简便运算与巧算（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

1． 利用乘法运算律进行简算 【知识点】 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 乘法分配律；两个数的和（或差）乘另一个数，也可以分别用这两个数与另一个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。逆运算同样成立。 乘法结合律：三个数相乘，可以先算前两个的积再与第三个数相乘，也可以先算后两个数的积，再与第一个数相乘。 【典例讲解】 一．利用乘法交换律进行简算 例1. 简算 （1）0.25×4.78×4 =0.25×4×4.78 =1×4.78 =4.78 （2）12.5×7.36×0.8 =12.5×0.8×7.36 =10×7.36 =73.6 1 学科网（北京）股份有限公司 （3）12.5×0.2×50×8 ＝12.5×8×0.2×50 ＝（12.5×8） ×（0.2×50） ＝100×10 ＝1000 （4）1.25×2.5×1.6 ＝1.25×2.5×（0.8×2） ＝（1.25×0.8）×（2.5×2） ＝1×5 ＝5 （5）250×12.5×0.32 ＝250×12.5×0.4×0.8 ＝（250×0.4）×（12.5×0.8） ＝100×10 ＝1000 （6）1.25×1.5×48 ＝1.25×1.5×（6×8） ＝（1.25×8）×（1.5×6） ＝10×9 ＝90 （7）2.5×4×0.8×12.5 ＝（2.5×4）×（0.8×12.5） ＝10×10 ＝100 （8）1.25×17×80 ＝1.25×8×17×10 =10×17×10 ＝1700 （9）1.25×2.5×3.2 ＝1.25×2.5×（8×0.4） ＝（1.25×8）×（2.5×0.4） ＝10×1 ＝10 （10）0.125×2.5×16 ＝0.125×2.5×4×4 ＝（0.125×4）×（2.5×4） ＝0.5×10 ＝5 【解析】 （1）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （2）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （3）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （4）先将1.6拆成0.8×2，再乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （5）乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （6）先将48拆成（6×8），再乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （7）乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （8）先将80拆成8×10，再乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （9）将3.2拆成8×0.4，再乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （10）将16拆成4×4，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算 【点拨】利用乘法交换律进行简便运算的时候，通过交换因数的位置，使得乘积转化为1，整十，整百，整千的数。 二．利用乘法结合律进行简算 例2.简算 （1）38.7×0.125×80 =38.7×（0.125×80） =38.7×10 =387 （2）46.9×0.25×4 =46.9 ×（0.25×4） =46.9×1 =46.9 （3）（37＋37＋37＋37）×25 ＝（37×4）×25 ＝37×（4×25） ＝37×100 ＝3700 （4）12.5×0.64 ＝12.5×（0.8×0.8） ＝（12.5×0.8）×0.8 ＝10×0.8 ＝8 （5）2.5×0.47×40 ＝2.5×40×0.47 ＝100×0.47 ＝47 （6）6.4×2.5 ＝1.6×4×2.5 ＝1.6×（4×2.5） ＝1.6×10 ＝16 【解析】（1）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），先算0.125×80=10进行简算； （2） 根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），先算0.25×4=1进行简算； （3） 先算37＋37＋37＋37=37×4，根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），先算4×25=100进行简算； （4） 先将0.64分解为0.8×0.8，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），先算12.5×0.8=10进行简算 （5） 根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （6） 先将6.4分解为1.6×4，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），先算4×2.5=10进行简算 【点拨】根据乘法的结合律，3个因数相乘的，可以先算前两个的积与第3个因数相乘，也可以先算后两个的积，再与第1个因数相乘；观察算式中的因数，找出两个因数相乘积为整十，整百，整千的，先让这样的因数结合求积，再与剩下的因数相乘。 三．利用乘法分配律进行简算 例3.简算。 （1）0.5×16.3+3.7×0.5 =0.5×（16.3+3.7） =0.5×20 =10 （2）12.5×（8+0.08） =12.5×8+12.5×0.08 =100+1 =101 （3）99×3.6+3.6 = 99×3.6+3.6×1 =（99+1）×3.6 =100×3.6 =360 （4）86.9×10.1 =86.9×（10+0.1） =86.9×10+86.9×0.1 =869+8.69 =877 （5）0.72×101 ＝0.72×（100＋1） ＝0.72×100＋0.72×1 ＝72＋0.72 ＝72.72 （6）26.9×9.9＋2.69 ＝26.9×9.9＋26.9×0.1 ＝26.9×（9.9＋0.1） ＝26.9×10 ＝269 （7）3.8×101－3.8 ＝3.8×（101－1） ＝3.8×100 ＝380 （8）4.37×9.9＋5.63×9.9 ＝（4.37＋5.63）×9.9 ＝10×9.9 ＝99 （9）3.75×0.75＋6.25×0.75 ＝（3.75＋6.25）×0.75 ＝10×0.75 ＝7.5 （10）9.37×14.8－4.8×9.37 ＝（14.8－4.8）×9.37 ＝10×9.37 ＝93.7 （11）3.87×102－7.74 ＝3.87×（100＋2）－7.74 ＝3.87×100＋3.87×2－7.74 ＝387＋7.74－7.74 ＝387 （12）2.08×9.9＋7.92×9.9+1 ＝（2.08＋7.92）×9.9+1 ＝10×9.9+1 ＝99+1 =100 【解析】（1）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先算16.3+3.7=20，再乘5进行简算； （2）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，拆分为12.5×8+12.5×0.08， 进行简算； 先把3.6表示成3.6×1，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （4）先把10.1拆成10＋0.1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （5）先把101拆成100+1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （6）先把26.9拆成26.9×0.1，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （7）先把3.8表示成3.8×1，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （8）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先算4.37＋5.63=10，再乘9.9进行简算； （9）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先算3.75＋6.25=10，再乘0.75进行简算； （10）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先算14.8－4.8=10，再乘9.37进行简算； （11）先把102拆成100＋2，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （12）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先算2.08＋7.92=10，再乘9.9进行简算，最后不要漏加1； 【点拨】乘法分配律逆运用时，首先找出公因数，然后将公因数写在括号外，剩下的部分放在括号里面。 四．利用积不变的规律进行简算 例4.简算 （1）36.98×2.6＋369.8×0.74 ＝ 36.98×2.6＋36.98×7.4 ＝36.98×（2.6＋7.4） ＝36.98×10 ＝369.8 （2）7.34×0.1+73.4 ×0.5+0.049 ×734 =73.4×0.01+73.4×0.5+73.4 ×0.49 =73.4×（0.01+0.5+0.49） =73.4×1 =73.4 （3）7.81×49-78.1×3.8+0.781×90 =7.81×49-7.81×38+7.81×9 =7.81×（49-38+9） =7.81×20 =156.2 （4）69316.931÷69.31 ＝6931×10.001÷69.31 ＝69.31×1000.1÷69.31 ＝1000.1 （5）8.4×101.3-84×0.03-8.4 =8.4×101.3-8.4×0.3-8.4×1 =8.4×（101.3-0.3-1） =8.4×100 =840 （6）14.2×2.38＋1.42×76.2 ＝1.42×23.8＋1.42×76.2 ＝1.42×（23.8＋76.2） ＝1.42×100 ＝142         （7）4.86×9.7＋0.486×3 ＝0.486×97＋0.486×3 ＝0.486×（97＋3） ＝0.486×100 ＝48.6   （8）10.1×99－9.9 ＝10.1×99－99×0.1 ＝（10.1－0.1）×99 ＝10×99 ＝990 （9）3.7×8.3＋0.83×63 ＝3.7×8.3＋8.3×6.3 ＝8.3×（3.7＋6.3） ＝8.3×10 ＝83 （10）9.9×51－0.99×410 ＝9.9×51－9.9×41 ＝9.9×（51－41） ＝9.9×10 ＝99 解析：（1）根据积不变的规律，先将“369.8×0.74”转化成“36.98×7.4”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （2）根据积不变的规律，先将“7.34×0.1”转化成“73.4×0.01”，“0.049 ×734”转化成“73.4 ×0.49”再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）根据积不变的规律，先将“78.1×3.8+0.781×90”转化成“7.81×38+7.81×9”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （4）根据积不变的规律，69316.931符合叠数的特征，可以写成“6931×10.001”，再转化成成“69.31×1000.1”，然后进行计算； （5）根据积不变的规律，先将“84×0.03-8.4”转化成“8.4×0.3-8.4×1”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （6）根据积不变的规律，先将“14.2×2.38”转化成“1.42×23.8”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （7）根据积不变的规律，先将“4.86×9.7”转化成“0.486×97”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （8）根据积不变的规律，先将“9.9”转化成“99×0.1”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （9）根据积不变的规律，先将“0.83×63”转化成“8.3×6.3”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （10）先根据积不变的规律将“0.99×410”转化成“9.9×41”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【点拨】积不变的规律：两个因数相乘，一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。利用积不变的规律，将原来的算式，转化成含有相同因数的算式，然后利用乘法的分配律，进行简便运算。 5． 拆分法进行简便运算 【类型一】因数拆成整百或整十数 例5. 简算 （1）7.5×102 =7.5×（100+2） =7.5×100+7.5×2 =750+15 =765 （2）9.8×10.5 =9.8×（10+0.5） =9.8×10+9.8×0.5 =98+4.9 =102.9 （3）0.75×10.1 ＝0.75×（10＋0.1） ＝0.75×10＋0.75×0.1 ＝7.5＋0.075 ＝7.575 （4）10.1×9.5 ＝（10＋0.1）×9.5 ＝10×9.5＋0.1×9.5 ＝95＋0.95 ＝95.95 （5）65×102 ＝65×（100＋2） ＝65×100＋65×2 ＝6500＋130 ＝6630 （6）67×101 ＝67×（100＋1） ＝67×100＋67×1 ＝6700＋67 ＝6767 【解析】（1）先把“102”拆成“100+2”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把“10.5”拆成“10+0.5”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （3）先把“10.1”拆成“10+0.1”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）先把“10.1”拆成“10+0.1”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （5）先把“102”拆成“100+2”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （6）先把“101”拆成“100+1”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； 【点拨】将因数拆分成整十或整百与部分之和的形式，然后利用乘法分配律进行简算。 【类型二】因数凑成整十或整百数 例6.简算 （1）35.5×98 =35.5×（100-2） =35.5×100-35.5×2 =3550-71 =3479 （2）7.25×9.8 =7.25×（10-0.2） =7.25×10-7.25×0.2 =72.5-1.45 =71.05 （3）67.8×99 =67.8（100-1） =67.8×100-67.8×1 =6780-67.8 =6712.2 （4）1.71×9.7 =1.71×（10-0.3） =1.71×10-1.71×0.3 =17.1-0.513 =16.587 （5）87.6×199 =87.6×（200-1） =87.6×200-87.6×1 =17520-87.6 =17432.4 （6）25.5×19.8 =25.5×（20-0.2） =25.5×20-25.5×0.2 =510-5.1 =504.9 【解析】（1）先把“98”凑成“100-2”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把“9.8”凑成“10-0.2”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （3）先把“99”凑成“100-1”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）先把“9.7”凑成“10-0.3”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （5）先把“199”凑成“200-1”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （6）先把“19.8”凑成“20-0.2”，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； 【点拨】将不足整百或整十的数凑成整十或整百的数，然后利用乘法的分配律进行简算。 【类型三】拆分成整十整百加或减同一个加数的形式 例7.简算 （1）106.42+306.42+506.42+706.42+906.42 =（100+6.42）+（300+6.42）+（500+6.42）+（700+6.42）+（900+6.42） =（100+300+500+700+900）+6.42×5 =2500+32.1 =2532.1 （2）101.32+201.32+401.32+301.32 =（100+1.32）+（200+1.32）+（400+1.32）+（300+1.32） =（100+200+400+300）+1.32×4 =1000+5.28 =1005.28 （3）97.5+77.5+117.5+237.5 =（100-2.5）+（80-2.5）+（120-2.5）+（240-2.5） =（100+80+120+240）-2.5×4 =540-10 =530 （4）99.5+109.5+129.5+239.5 =（100-0.5）+（110-0.5）+（130-0.5）+（240-0.5） =（100+110+130+240）-0.5×4 =580-2 =578 （5）105.6+205.6+405.6+305.6+505.6 =（100+5.6）+（200+5.6）+（400+5.6）+（300+5.6）+（500+5.6） =（100+200+400+300+500）+5.6×5 =1500+28 =1528 （6）99+199+299+399+499 =（100-1）+（200-1）+（300-1）+（400-1）+（500-1） =（100+200+400+300+500）-1×5 =1500-5 =1495 【解析】（1）观察发现“106.42+306.42+506.42+706.42+906.42”每个加数都有相同的小数部分“6.42”，可以拆分成整百加相同小数部分的形式，即“（100+6.42）+（300+6.42）+（500+6.42）+（700+6.42）+（900+6.42）”，然后根据加法的交换律a+b=b+a，结合律（a+b）+c=a+(b+c)，将整数和小数分别结合在一起进行简便运算； （2） 观察发现“101.32+201.32+401.32+301.32”每个加数都有相同的小数部分“1.32”，可以拆分成整百加相同小数部分的形式，即“（100+1.32）+（200+1.32）+（400+1.32）+（300+1.32）”，然后根据加法的交换律a+b=b+a，结合律（a+b）+c=a+(b+c)，将整数和小数分别结合在一起进行简便运算； （3）观察发现“97.5+77.5+117.5+237.5”每个加数添上相同的小数部分“2.5”，可以凑成成整百的形式，即“（100-2.5）+（80-2.5）+（120-2.5）+（240-2.5）”，然后根据加法的交换律a+b=b+a，结合律（a+b）+c=a+(b+c)，将整数和小数分别结合在一起进行简便运算； （4）观察发现“99.5+109.5+129.5+239.5”每个加数添上相同的小数部分“0.5”，可以凑成成整百的形式，即“（100-0.5）+（110-0.5）+（130-0.5）+（240-0.5）”，然后根据加法的交换律a+b=b+a，结合律（a+b）+c=a+(b+c)，将整数和小数分别结合在一起进行简便运算； （5）观察发现“105.6+205.6+405.6+305.6+505.6”每个加数都有相同的小数部分“5.6”，可以拆分成整百加相同小数部分的形式，即“（100+5.6）+（200+5.6）+（400+5.6）+（300+5.6）+（500+5.6）”，然后根据加法的交换律a+b=b+a，结合律（a+b）+c=a+(b+c)，将整数和小数分别结合在一起进行简便运算； （6）观察发现“99+199+299+399+499”每个加数添上相同的部分“1”，可以凑成成整百的形式，即“（100-1）+（200-1）+（300-1）+（400-1）+（500-1）”，然后根据加法的交换律a+b=b+a，结合律（a+b）+c=a+(b+c)，将整数和小数分别结合在一起进行简便运算； 【点拨】利用拆分法简便运算原则保证拆分后的结果与原数相等。然后利用加法的结合律与相同加数的和进行简便运算。 2． 利用小数除法的性质进行简算 【类型一】同扩同缩商不变 例8. 简算 （1）11.1÷1.25 =（11.1×8）÷（1.25×8） =88.8÷10 =8.88 （2）4.2÷3.5 =（4.2÷0.7）÷（3.5÷0.7） =6÷5 =1.2 （3）13.6÷0.5 =（13.6×2）÷（0.5×2） =27.2÷1 27.2 （4）630÷3.5 =（630÷0.7）÷（3.5÷0.7） =900÷5 =180 （5）2400÷25+4 =（2400×4）÷（25×4）+4 =9600÷100+4 =96+4 =100 （6）1200÷15+26 =（1200×2）÷（15×2）+26 =2400÷30+26 =80+26 =106 （7）500÷125+66 =（500×8）÷（125×8）+66 =4000÷1000+66 =4+66 =70 （8）171.1÷1.25-60.12 =（171.1×8）÷（1.25×8）-60.12 =1368.8÷10-60.12 =136.88-60.12 =76.76 （9）0.12÷0.015+19.1 =（0.12×2）÷（0.015×2）+19.1 =0.24÷0.03+19.1 =8+19.1 =27.1 （10）27.3÷0.25+72.7 =（27.3×4）÷（0.25×4）+72.7 =109.2÷1+72.7 =109.2+72.7 =181.9 【解析】（1）根据商不变的规律，除数“1.25”乘8可以凑成“1”，所以将“11.1÷1.25”转化成“（11.1×8）÷（1.25×8）”，进而将除数转化成“1”进行简便运算； （2）根据商不变的规律，除数“3.5”除以0.7可以凑成“5”，所以将“4.2÷3.5”转化成“（4.2÷0.7）÷（3.5÷0.7）”，进而将除数转化成“5”进行简便运算； （3）根据商不变的规律，除数“0.5”乘2可以凑成“1”，所以将“13.6÷0.5”转化成“（13.6×2）÷（0.5×2）”，进而将除数转化成“1”进行简便运算； （4）根据商不变的规律，除数“3.5”除以0.7可以凑成“5”，所以将“630÷3.5”转化成“（630÷0.7）÷（3.5÷0.7）”，进而将除数转化成“5”进行简便运算； （5）根据商不变的规律，除数“25”乘4可以凑成“100”，所以将“2400÷25+4”转化成“（2400×4）÷（25×4）+4”，进而将除数转化成“100”进行简便运算，注意在混合运算中，要先算乘除，后算加减； （6）根据商不变的规律，除数“15”乘2可以凑成“30”，所以将“1200÷15+26”转化成“（1200×2）÷（15×2）+26”，进而将除数转化成“30”进行简便运算，注意在混合运算中，要先算乘除，后算加减； （7）根据商不变的规律，除数“125”乘8可以凑成“1000”，所以将“500÷125+66”转化成“（500×8）÷（125×8）+66”，进而将除数转化成“1000”进行简便运算，注意在混合运算中，要先算乘除，后算加减； （8）根据商不变的规律，除数“1.25”乘8可以凑成“10”，所以“171.1÷1.25-60.12”转化成“（171.1×8）÷（1.25×8）-60.12”，进而将除数转化成“10”进行简便运算，注意在混合运算中，要先算乘除，后算加减； （9）根据商不变的规律，除数“0.015”乘2可以凑成“0.03”，所以“0.12÷0.015+19.1”转化成“（0.12×2）÷（0.015×2）+19.1”，进而将除数转化成“0.03”进行简便运算，注意在混合运算中，要先算乘除，后算加减； （10）根据商不变的规律，除数“0.25”乘4可以凑成“1”，所以“27.3÷0.25+72.7”转化成“（27.3×4）÷（0.25×4）+72.7”，进而将除数转化成“1”进行简便运算，注意在混合运算中，要先算乘除，后算加减； 【点拨】利用商不变的规律，被除数和除数同时乘或者除以一个不为0 的数，商不变。将被除数和除数转化为整数进行简便运算。 【类型二】连续除以两个数，等于除以这两个数的积 （1）10÷1.25÷0.8 =10÷（1.25×0.8） =10÷1 =10 （2）80÷0.5÷0.4 =80÷（0.5×0.4） =80÷0.2 =400 （3）100÷0.25÷8 =100÷（0.25×8） =100÷2 =50 （4）6÷0.4÷0.25 =6÷（0.4×0.25） =6÷0.1 =60 （5）79.2÷6.4÷1.25÷0.25÷0.5 ＝79.2÷（6.4×1.25×0.25×0.5） ＝79.2÷（0.8×4×2×1.25×0.25×0.5） ＝79.2÷[（1.25×0.8）×（0.25×4）×（0.5×2）] ＝79.2÷[1×1×1] ＝79.2 （6）32.5÷2.5÷0.4 ＝32.5÷（2.5×0.4） ＝32.5÷1 ＝32.5 （7）5.4÷0.6÷0.9 ＝5.4÷（0.6×0.9） ＝5.4÷0.54 ＝10 （8）3.24÷0.25÷0.4 ＝3.24÷（0.25×0.4） ＝3.24÷0.1 ＝32.4 （9）3.79÷0.125÷0.8 ＝3.79÷（0.125×0.8） ＝3.79÷0.1 ＝37.9 （10）17.8÷12.5÷8 ＝17.8÷（12.5×8） ＝17.8÷100 ＝0.178 【解析】（1）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“10÷1.25÷0.8”时，先算“1.25×0.8=1”，再算“10÷1”，从而进行简便运算； （2）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“80÷0.5÷0.4”时，先算“0.5×0.4=0.2”，再算“80÷0.2”，从而进行简便运算； （3）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“100÷0.25÷8”时，先算“0.25×8=2”，再算“100÷2”，从而进行简便运算； （4）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“6÷0.4÷0.25”时，先算“0.4×0.25=0.1”，再算“6÷0.1”，从而进行简便运算； （5）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“79.2÷6.4÷1.25÷0.25÷0.5”时，先算“6.4×1.25×0.25×0.5”，根据积不变的规律和乘法的交换律与结合律，转化成计算：“（1.25×0.8）×（0.25×4）×（0.5×2）=1”，最后再算“72.9÷1”，从而进行简便运算； （6）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“6÷0.4÷0.25”时，先算“0.4×0.25=0.1”，再算“6÷0.1”，从而进行简便运算； （7）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“5.4÷0.6÷0.9”时，先算“0.6×0.9=0.54”，再算“5.4÷0.54”，从而进行简便运算； （8）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“3.24÷0.25÷0.4”时，先算“0.25×0.4=0.1”，再算“3.24÷0.1”，从而进行简便运算； （9）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“3.79÷0.125÷0.8”时，先算“0.125×0.8=0.1”，再算“3.79÷0.1”，从而进行简便运算； （10）根据商不变的规律，连续除以几个数，等于除以这几个数的积；在计算“17.8÷12.5÷8”时，先算“12.5×8=100”，再算“17.8÷100”，从而进行简便运算； 【点拨】利用商不变的规律，连续除以几个数，可以先算几个除数的积，再用被除数除以这个积，商不变。 【类型三】一个数除以两个数的积，等于被除数分别除以这两个数 （1）9.6÷（0.96×8）+70.75 =9.6÷0.96÷8+70.75 =10÷8+70.75 =1.25+70.75 =72 （2）65.5-4.9÷（7×0.2） =65.5-4.9÷7÷0.2 =65.5-0.7÷0.2 =65.5-3.5 =62 （3）360÷（9×8） =360÷9÷8 =40÷8 =5 （4）54.79-24÷（8×0.2） =54.79-24÷8÷0.2 =54.79-3÷0.2 =54.79-15 =39.79 （5）62.59-6.4÷（0.8×0.2） =62.59-6.4÷0.8÷0.2 =62.59-8÷0.2 =62.59-40 =22.59 （6）73.82+3.6÷（0.6×1.2） =73.82+3.6÷0.6÷1.2 =73.82+6÷1.2 =73.82+5 =78.82 （7）12.1÷2.2+94.5 =12.1÷（1.1×2）+94.5 =12.1÷1.1÷2+94.5 =11÷2+94.5 =5.5+94.5 =100 （8）0.054÷1.08×0.22 =0.054÷（0.54×2）×0.22 =0.054÷0.54÷2×0.22 =0.1÷2×0.22 =0.5×0.22 =0.11 （9）0.72÷0.036×0.2+7.93 =0.72÷（0.09×4）×0.2+7.93 =0.72÷0.09÷4×0.2+7.93 =8÷4×0.2+7.93 =2×0.2+7.93 =0.4+7.93 =8.33 （10）2.25÷0.45×1.2+43.7 =2.25÷（0.15×3）×1.2+43.7 =2.25÷0.15÷3×1.2+43.7 =15÷3×1.2+43.7 =5×1.2+43.7 =6+43.7 =49.7 【解析】（1）根据商不变的规律：一个数除以两个数的积，等于被除数分别除以这两个数。观察“9.6÷（0.96×8）”发现，转化为“9.6÷0.96÷8”可以使得计算更简单，从而进行简便运算。 （2）根据商不变的规律：一个数除以两个数的积，等于被除数分别除以这两个数。观察“4.9÷（7×0.2）”发现，转化为“4.9÷7÷0.2”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 （3）根据商不变的规律，将“360÷（9×8）”转化为“360÷9÷8”可以使得计算更简单； （4）根据商不变的规律：将“24÷（8×0.2）”转化为“24÷8÷0.2”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 （5）根据商不变的规律：将“6.4÷（0.8×0.2）”转化为“6.4÷0.8÷0.2”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 （6）根据商不变的规律：将“3.6÷（0.6×1.2）”转化为“3.6÷0.6÷1.2”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 （7）根据商不变的规律：将“12.1÷2.2”转化为“12.1÷（1.1×2）”，进而转化为“12.1÷1.1÷2”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 （8）根据商不变的规律：将“0.054÷1.08”转化为“0.054÷1.08”，进而转化为“0.054÷0.54÷2”可以使得计算更简单。需要注意在乘除混合运算中，从左往右依次计算。 （9）根据商不变的规律：将“0.72÷0.036”转化为“0.72÷（0.09×4）”，进而转化为“0.72÷0.09÷4”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 （10）根据商不变的规律：将“2.25÷0.45”转化为“2.25÷（0.15×3）”，进而转化为“2.25÷0.15÷3”可以使得计算更简单。需要注意在加减乘除混合运算中，要先算乘除，最后算加减。 【点拨】根据商不变的规律：一个数除以两个数的积，等于被除数分别除以这两个数。如果除数是两个数的积，并且被除数除以其中一个可以整除，就可以利用上述方法进行简便运算。 3． 简便运算进阶版 例1.【积不变的规律与乘法运算律】 （1）2022×2021.2021－2021×2022.2022 ＝2022×2021×1.0001－2021×2022×1.0001 ＝0 （2）199.9×19.98-199.8×19.97 =19.99×199.8-199.8×19.97 =199.8×(19.99-19.97) =199.8×0.02 =3.996 （3）333×334＋999×222 ＝333×334＋333×3×222 ＝333×（334＋666） ＝333×1000 ＝333000 （4）0.55×0.6＋0.11×7 ＝0.11×5×0.6＋0.11×7 ＝0.11×（5×0.6＋7） ＝0.11×（3＋7） ＝0.11×10 ＝1.1 （5）0.99×10.1－9.9×0.01 ＝0.99×10.1－0.99×0.1 ＝0.99×（10.1－0.1） ＝0.99×10 ＝9.9 （6）19.98×37＋199.8×2.3＋9.99×80 ＝19.98×37＋19.98×23＋19.98×40 ＝19.98×（37＋23＋40） ＝19.98×100 ＝1998 （7）5.5×7.7＋33×0.55－5.5 ＝5.5×7.7＋3.3×5.5－5.5×1 ＝5.5×（7.7＋3.3－1） ＝5.5×10 ＝55 （8）0.0795×2500＋795×0.74＋7.95 ＝7.95×25＋7.95×74＋7.95×1 ＝7.95×（25＋74＋1） ＝7.95×100 ＝795 （9）9.99×222＋3.33×333＋3.33 ＝3.33×666＋3.33×333＋3.33×1 ＝3.33×（666＋333＋1） ＝3.33×1000 ＝3330 (10)3.75×4.23×36-125×0.423×3.6 =4.23×3.6×37.5-4.23×3.6×12.5 =4.23×3.6×(37.5-12.5) =4.23×3.6×25 =4.23×(3.6×25) =4.23×90 =380.7 （11）7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724 ＝7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24 ＝7.24×（0.1＋5＋4.9） ＝7.24×10 ＝72.4；        （12）99.66×6＋66.78×18 ＝33.22×3×6＋66.78×18 ＝33.22×（3×6）＋66.78×18 ＝33.22×18＋66.78×18 ＝（33.22＋66.78）×18 ＝100×18 ＝1800 【解析】（1）根据积不变的规律，先把2021.2021分解成2021×1.0001，把2022.2022分解成2022×1.0001，进行简算。 （2）根据积不变的规律，先把“199.9×19.98”转化为“19.99×199.8”，在计算“19.99×199.8-199.8×19.97”时，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）根据积不变的规律，先把“999”转化为“333×3”，在计算“333×334＋333×3×222”时，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （4）根据积不变的规律，先把“0.55”转化为“0.11×5”，在计算“0.11×5×0.6＋0.11×7”时，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“0.11×（5×0.6＋7）”进行简算； （5）根据积不变的规律，先把“9.9×0.01”转化为“0.99×0.1”，在计算“0.99×10.1－0.99×0.1”时，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“0.99×（10.1－0.1）”进行简算； （6）根据积不变的规律，先把“199.8×2.3＋9.99×80”转化为“19.98×23＋19.98×40”，在计算“19.98×37＋19.98×23＋19.98×40”时，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“19.98×（37＋23＋40）”进行简算； （7）根据积不变的规律，先把“33×0.55－5.5”转化为“3.3×5.5－5.5×1”，在计算“5.5×7.7＋3.3×5.5－5.5×1”时，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“5.5×（7.7＋3.3－1）”进行简算； （8）根据积不变的规律，先把“0.0795×2500＋795×0.74＋7.95”转化为“7.95×25＋7.95×74＋7.95×1”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“7.95×（25＋74＋1）”进行简算； （9）根据积不变的规律，先把“9.99×222”转化为“3.33×666”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“3.33×（666＋333＋1）”进行简算； （10）根据积不变的规律，先把“3.75×4.23×36-125×0.423×3.6”转化为“4.23×3.6×37.5-4.23×3.6×12.5”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“4.23×3.6×(37.5-12.5)”进行简算； （11）根据积不变的规律，先把“0.5×72.4＋0.049×724”转化为“5×7.24＋4.9×7.24”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“7.24×（0.1＋5＋4.9）”进行简算； （12）根据积不变的规律，先把“99.66×6”转化为“33.22×3×6”，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c转化为“（33.22＋66.78）×18”进行简算； 例2.【商不变的规律与乘法运算律】 （1）（12×21×45×10.2）÷（15×4×0.7×51） =（12÷4）×（21÷0.7）×（45÷15）×（10.2÷51） =3×30×3×0.2 =54 （2）（3.8＋3.4×3.8＋3.8×5.6）÷（1.9×0.8×0.25） =3.8×（1+3.4+5.6）÷（1.9×0.2） =3.8×10÷0.38 =38÷0.38 =100 （3）117.8÷2.3－4.88÷0.23 =11.78÷0.23-4.88÷0.23 =（11.78-4.88）÷0.23 =6.9÷0.23 =30 （4）11.1×4÷9×3÷7.4×2 =（11.1×2÷7.4）×4×3÷9 =3×4×3÷9 =4 （5）4.2×0.34÷（1.4×0.34） =（4.2÷1.4）×（0.34÷0.34） =3×1 =3 （6）2.5×7.2÷（0.9÷4） =2.5×7.2÷0.9×4 =（2.5×4）×（7.2÷0.9） =10×8 =80 （7）（294.4－19.2×6）÷（6＋8） ＝（294.4－115.2）÷14 ＝179.2÷14 ＝12.8 （8）20.9＋10.5÷（5.5－4.8） ＝20.9＋10.5÷0.7 ＝20.9＋15 ＝35.9 （9）1÷32÷0.05÷0.25÷0.5 ＝1÷4÷8÷0.05÷0.25÷0.5 ＝1÷（4×0.25）÷（8×0.05×0.5） ＝1÷1÷0.2 ＝5 （10）（5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5） ＝（5.4÷1.8）×（4.5÷1.5）×（8.1÷2.7） ＝3×3×3 ＝27 （11）17.6×1.3＋6.4÷1.3－0.96×13＋5.3÷1.3 ＝（1.76－0.96）×13＋（6.4＋5.3）÷1.3 ＝0.8×13＋11.7÷1.3 ＝10.4＋9 ＝19.4 （12）0.24×0.125÷0.3 =0.3×0.8×0.125÷0.3 =（0.3÷0.3）×（0.8×0.125） =1×0.1 =0.1 【解析】（1）根据商不变的规律，将“（12×21×45×10.2）÷（15×4×0.7×51）”转化为“（12÷4）×（21÷0.7）×（45÷15）×（10.2÷51）”进行简便运算。 （2）根据乘法分配律的你运算和商不变的规律，将“（3.8＋3.4×3.8＋3.8×5.6）÷（1.9×0.8×0.25）”转化为“3.8×（1+3.4+5.6）÷（1.9×0.2）”进行简便运算。 （3）根据乘法分配律的你运算和商不变的规律，将“117.8÷2.3”转化为“11.78÷0.23”，然后将“11.78÷0.23-4.88÷0.23”转化为“（11.78-4.88）÷0.23”进行简便运算。 （4）根据乘法的交换律和商不变的规律，将“11.1×4÷9×3÷7.4×2”转化为“（11.1×2÷7.4）×4×3÷9”，进行简便运算。 （5）根据乘法的交换律和商不变的规律，将“4.2×0.34÷（1.4×0.34）”转化为“（4.2÷1.4）×（0.34÷0.34）”，进行简便运算。 （6）根据商不变的规律，将“2.5×7.2÷（0.9÷4）”转化为“2.5×7.2÷0.9×4”，再根据乘法的交换律，转化为“（2.5×4）×（7.2÷0.9）”进行简便运算。 （7）在含括号的加减乘除混合运算中，要先算小括号里面的。 （8）在含括号的加减乘除混合运算中，要先算小括号里面的。 （9）根据商不变的规律，将“1÷32÷0.05÷0.25÷0.5”转化为“1÷4÷8÷0.05÷0.25÷0.5”，再转化为“1÷（4×0.25）÷（8×0.05×0.5）”进行简便运算。 （10）根据商不变的规律，将“（5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5）”转化为“（5.4÷1.8）×（4.5÷1.5）×（8.1÷2.7）”，进行简便运算。 （11）根据乘法分配律的逆运算，将“17.6×1.3＋6.4÷1.3－0.96×13＋5.3÷1.3”转化为“（1.76－0.96）×13＋（6.4＋5.3）÷1.3”，进行简遍运算。 （12）根据积不变的规律，将“0.24×0.125÷0.3”转化为“0.3×0.8×0.125÷0.3”，再根据乘法的结合律转化为“（0.3÷0.3）×（0.8×0.125）”，进行简便运算。 4． 混合运算中的简便运算 例1.加减混合运算中的简便运算 （1）999＋99.9＋9.99＋0.999 ＝（1000－1）＋（100－0.1）＋（10－0.01）＋（1－0.001） ＝（1000＋100＋10＋1）－（1＋0.1＋0.01＋0.001） ＝1111－1.111 ＝1109.889 （2）7.24×0.1＋0.5×72.4＋0.049×724+99.66×6＋66.78×18 ＝7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24+33.22×3×6＋66.78×18 ＝7.24×（0.1＋5＋4.9）+33.22×（3×6）＋66.78×18 ＝7.24×10+33.22×18＋66.78×18 ＝72.4+（33.22＋66.78）×18 =72.4+100×18 =1872.4       （3）（0.1＋0.12＋0.123＋0.1234）×（0.12＋0.123＋0.1234＋0.12345）－（0.1＋0.12＋0.123＋01234＋0.12345）×（0.12＋0.123＋0.1234） 设0.1＋0.12＋0.123＋01234＋0.12345＝A，设0.12＋0.123＋0.1234＋0.12345＝B； 已知A－B＝0.1 原式＝（A－0.12345）×B－A×（B－0.12345） ＝A×B－0.12345×B－A×B＋A×0.12345 ＝0.12345×（A－B） ＝0.12345×0.1 ＝0.012345 （4）123456×73.28×（4－3.2÷0.8）+（12×21×45）÷（15×4×0.7） =123456×73.28×（4-4）+（12÷4）×（21÷0.7）×（45÷15） =123456×73.28×0+3×30×3 =0+270 =270 （5）2424.2424÷242.4+69316.931÷69.31 ＝2424×1.0001÷242.4+6931×10.001÷69.31 ＝242.4×10.001÷242.4+69.31×1000.1÷69.31 ＝10.001+1000.1 =1010.1001 （6）（1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.45）－（1＋0.23＋0.34＋0.45）×（0.23＋0.34） 设1＋0.23＋0.34＋0.45＝A，设0.23＋0.34＋0.45＝B； 已知A－B＝1； 原式＝（A－0.45）×B－A×（B－0.45） ＝A×B－0.45×B－A×B＋A×0.45 ＝0.45×（A－B） ＝0.45×1 ＝0.45 （7）153.7×0.789－937×0.0789＋153.7×0.211－9.37×2.11 =153.7×0.789＋153.7×0.211－9.37×7.89－9.37×2.11 =153.7×（0.789＋0.211）-9.37×（7.89+2.11） =153.7×1-9.37×10 =153.7-93.7 =60 （8）1.25×17.6＋36÷0.8＋2.64×12.5 =1.25×17.6＋36×1.25＋26.4×1.25 =1.25×（17.6+36+26.4） =1.25×80 =100 （9）16.46×15.1＋8.54×15.1－25×14.7  =（16.46+8.54）×15.1－25×14.7  =25×15.1－25×14.7 =25×（15.1－14.7） =25×0.4 =10 （10）45.3×3.2＋578×0.68＋12.5×1.2 =45.3×3.2＋57.8×6.8＋12.5×1.2 =45.3×3.2＋（45.3+12.5）×6.8＋12.5×1.2 =45.3×（3.2+6.8）+12.5×（6.8+1.2） =45.3×10+12.5×8 =453+10 =463 （11）（3.8＋3.4×3.8＋3.8×5.6）÷（1.9×0.8×0.25） =3.8×（1+3.4+5.6）÷（1.9×2） =3.8×10÷3.8 =10 （12）12＋12.1＋12.2＋12.3＋12.4＋…＋12.8＋12.9 ＝12×10＋0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.6＋0.7＋0.8＋0.9 ＝120＋0.5×9 ＝120＋4.5 ＝124.5 【解析】（1）把原式看作“（1000－1）＋（100－0.1）＋（10－0.01）＋（1－0.001）”利用加法交换律与加法结合律，即可简算。 （2）将算式转化为7.24×0.1＋5×7.24＋4.9×7.24，再利用乘法分配律解答； 将99.66拆成33.22×3，将原式转化为33.22×（3×6）＋66.78×18，再利用乘法分配律解答，就可以简便运算。 （3）设0.1＋0.12＋0.123＋01234＋0.12345为A，设0.12＋0.123＋0.1234＋0.12345为B，用A和B表示其它两部分，简化算式，如何求解。 （4）按照运算顺序计算，前半部分，括号里面是0，0乘任何数都得0；后半部分，根据商不变的规律和去括号的方法，将“（12×21×45）÷（15×4×0.7） ”转化为“（12÷4）×（21÷0.7）×（45÷15）”，从而进行简算。 （5）2424.2424符合叠数的特点，可以写成2424×1.0001，改写成242.4×10.001，然后进行计算；同样，69316.931符合叠数的特征，可以写成6931×10.001，改写成69.31×1000.1，然后进行计算。 （6）设1＋0.23＋0.34＋0.45为A，设0.23＋0.34＋0.45为B，用A和B表示其它两部分，简化算式，然后求解。 （7）提取公因数153.7，并构造公因数9.37，然后应用乘法分配律求解； （8）除以0.8相当于是乘1.25，然后构造公因数1.25，并应用乘法分配律求解。 （9）先提取公因数15.1，得到25×15.1，再提取公因数25进行计算，连续两次使用乘法分配律逆运算进行简算； （10）先把578×0.68改写成57.8×6.8，然后把57.8拆成45.3＋12.5，应用乘法分配律进行计算； （11）第一个括号里，提取公因数3.8，第二个括号里，结果刚好是3.8，然后再应用交换律求解； （12）先计算整数部分，10个12相加，得到120，再计算小数部分，0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.6＋0.7＋0.8＋0.9，等于中间数0.5的9倍。 $$