精品解析：2025年湖南省长沙市岳麓区西雅中学中考数学二模试卷

2025年湖南省长沙市岳麓区西雅中学中考数学二模试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A：是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C：不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 2025年1月15日，官方正式发布，上线平台包括苹果等；1月28日，日活跃用户数首次超越豆包．2月9日，的累计下载量已超110000000次，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为正数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：C． 3. 长沙某天最高气温，最低气温，则温差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．利用最高气温减去最低气温即可． 【详解】解：根据题意得， 则温差为． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. a+a=2a B. a6÷a3=a2 C. D. (a-b)2=a2-b2 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：A. a+a=2a，故该选项正确； B a6÷a3=a3，故原选项错误； C. ，故原选项错误； D. (a-b)2=a2-2ab+b2，故原选项错误. 故选A. 5. 我校某班8名同学参加数学知识竞赛，得分情况统计如下：6，5，5，7，6，6，9，8，则他们得分情况的中位数和众数是（ ） A 6.5，6 B. 6.5，5 C. 6，6 D. 6，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数．根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，8，9，最中间2个数的平均数是； 则中位数是6； 6出现了3次，出现的次数最多，则众数是6． 故选：C． 6. 已知点是点关于x轴对称的对称点，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵点是点关于x轴对称的对称点， ∴点的坐标为， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 7. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=130°，则∠D的度数是（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC，根据三角形内角和定理求出即可． 解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=130°， ∴∠C=50°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°， ∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=40°， 故选B． 考点：平行线的性质；直角三角形的性质． 8. 如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（ ） A. 3 B. 8 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 若点在直线上，下列说法不正确的是(　　) A. 函数y随x的增大而减小 B. 图象与x轴的交点是(4，0) C. 点一定不在第三象限 D. 当x＞2时，y＞2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：A．∵直线y＝﹣x+4，k＝﹣1＜0， ∴y随着x的增大而减小， 故选项不符合题意； B．当y＝﹣x+4＝0时，x＝4， ∴函数与x轴交点为（4，0）， 故选项不符合题意； C．∵y＝﹣x+4经过第一、二、四象限， ∴P一定不在第三象限， 故选项不符合题意； D．当x＞2时，y＜2， 故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，轴，若点的坐标为，，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 7 D. -7 【答案】C 【解析】 【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a=，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值． 【详解】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3）， ∴设点A（a，3） ∵S△ABC=（a-1）×3=2， ∴a=， ∴点A（，3） ∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴k=7， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 12. 湖南自古以来就有尊师重教、崇智尚学的优良传统，从湖南众多的书院就可窥见一二．小明了解书院的历史后，准备从岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）这四个书院中随机抽取两个书院向同学们分享其历史和成就，恰好选到岳麓书院和渌江书院的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中恰好选到岳麓书院和渌江书院的有2种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 故答案为：． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得， 故答案为：． 14. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 15. 如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是解题的关键． D、E是和的中点，则是的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ． 故答案为：26． 16. 河内塔问题是一个古老的益智游戏，游戏的规则是每次只能移动1个珠子，大珠子不能放在小珠子上面，现在借助②号杆，把①号杆上的三颗珠子移到③号杆，而不改变珠子的上下顺序，最少移动 _____次． 【答案】7 【解析】 【分析】①号杆上的三颗珠子，设最小为1号，中间的为2号，最大的为3号. 根据游戏规则:每次只能移动1个珠子，大珠子不能放在小珠子上面，即可得到答案． 本题考查了学生逻辑思维能力，解题的关键是每走一步都要注意满足游戏规则． 【详解】解：①号杆上的三颗珠子，设最小为1号，中间的为2号，最大的为3号， 第一步，把1号移到③上， 第二步，把2号移到②上， 第三步，把1号移到②上， 第四步把3号移到③上， 第五步，把1号移到①上， 第六步，把2号移到③上， 再把1号移到③上，最少要7步， 故答案为：7． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值．先用平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式化简．再合并同类项，最后代入求值即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 梅溪湖城市岛如图，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，城市岛“星空”于每周五和周六晚进行播放，包含“地球家园”、“仰望星空”、“湖湘文脉”、“家国一心”等主题，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小雅同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图，她先在离地面高（即）矩形平台上的点处用测角仪测得观景台顶部的仰角为，然后前进到处，测得观景台顶部的仰角为．根据以上测量数据求城市岛的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，得到矩形，从而将已知条件转化到两个直角三角形和中，再根据三角函数和线段关系计算出，进而求出．本题主要考查了解直角三角形的实际应用，涉及到矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角函数的运用．熟练掌握直角三角形的边角关系，通过作辅助线构造合适的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：延长交于，则， 在中， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴城市岛的高度（）． 答：城市岛的高度约为米． 20. 学校开通了线上教育学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 等级 频率 人数 A 6 B 12 b C c D 8 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次调查随机抽取了________名学生；表中________，________； （2）请补全条形统计图； （3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是_________； （4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）40人，0.3，14；（2）补图见解答；（3）72°；（4）810人． 【解析】 【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数求出b，用总人数乘以合格的人数所占的百分比求出c； （2）根据（1）求出合格的人数，再补全统计图即可； （3）用360°乘以“不合格”的人数所占的百分比即可； （4）用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可． 【详解】解：（1）本次调查随机抽取的学生数是：6÷0.15=40（名）， =0.3，c=0.35×40=14； 故答案为：40，0.3，14； （2）C级的人数有14人，补全统计图如下： （3）“不合格”等级所对应的圆心角的度数是：360°×0.2=72°． 故答案为：72°； （4）1800×（0.15+0.3）=810（人）， 答：该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有810人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为17 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理： （1）由是等腰直角三角形，，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点C在的延长线上，点F在线段上， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为17． 22. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． （1）每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ （2）根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【答案】（1）每个甲种文创进价是10元，每个乙种文创的进价是6元 （2）总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元，根据每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元； 【小问2详解】 解：设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个， 由题意得：， 解得：， 设总利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值， 此时，， 答：总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个． 23. 如图，中，分别以，为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于，两点，过，作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由尺规作图可知是的垂直平分线，根据点是的中点，可得是的中位线，根据三角形中位线定理可证，，又因为，可证，从而可证四边形是平行四边形，又因为，可证结论成立； （2）四边形是菱形，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形的中位线定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，利用的正切求出的长度，根据菱形的四条边都相等即可求出结果． 【小问1详解】 证明：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、三角形中位线定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形中位线定理找到边、角之间的关系． 24. 定义：一个点的横坐标的平方与常数t的和等于纵坐标，则称该点为“t阶平方点”． （1）下列函数存在“0阶平方点”的是 ． ①； ②； ③； （2）若一次函数上有且仅有一个“t阶平方点”，且该“t阶平方点”关于的对称点也是“t阶平方点”，求n的值． （3）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，其中，点C是横坐标为0的“t阶平方点”，且，F为y轴上一点，直线，上的另外一个“t阶平方点”分别为点D，E，若同时满足下列两个条件： ①， ②四边形是菱形； 设该菱形的面积为m，且当时，函数的最大值等于，求t的值． 【答案】（1）②③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）依据新定义判断即可； （2）联立解析可推出，t阶平方点为，其关于对称后点得坐标为，所以，据此得解； （3）分类讨论，或，由题干易证菱形为正方形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可设这个点为， ①， 整理得， ∵， ∴方程无解， 故函数不存在“0阶平方点”； ②， 解得， 故函数y存在“0阶平方点”为； ③， 解得m， 故函数存在“0阶平方点”为； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：联立， 整理得， 则，且t阶平方点为， ∴， ∴t阶平方点为， ∴该t阶平方点关于对称后点得坐标为， ∵该点也是“t阶平方点”， ∴， 将②代入③得； 【小问3详解】 解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴菱形为正方形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 则直线的解析式为：， 联立， 解得：（舍），， ∴，，则， ∴， ∴， 则抛物线为，对称轴为直线，， 又∵， ∴当时，， ∴； 当时，同理可得，，，，， 则抛物线为， 对称轴为直线，， 又∵， ∴当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及抛物线与直线交点问题、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图，四边形内接于，对角线，相交于点． （1）若，，． ①判断的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． （2）如图，点是中点，点是线段上一点，且，点是弦上一点，且，令，，，试用含，，的式子表示的值． 【答案】（1）①是等边三角形，理由见解析；②四边形的面积为； （2）． 【解析】 【分析】（1）①由圆周角定理可得，据此判断即可； ②延长至点，使，易证，可得是等边三角形，将面积转化可知，据此求解； （2）先证四边形是平行四边形，再证，，再证可得，证，，最后利用，且，可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，， ， 是等边三角形； ②延长至点，使， ， 是等边三角形， ， 四边形内接于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，垂足为， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 由圆周角定理得， ， 是中点，即， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 由圆周角定理， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理， ， ， ， 即， 由圆周角定理， ， ， ， ，， ， ， ，， ，且， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、等边三角形的判定和性质、圆内接四边形性质、全等三角形的判定与性质、三线合一定理、解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省长沙市岳麓区西雅中学中考数学二模试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年1月15日，官方正式发布，上线平台包括苹果等；1月28日，日活跃用户数首次超越豆包．2月9日，的累计下载量已超110000000次，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 长沙某天最高气温，最低气温，则温差为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. a+a=2a B. a6÷a3=a2 C. D. (a-b)2=a2-b2 5. 我校某班8名同学参加数学知识竞赛，得分情况统计如下：6，5，5，7，6，6，9，8，则他们得分情况的中位数和众数是（ ） A. 6.5，6 B. 6.5，5 C. 6，6 D. 6，5 6. 已知点是点关于x轴对称对称点，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=130°，则∠D的度数是（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 8. 如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（ ） A. 3 B. 8 C. 2 D. 9. 若点在直线上，下列说法不正确的是(　　) A. 函数y随x的增大而减小 B. 图象与x轴的交点是(4，0) C. 点一定不在第三象限 D. 当x＞2时，y＞2 10. 如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，轴，若点的坐标为，，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 7 D. -7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 12. 湖南自古以来就有尊师重教、崇智尚学的优良传统，从湖南众多的书院就可窥见一二．小明了解书院的历史后，准备从岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）这四个书院中随机抽取两个书院向同学们分享其历史和成就，恰好选到岳麓书院和渌江书院的概率为______． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________ ． 14. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 15. 如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 16. 河内塔问题是一个古老的益智游戏，游戏的规则是每次只能移动1个珠子，大珠子不能放在小珠子上面，现在借助②号杆，把①号杆上的三颗珠子移到③号杆，而不改变珠子的上下顺序，最少移动 _____次． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 梅溪湖城市岛如图，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，城市岛“星空”于每周五和周六晚进行播放，包含“地球家园”、“仰望星空”、“湖湘文脉”、“家国一心”等主题，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小雅同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图，她先在离地面高（即）矩形平台上的点处用测角仪测得观景台顶部的仰角为，然后前进到处，测得观景台顶部的仰角为．根据以上测量数据求城市岛的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 20. 学校开通了线上教育学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 等级 频率 人数 A 6 B 12 b C c D 8 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次调查随机抽取了________名学生；表中________，________； （2）请补全条形统计图； （3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是_________； （4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？ 21. 如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． （1）每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ （2）根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 23. 如图，中，分别以，为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于，两点，过，作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 24. 定义：一个点的横坐标的平方与常数t的和等于纵坐标，则称该点为“t阶平方点”． （1）下列函数存在“0阶平方点”的是 ． ①； ②； ③； （2）若一次函数上有且仅有一个“t阶平方点”，且该“t阶平方点”关于的对称点也是“t阶平方点”，求n的值． （3）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，其中，点C是横坐标为0“t阶平方点”，且，F为y轴上一点，直线，上的另外一个“t阶平方点”分别为点D，E，若同时满足下列两个条件： ①， ②四边形菱形； 设该菱形的面积为m，且当时，函数的最大值等于，求t的值． 25. 如图，四边形内接于，对角线，相交于点． （1）若，，． ①判断的形状，并说明理由； ②求四边形面积． （2）如图，点是中点，点是线段上一点，且，点是弦上一点，且，令，，，试用含，，式子表示的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $