，本次被调查的学生有人，从而可以求出选择B的人数是人，根据B组的人数补全条形统计图即可； 由可知被调查的人中选择B的人数占，利用样本估计总体可以估计出该学校学生选择B活动的人数大约有人； 列表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种，所以恰好选到两个女生的概率为． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择A的人数有人， 由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的， 本次被调查的学生有（人）， ， ， 选择B的人数为（人）； 补全条形统计图如下图所示： 故答案为：；； （2）解：（人）， 答：估计该校学生选择B活动的约有人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种， 恰好选到两个女生的概率为． 17．(1)， (2)二，试验的植株数太少，； (3)估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复试验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为． （3）解：（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 18．(1)15；83.5 (2) (3)900 (4) (5) 【分析】本题考查了概率与统计综合，中位数的概念，求扇形圆心角度数，中位数的概念，概率等，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键； （1）先利用A组的人数和占比求出被抽取的学生总人数，再求的值；利用中位数的概念求解； （2）用去乘C组所占的百分比，计算可得结果； （3）利用样本所占百分比估计总体的数量； （4）根据题意计算可得结果； （5）记这2男为A，B，3女为a，b，c，根据题意列举，再求概率即可． 【详解】（1）由图知，理论知识成绩在A组的有5人，占， 抽取的学生总人数为人， ， 这50人成绩从高到低排在第25，26位的平均数为， 所抽取学生理论知识成绩的中位数是83.5 故答案为：15；83.5 （2）． 扇形统计图中对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （3）． 估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为900． 故答案为：900． （4）甲的成绩等于分，乙的成绩等于分， 甲成绩乙成绩． 故答案为：． （5）记这2男为A，B，3女为a，b，c，从中任取两人的情况列举如下： ，，，，，，，，，． 总共有10种等可能结果，其中恰好选2男生的只有1种，其概率为． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，当试验次数足够多时，出现某事件的频率会越来越接近概率． （1）根据摸球的次数、出现红球的频数、出现红球的频率之间的关系计算即可； （2）根据表中的数据画出折线统计图即可； （3）随着试验的次数的增加，摸出红球的频率越来越接近，所以摸出红球的概率估计值是； 【详解】（1）解：摸球次数是30，则出现红球的频率为， 摸球次数是60，则出现红球的频数为， 摸球次数为180，则出现红球的频率为， 摸球次数为300，则出现红球的频数为； （2）解：画折线统计图如下： （3）解：∵随着试验的次数的增加，摸出红球的频率越来越接近， ∴摸出红球的概率估计值是． 20．(1) (2)甲 (3) 【分析】本题主要考查列表法或树状图法求概率折线统计图、平均数、方差等知识点，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）根据平均数的定义即可解答； （2）计算甲、乙两同学的方差，即可求解； （3）通过列表法列出所有结果，再求概率即可． 【详解】（1）解：． （2）解：甲同学的方差：， 乙同学的方差：， ， ∴评委对甲同学演唱的评价更一致． 故答案为：甲． （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 总共有6种等可能的结果，选择甲的结果有4种， 则P（选择甲）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$