精品解析：2025年广东省佛山市南海实验中学中考数学四模试卷（文字版含答案解析）

2025年广东省佛山市南海实验中学中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中与相加，和最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数加法运算，根据题意，将选项中的各数与相加，再比较结果大小即可得到答案，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：，，，， 又， 选项中各数与相加，和最小的是， 故选：A． 2. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 3. 如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 故选：C． 4. 下列投影中，属于中心投影的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心投影的定义解答即可． 本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（ ） A. 横、纵坐标分别乘 B. 横坐标不变，纵坐标分别加 C. 横坐标分别乘，纵坐标分别乘 D. 横坐标加，纵坐标分别乘 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移后的图形的大小和形状不发生改变是解题关键． 在平面直角坐标系中，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度，若把各个点的纵坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度，据此，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、横、纵坐标分别乘，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的倍，则五边形的大小会改变，此选项不符合题意； B、横坐标不变，纵坐标分别加，这表示五边形在垂直方向向上平移了个单位长度，这个过程中，五边形的大小和形状都不发生改变，此选项符合题意； C、横坐标分别乘，纵坐标分别乘，这种变换会使五边形在横纵方向都发生了变形，大小改变，此选项不符合题意； D、横坐标加是五边形在水平方向向右平移个单位长度，纵坐标分别乘是五边形在垂直方向拉伸为原来的倍，五边形的大小改变，此选项不符合题意． 故选：B． 6. 已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．由正弦函数的定义求解可得． 【详解】解：如图 ∵中，，，， ∴， ∴ 故选：A． 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 9. 已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键． 根据相似三角形对应高的比等于相似比即可． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴与的对应高之比为， 故选：C ． 10. 已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、矩形性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据矩形性质得到，根据条件证明，利用相似三角形性质得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 13. 用2个正方形与_____个正三角形可以进行镶嵌 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，平面镶嵌， 由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为，进而得出正三角形的个数即可． 【详解】∵正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， 又∵， ∴用2个正方形，则还需3个正三角形才可以镶嵌． 故答案为：3． 14. 数学活动课上，小玲同学制作了一顶圆锥形纸帽（如图），若圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是运用圆锥的侧面积底面周长母线长的公式，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 侧面面积． 故答案为：． 15. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理，无理数的估算，根据题意可得，根据题意可得的值，即可估算每个直角三角形的周长，熟练利用二次根式的估算是解题的关键． 【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7， ， 根据题意可得， 则设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 的周长为， ， ， ， 每个直角三角形的周长介于和之间， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 菱形的对角线交于点，，． （1）求作：菱形的高尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）菱形的高 ______． 【答案】（1） 如图，菱形的高即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，菱形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据菱形的性质求出，再根据菱形的面积即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为菱形，，， ，，， ， ，， 菱形的面积， 菱形的面积， ， ， 故答案为：． 18. 小明学习了锐角三角函数后，想通过测量，计算一棵树的高，如图①，树与观测点之间有一垂直于地面的围墙，小明不能翻越围墙到达树的底部，于是小明在点处利用自制的测角仪测得树顶处的仰角为，再沿方向前进了，到达点处，测得树顶的仰角为，求树高．（结果精确到，参考数据：） 【答案】树高约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，利用，解方程得到结果即可． 【详解】解：根据题意，，，设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 解得， 即， 答：树高约为． 19. 如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键， （1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，根据三角形的相似即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴， 设的半径为，则，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴． 20. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐，小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，、三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元辆，元辆，元辆，为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如图： 【整理数据】 （1）补全上述型纯电动汽车的条形统计图； 【分析数据】 型号 平均里程 中位数 众数 （2）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______，由上表填空： ______， ______； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（） 补全条形统计图如下： （），，； （）选择型号的纯电动汽车较为合适， 理由如下：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为， ∵型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；，型号符合要求，但型号的租金比型号的租金优惠， ∴选择型号的纯电动汽车较为合适． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数和中位数的定义，样本估计总体，读懂图表，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用“”的数量除以其占比可得型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （）用乘续航里程为的占比即可，分别根据中位数和众数的定义解答即可； （）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（）（辆）， ∴“”的数量为：（辆）， （）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 由题意得：，， 故答案为：，，； （）略 21. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意准确列出函数解析式是关键． （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为元，利用函数性质求出时的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元 22. 正方形中，点在边上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是______； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）先由正方形的性质得出，，再结合已知条件，根据“”证明，从而得出． （2）分“点在边上”和“点在边上”两种情况讨论：①当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，先证明，从而得出，以此可得，则为等腰直角三角形，从而得到；②当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，同理可得，，则，，． （3）①当点在边上时，分和两种情况，而当时，此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾，则，，则，由得到相关线段之间的比例关系即可求解；②同①方法即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当点在边上时，如图1，过点作，垂足为，延长交于点， 则， 四边形是矩形， ， ，， ，为等腰直角三 角形，， ， 在和， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ． ②当点在边上时，如图2，过点作，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， 同理可得， ， 为等腰直角三角形，， ． 综上，的度数为或． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ， 易知，， ， ， ，， ； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾． ②当点在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又， 此时点与点重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ， ， ， ． 综上，． 【点睛】本题考查相似型的综合应用，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理，熟记三角形全等的判定定理是解题关键． 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）当时 【解析】 【分析】（一）由全等三角形的性质可得结论； （二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （三）证明，得，由，得，进而可得结论： （四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （三）略 （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省佛山市南海实验中学中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中与相加，和最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 2. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A. B. 5 C. 10 D. 4. 下列投影中，属于中心投影的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（ ） A. 横、纵坐标分别乘 B. 横坐标不变，纵坐标分别加 C. 横坐标分别乘，纵坐标分别乘 D. 横坐标加，纵坐标分别乘 6. 已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 13. 用2个正方形与_____个正三角形可以进行镶嵌 14. 数学活动课上，小玲同学制作了一顶圆锥形纸帽（如图），若圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 15. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再代入求值：，其中． 17. 菱形的对角线交于点，，． （1）求作：菱形的高尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）菱形的高 ______． 18. 小明学习了锐角三角函数后，想通过测量，计算一棵树的高，如图①，树与观测点之间有一垂直于地面的围墙，小明不能翻越围墙到达树的底部，于是小明在点处利用自制的测角仪测得树顶处的仰角为，再沿方向前进了，到达点处，测得树顶的仰角为，求树高．（结果精确到，参考数据：） 19. 如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐，小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，、三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元辆，元辆，元辆，为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如图： 【整理数据】 （1）补全上述型纯电动汽车的条形统计图； 【分析数据】 型号 平均里程 中位数 众数 （2）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______，由上表填空： ______， ______； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 21. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22. 正方形中，点在边上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是______； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $