第1章 有理数（暑假单元自测）新七年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学有理数单元卷，立足核心素养，通过《九章算术》负数记载、新冠疫苗接种数据等情境，覆盖概念、运算、数轴等全章重难点，适合暑假复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|有理数概念、大小比较、绝对值|结合数学文化（第1题《九章算术》），考查抽象能力| |填空|6/18|科学记数法、绝对值最值、规律探究|联系生活（第12题疫苗接种），培养数据意识| |解答|8/72|混合运算、数轴应用、新定义（除方）|设计销售情境（第22题）、规律探究（第20题），发展运算能力与模型意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章有理数单元自测卷 【新教材，湘教版】 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家.我国古代数学著作《九章算术》中注有“今 两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数.若微信进 账10元记为+10，那么微信支出6元应记为(). A.+10 B.-10 C.+6 D.-6 2.在=2,0，二，1中，最小的数是() A.-2 B.0 D.1 3.下列说法正确的是() A.有理数分为正数和负数 B.a是有理数，-a一定是负数 C.绝对值最小的有理数是0 D.两数相减，差一定小于被减数 4.将-2-+1--5+-4统一为加法运算，正确的是() A.-2++1+-5+-4 B.-2+-1++5+-4 C.-2++1++5++4 D.-2+-1+-5++4 5.点A在数轴上表示的数是-2，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B,则点B所表示的数是 () A.3 B.-7 C.3或-7 D.5或-5 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6有下列计第：①0-8=-8：@-13-13=0色号×-=是@-2-1，芙钟计 算正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 .若-1<a<0,则a,,a由小到大排列正确的是（) A.a2<a<1 D.a<a2<1 a a C. a 8.有理数α，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式： ①b<0,②a-b>0,③a+b>0,③1la-1b1>0,6g+女=0.其中正确的个数有（) 2+ a b a 0 A.4 B.3 C.2 D.1 9.对于数133，规定第一次操作为13+33+3=55，第二次操作为53+53=250，如此反复操作，则第 2026次操作后得到的数是() A.25 B.250 C.55 D.133 10.正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和0，若正六边形 ABCDEF绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为-1.按此规律继续 翻转下去，数轴上-2026所对应的顶点是() D ⊙ ⊥F 54-3202345→ A.A B.B C.C D.D 二、填空题（共18分） 11.一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为+4分，那么 90分应记为分. 12.根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团 累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示正确的是 13.如果x为有理数，式子2026-|x-2存在最大值，这个最大值是 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.若m=6,n=4,且m+n<0,则m-n的值为 15.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反 复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示.这样捏合到第6次后拉成根细面 条 ☐→→≥ 第一次捏合第二次捏合第三次捏合 16.如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为一2时，最后输 出的结果y是 输入x +4 -（-3) ÷(-0.5) 结果是否大于5 是输出y 否 三、解答题（共72分） 17.(8分)计算： 3+5-3 0-4+62 ×-24: @1'-05--429 18.(8分)已知a,b互为相反数，C,d互为倒数，x的绝对值等于2，试求： x2-(a+b+cd)x+(a+b)203+(-cd23的值. 317 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(8分)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3. B (1)则B所表示的数是 (②)数轴上有点P,且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为一 (3)数轴上有点C,且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为· 20.(8分)观察下列等式 113 第一个等式：12×2： 第二个等式：1-1=2x4 3233: 第三个等式：1- 1-3×5 4244: “, 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式： (2)请写出第n个等式： ®1-12小 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(9分)【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 2÷2÷2,-3÷-3÷-3÷-3等，类比有理数的乘方，我们-3÷-3÷-3÷-3写作-3④，读 作“-3的圈4次方”，一般地把 宁a宁a-0(a≠0)写作D,读作“a的图n次方”. n个a 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：2®= :-3®= (2)下列关于除方说法中，不正确的是()· A.任何非零数的圈2次方都等于1： B.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； c.-2>-4@ D.1和-1的圈n次方都等于它本身. 3)算一算：-2022x1/@ 2--4-2 22.(9分)在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖200千 克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位： 千克)： 星期 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 -3 -4 +8 -6 +20 +5 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出千克： (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为0.8元，那么安某本周共计收入多少元？（总收入=总销售额- 总运费) 23.(10分)观察下列各式： 1-1=4×1×2, 42-9=2×3 +2+3=36××4 13+2+32+42=100=1×42×52 回答下面的问题： (1)直接写出13+2+3+43+53的值是 猜想：13+23+33+…(n-1)3+n3= (2②)根据(1)中的结论，求113+123+133+…+193+203的值. (3)思维拓展：求1+3+53+·+17+19的值. 617 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 24.(12分)如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.可 以看出，终点表示的数是-2.已知A,B都是数轴上的点.参照图中所给的信息，完成下列问题 5 山3 -3-2-101234 (1)若点A表示的数是-3，将点A向右移动5个单位长度至点A1,则点A1表示的数是 (2)已知点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D,则点D表示的数是 9 再向右移动2个单位长度至点C,则点C表示的数是 (3)在(2)的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到-5.5所在的点处时，求M,N两点间的距离： (④)如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离AB=|a-b.利用数形结合思 想回答问题：若x、y都表示有理数，请直接写出式子x+1+|x+|y-3+|y-4+x-y的最小值 7/7 第1章 有理数 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若微信进账10元记为，那么微信支出6元应记为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数与负数的意义，解题关键是明确正负数用来表示意义相反的量，根据已知进账的记法即可推出支出的记法． 【详解】微信进账10元记为，进账与支出是意义相反的两个量， 微信支出6元应记为． 2．在，0，，1中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】利用有理数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 故最小的数是． 3．下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正数和负数 B．a是有理数，一定是负数 C．绝对值最小的有理数是0 D．两数相减，差一定小于被减数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数，绝对值及减法运算的性质，根据有理数的分类，相反数，绝对值及减法运算的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、有理数分为正有理数、负有理数和零，故选项不符合题意； B、当a为负数或零时，为正数或零，不一定是负数，故选项不符合题意； C、绝对值表示数到原点的距离，0的绝对值最小且为0，正确，故选项符合题意； D、若减数为负数，差可能大于被减数（如），故选项不符合题意； 故选：C． 4．将统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数加减混合运算统一为加法运算，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键．根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 故选：B 5．点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 6．有下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法、乘法、除法、乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的运算法则逐个计算判断即可． 【详解】解：①，故原式计算错误； ②，故原式计算错误； ③，故原式计算正确； ④，故原式计算错误； 所以计算正确的1个． 故选：A． 7．若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数、平方等性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即 故选：C 【点睛】此题考查了平方和倒数的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 8．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式： ①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边<右边；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；以及有理数的运算法则． 根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：①根据数轴可得：，，则；故①正确； ②∵，∴；故②不正确； ③∵，，∴；故③不正确； ④∵，∴，故④正确； ⑤∵，，∴，∴，故⑤正确； 综上：正确的有①④⑤，共3个． 故选：B． 9．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成的数字序列以3为周期循环：． 第次操作相当于循环中的第一次操作，结果为． 【详解】∵第一次操作： 第二次操作： 第三次操作： ∴运算结果每3次为一个循环 ∵余1 ∴第次操作后的数与第一次操作后的数相同，为 故选：C． 10．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 二、填空题（共18分） 11．一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应记为_______分． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的意义，理解具有相反意义的量，一个用正数表示，则与之相反的量用负数表示是解题的关键． 根据以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应表示为分． 【详解】解：， ∴90分应记为分， 故答案为：． 12．根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示正确的是 ． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：27亿＝2700000000＝2.7×109， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是 ． 【答案】2026 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故答案为：2026． 14．若，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或， 故答案为：或 ． 15．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成____ 根细面条． 【答案】64 【分析】本题主要考查有理数的乘方的应用．找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系即可． 【详解】解：罗列每次拉出的根数如下： 第一次，拉出2根细面条； 第二次，拉出根细面条； 第三次，拉出根细面条； ， 第次，拉出根细面条； 第十次捏合，拉出根细面条． 故答案为：64． 16．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是________． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式． 先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算． 【详解】解：当输入的x为时， ， 输入的x为， ， 最后输出的结果y是， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)34 (2)0 【分析】本题主要考查了分数的混合运算以及有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）运用乘法分配律计算即可； （2）先乘方，去括号，再根据有理数的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，试求：的值． 【答案】1或5 【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质，已知字母的值求代数式的值，先根据互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，得出，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2， ∴， ∴，， ∴ 当时，则， 当时，则， ∴的值为1或5． 19．（8分）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是______． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查数轴的特点，掌握数轴的三要素，数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原数如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为2；当点C在点B的右边时，点C表示的数为6， 故答案为：2或6． 20．（8分）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 21．（9分）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 22．（9分）在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：千克)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出_____千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为元，那么安某本周共计收入多少元？(总收入总销售额总运费) 【答案】(1)598 (2)26千克 (3)5985元 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数的混合运算，解题的关键是理解超额记正、不足记负的含义，准确计算总销量及相关数值． （1）先计算前三天计划总销量，再加上前三天与计划量的差值和，得到实际总销量； （2）找出每日与计划量的最大差值和最小差值，两者相减得出结果； （3）先求本周总销量（计划周销量加所有差值和），再按“每千克实际收入×总销量”计算总收入． 【详解】（1）解：， 即前三天共卖出598千克. （2）解：销售量最多的一天差值为，销售量最少的一天差值为， ， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）解：本周总销量为千克， 每千克实际收入为元， 总收入为元， 答：安某本周共计收入5985元． 23．（10分）观察下列各式： ， …… 回答下面的问题： (1)直接写出的值是___________； 猜想：___________． (2)根据（1）中的结论，求的值． (3)思维拓展：求的值． 【答案】(1)225； (2)41075 (3)19900 【分析】（1）根据给出的等式寻找规律，得出答案即可； （2）根据例题得到原式等于，再根据规律计算即可； （3）将原式变形为，再对进行计算，最后仿照例题解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴，； （2）解： ； （3）解： ＝． 【点睛】此题考查有理数的规律计算，能读懂例题，仿照例题依次得到每个算式的计算方法是解题的关键． 24．（12分）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知，都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题. (1)若点表示的数是，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点表示的数是，点从点出发先向左移动个单位长度至点，则点表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； (3)在（）的条件下，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间的距离； (4)如果点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离．利用数形结合思想回答问题：若都表示有理数，请直接写出式子的最小值 ． 【答案】(1)； (2)，； (3)，两点间的距离是； (4)． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行列式，然后计算即可； （）根据题意进行列式计算，即可作答； （）先根据题意，列式计算，得出点运动的时间，结合点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，点表示的数为，列式计算得出点表示的数，最后列式计算得出点和点之间的距离，即可作答； （）根据绝对值的意义，分别判断出、、的最小值，然后相加即可得解． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，将点向右移动个单位长度至点， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）解：由题意得，点表示的数是， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （3）解：∵点表示的数是，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动， ∴当点运动到所在的点处时，运动的时间为 ， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴，两点间的距离是； （4）解：∵表示数轴上表示的点到和的距离之和， ∵当时，的最小值为； ∵表示数轴上表示的点到和的距离之和， ∵当时，的最小值为； ∵表示数轴上表示的点到表示的点的距离， ∴当，时，的最小值为， ∴当，时，的最小值为， 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $