专题02 与绝对值的有关的化简的六种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题02 与绝对值的有关的化简的六种模型 目录 题型一：利用绝对值非负性进行求解 1 题型二：已知参数的范围化简绝对值 3 题型三：化简含绝对值的多重符号 4 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 6 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 9 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 17 题型一：利用绝对值非负性进行求解 1．已知a，b都是有理数，且，则 . 2．若，则的值是 ． 3．，则 ． 4．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 5．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 题型二：已知参数的范围化简绝对值 6.若，则化简 ． 7．若，则 ；当时， ． 8．若，则 ． 9．若，则 ． 10．若，求代数式 ． 题型三：化简含绝对值的多重符号 11．填空： （1） ． （2） ； ． 12．化简： ， 13．化简：（1） ；（2） ；（3） 14．化简： ； ； ； ． 15．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 16．有理数在数轴上对应点如图所示： (1)用“”“”或“”填空：________0，________0，________； (2)化简：． 17．已知有理数、、满足、、，且 (1)在数轴上将、、三个数填在相应的括号中． (2)化简：． 18．如图，数轴上A、B、C三点分别表示有理数a、b、c，其中A、B两点到原点的距离相等，点C在点B右侧． (1)用“=”、“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 19．已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示． (1)比较a，，的大小（用“”连接）； (2)根据数轴判断：　　　0，　　　0（填“”“”或“”）； (3)化简：． 20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．    (1)请在数轴上表示，并将a，b，c，用“”连接起来； (2)化简：． 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 21．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 22．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 23．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即时， 则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为3或－1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_____________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； (3)若为三个不为0的有理数，且，求的值． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即，，时，则； ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则 ． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知、是不为0的有理数，当时，则的值是　　； (2)已知、、是有理数，当时，则的值是　　； (3)已知、、是有理数，且，求的值． 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 26．阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 27．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为．回答下列问题： (1)数轴上表示2和5之间的距离是 　　；数轴上表示1和之间的距离是 　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　；如果，那么的值为 　　； (3)说出表示的几何意义 　　，其最小值是 　　； (4)求的最小值，并写出过程． 28．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示2与4的两点之间的距离是 ；数轴上表示与3的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数5所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离．若，则 ； (4)若x表示一个有理数，则的最小值是 ． 29．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，如的几何意义是数轴上，两数所对的点A，B之间的距离，记作，例：的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． 【 举一反三】 （1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离可表示为 ； 【问题解决】 （3）若数轴上表示x和的两点之间的距离是3，则x的值为 ； 【拓展应用】 请你结合数轴探究： （4）的最小值是 ； （5）若，则 ． 30．认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与绝对值的有关的化简的六种模型 目录 题型一：利用绝对值非负性进行求解 1 题型二：已知参数的范围化简绝对值 3 题型三：化简含绝对值的多重符号 4 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 6 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 9 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 17 题型一：利用绝对值非负性进行求解 1．已知a，b都是有理数，且，则 . 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性应用，则，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性解题即可． 【详解】解：由题可知， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 3．，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可． 4．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 5．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 题型二：已知参数的范围化简绝对值 6.若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性，是解题的关键．根据负数的绝对值是正数，绝对值的非负性进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴； 故答案为：． 7．若，则 ；当时， ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及化简，由，可得，由绝对值的性质，即可求得的值；由，即可求得的值，又由绝对值的性质，即可求得的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． 故答案为：，5． 8．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．若，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查绝对值的性质，当时，；当时，，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．由，根据绝对值的性质可得，然后然后合并同类项即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：4 10．若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 题型三：化简含绝对值的多重符号 11．填空： （1） ． （2） ； ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了相反数的概念，正确理解相反数的概念是解题的关键．直接利用相反数的概念化简多重符号，即可逐步得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：2 （2）；． 故答案为：2， 12．化简： ， 【答案】 / 2 【分析】本题考查了化简多重符号，掌握基本运算是解答本题的关键．根据多重符号化简，即可解答． 【详解】解：；；． 故答案为：；；2． 13．化简：（1） ；（2） ；（3） 【答案】 /0.6 【分析】本题考查了化简多重符号，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据相反数的定义化简相应符号即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． 14．化简： ； ； ； ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义化简相应符号即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是利用相反数的定义化简符号． 15．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【分析】本题主要考查了正负号的化简，熟练掌握相反数的定义，是解决问题的关键． 根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，逐步化简正负号，即得（方法不唯一）． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 16．有理数在数轴上对应点如图所示： (1)用“”“”或“”填空：________0，________0，________； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的性质、有理数大小的比较等知识点，掌握运用数轴判定代数式的正负是解题的关键． （1）根据图示，可得且，据此解答即可； （2）首先根据且，分别判断出、的正负，然后去绝对值，最后根据整式加减法的运算法则运算即可． 【详解】（1）解：根据图示，可得且， ∴． 故答案为：． （2）解：根据图示可得：且， ∴ ∴ ． 17．已知有理数、、满足、、，且 (1)在数轴上将、、三个数填在相应的括号中． (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是判定、、的正负． （1）根据，，的范围，即可解答； （2）根据，，的取值范围，判定、、的正负，根据绝对值的性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图， （2）解：、、， ，，， ． 18．如图，数轴上A、B、C三点分别表示有理数a、b、c，其中A、B两点到原点的距离相等，点C在点B右侧． (1)用“=”、“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)＞，＜，＜ (2) 【分析】本题考查数轴、有理数的加减、绝对值的化简、合并同类项． （1）根据数轴得到，，，，进而利用有理数的运算法则计算判断符号即可； （2）根据（1）中符号和绝对值的性质化简绝对值，再合并同类项计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ∴，，； 故答案为：＞，＜，＜； （2）解：由（1）得，，； ∴ ． 19．已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示． (1)比较a，，的大小（用“”连接）； (2)根据数轴判断：　　　0，　　　0（填“”“”或“”）； (3)化简：． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题主要考查数轴，绝对值和实数的大小比较． （1）根据相反数的几何意义在数轴上标出得出，，据此比较即可； （2）根据数轴得出，即可判断； （3）根据数轴得出根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可． 【详解】（1）解：由相反数的几何意义，在数轴上标出得出，，如图， ∴； （2）解：根据数轴得，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴，， ∴ ． 20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．    (1)请在数轴上表示，并将a，b，c，用“”连接起来； (2)化简：． 【答案】(1)数轴见解析， (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，合并同类项等知识，涉及了数形结合思想： （1）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大直接进行判断； （2）结合数轴，先判断的正负，再计算绝对值进行化简． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 21．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的运算法则判断符号，绝对值化简等； （1）由有数乘法法则的，由加法法则，即可判断； （2）由有理数乘法法则，即可判断； （3）当a、b、c均为正数时，去绝对值，化简计算，即可求解；当a、b、c均为负数时，同理可求； 当a、b、c中有两个正数一负数时，同理可求；当a、b，c中有一个正数两个负数时，同理可求． 理解有理数加法、乘法法则，绝对值性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； 故答案：； （2）解：因为，， 所以； 故答案：； （3）解：当a、b、c均为正数时， ； 当a、b、c均为负数时， ； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设 ，，， 所以 ； 当a、b，c中有一个正数两个负数时，不妨设 ，，， ． 综上，的值为或． 22．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 【答案】(1)1； (2)1或；2或0 (3)，0，4 【分析】本题考查了绝对值的化简，合理选择分类的标准是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法，即得答案； （2）对和分别计算，即得的结果；对和分别计算，即得的结果； （3）分四种情况讨论：①，，；②，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0；③，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0；④当，，三个字母都小于0．根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． 【详解】（1）解：，； 故答案为：1；． （2）解：当时，； 当时，； 当，时，； 当，时，； 故答案为：1或；2或0． （3）解：分以下四种情况： ①当，，时； ②当，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0时， ； ③当，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0时， ； ④当，，三个字母都小于0时， ； 综上所述的所有可能的值为，0，4． 23．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即时， 则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为3或－1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_____________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； (3)若为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)1，，2或 (2)或1 (3)1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据绝对值的意义化简求解即可； （2）由，可得中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （3）由，可得中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵，则； ，则； ∵， ∴当，时，则； 当，时，则； 故答案为：1，，2或 （2）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1． （3）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即，，时，则； ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则 ． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知、是不为0的有理数，当时，则的值是　　； (2)已知、、是有理数，当时，则的值是　　； (3)已知、、是有理数，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)1或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． （1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． （3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】（1）解：，是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时，则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则．   综上所述，原式的值为1或． （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． 当、、中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ； 当、、中只有一个正数，另两个为负数时，设，，， ．   综上所述，原式的值为1或．   题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 26．阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 27．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为．回答下列问题： (1)数轴上表示2和5之间的距离是 　　；数轴上表示1和之间的距离是 　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 　　；如果，那么的值为 　　； (3)说出表示的几何意义 　　，其最小值是 　　； (4)求的最小值，并写出过程． 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)数轴上表示点到1和两点的距离和，4 (4)1019090 【分析】本题考查的是两点间的距离公式，绝对值的几何意义； （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据两点间的距离公式及绝对值的性质求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得答案； （4）根据绝对值的几何意义可知：当时所求式子的值最小，然后去掉绝对值符号计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：3，4； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 由题意得：， ， 或0， 故答案为：，或0； （3）解：表示的几何意义是：数轴上表示点到1和两点的距离和， 由表示的几何意义可知，当x在和之间时，点到1和两点的距离和最小，最小值为， 故答案为：数轴上表示点到1和两点的距离和，4； （4）解：的中间一项是， 当时，有最小值， ， 的最小值为1019090． 28．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示2与4的两点之间的距离是 ；数轴上表示与3的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数5所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离．若，则 ； (4)若x表示一个有理数，则的最小值是 ． 【答案】(1)2，4 (2) (3)，或 (4)7 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，利用数形结合的思想是解题关键． （1）代入求解即可； （2）由两点之间的距离用绝对值的表达式表示即可； （3）根据绝对值的意义和两点之间的距离解答即可； （4）根据两点之间的距离和绝对值的意义可得出当数轴上表示有理数x的数在和2之间时，它们的和最小，即可解答． 【详解】（1）解：，， 所以数轴上表示2与4的两点之间的距离是2；数轴上表示与3的两点之间的距离是4； （2）解：数轴上有理数x与有理数5所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为； （3）解：代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离； ，表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离为8， 则或； （4）解：求的值，即为表示数轴上有理数x与有理数2所对应的两点之间的距离和表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离的和， 所以当数轴上表示有理数x的数在和2之间时，它们的和最小，且为． 29．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，如的几何意义是数轴上，两数所对的点A，B之间的距离，记作，例：的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． 【 举一反三】 （1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离可表示为 ； 【问题解决】 （3）若数轴上表示x和的两点之间的距离是3，则x的值为 ； 【拓展应用】 请你结合数轴探究： （4）的最小值是 ； （5）若，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3）1或；（4） 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，和绝对值的性质，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）由数轴上表示x和的两点之间的距离可表示为即可作答； （3）根据数轴上两点之间的距离列方程求解即可作答； （4）对x的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （5）结合（4）的讨论过程，确定x在数轴上的位置，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】（1）∵表示x与2的差的绝对值， 可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离为=； （3）， ， 解得：或 （4）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （5）结合（4）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即 所以，则或5． 30．认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$