特训03 一元二次方程应用题分类通关专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训03 一元二次方程应用题分类通关专练 【特训过关】 一、增长率问题 1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：已知商品原价为每件36元，平均每次降价的百分率为x． 第一次降价后，商品价格为元； 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后，商品价格为元． 又因为经过连续两次降价后，售价为每件25元， 所以可列方程为． 故选：A． 2．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为x， ∴第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 3．某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份的总收入为：，三月份的总收入为：， 根据题意得：． 故选：D． 4．某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是 ． 【答案】． 【解答】解：设平均每年增加的百分率都为x，根据题意得， ， 故答案为：． 5．温州大力推进“以旧换新”政策，某店月销售额从一月份的2.8万元增长到三月份的4万元．设这两个月的月销额平均增长率为x，根据题意可列出方程： ． 【答案】． 【解答】解：设这两个月的月销额平均增长率为x， 由题意得，， 故答案为：． 6．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份扩大生产，共生产机器240台，设二、三月份的平均增长率为x，则可列方程： ． 【答案】． 【解答】解：设二、三月份的平均增长率为x ，依题意，一月份产量为100台，二月份产量为台，三月份产量为台， ， 故答案为：． 7．随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为2.5万辆，第三季度的销量为3.025万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 【答案】10%． 【解答】解：设平均季度增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为10%． 二、握手、循环赛问题 8．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 9．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（    ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【答案】A． 【解答】解：设有x人，根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的有5人， 故选：A． 10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，设参加酒会的人数为x，则可列方程为 ． 【答案】． 【解答】由题知，． 故答案为：． 11．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队． 【解答】解：设本次联赛共有x支球队， 由题意得， ， ∴， ∴，（舍去）， 答：本次联赛共有16支球队． 12．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手___________次； （3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． （4）拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点O引出m条射线（不含，边），角的总数为20个，求m的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】（1）3；（2）；（3）参加聚会的人数为10人；（4）见解析． 【解答】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点O引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点O引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点O引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点O引出m条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 三、传播问题 13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可得： ． 故选：C． 14．有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（    ）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 【答案】C． 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 则第三轮传染后有（人）； 故选：C ． 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（    ） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D． 【解答】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：，（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 16．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 【答案】9． 【解答】解：设这个微信群共有x人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：9． 17．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 【答案】6． 【解答】解：根据题意得：，即， 解得：或（舍去） 即一个人每节课手把手教会了6名同学， 故答案为：6． 18．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 【答案】19． 【解答】解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 故答案为：19． 19．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12． 【解答】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 20．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）这个短信要求收到短信的人必须转发给10人；（2）从小王开始计算，三轮后会有1111人有此 短信． 【解答】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给10人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有1111人有此短信． 21．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． （1）每轮平均1个人会感染几人？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染8个人；（2）患病的人数会超过700人． 【解答】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）三轮感染后，患病的人数为（人） ∵， ∴患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人． 22．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 四、几何问题 23．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为5cm的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为3xcm，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：通过题意易知，矩形的面积， 又∵矩形的周围是5cm的边框， ∴整个海报的长为，宽为，面积为， 又∵边框面积矩形图案面积， ∴边框面积， ∴海报面积图案面积边框面积， 即． 故选：D． 24．如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：由题可得：可列方程为． 故选：A． 25．如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为xm，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽为x米，可列方程为：， 故选：B． 26．如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1． 【解答】解：设小道进出口的宽度为xm， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为1m． 故答案为：1． 27．如图，某农家乐老板计划在一块长130m，宽60m的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 m． 【答案】5． 【解答】解：设垂钓通道的宽度为xm，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为5m， 故答案为：5． 28．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． （1）求y与x，S与x的函数关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 【答案】（1），；（2）不能，理由见解析． 【解答】（1）∵篱笆长80m， ∴， ∴， ∴， 由解得， ∴， ∴矩形面积，． （2）不能，理由如下： 令，即， 整理得， 此时， ∴一元二次方程没有实数根， ∴围成的矩形花圃面积不能为840． 五、数字问题 29．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D． 【解答】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 解得：， 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为 因此，这两个奇数的和为或28， 故选：D． 30．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（    ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A． 【解答】解：由题意，设这个数为x， ∴， ， ， ∴， 故选：． 31．已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【答案】． 【解答】解：设其中一个奇数为x，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是143， 可得：， 故答案为：； 32．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 【答案】5． 【解答】解：设其中一个正数为x，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． 33．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为425，则这个最小数为 ． 【答案】17． 【解答】解：设这个最小数为x，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：，（舍去）， 故答案为：17． 34．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【答案】36． 【解答】解：设个位数字为x，则十位数字是． 根据题意可得：，     整理得：， ， 解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为36． 六、工程问题 35．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产个，B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值． 【答案】（1）B生产线至少加工6小时；（2）a的值为2． 【解答】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：B生产线至少加工6小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：a的值为2． 36．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】（1）A型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）m的值为10． 【解答】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴m的值为10． 答：m的值为10． 37．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元． （1）分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本； （2）实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成1米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求a的值． 【答案】（1）甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元；（2） a的值为12． 【解答】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， 答：甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成1米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成1米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成1米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，最终每天实际总成本比计划多万元，则最终每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴a的值为12． 答：a的值为12． 38．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求m的值． 【答案】（1）甲最多施工900米；（2）m的值为2． 【解答】（1）解：设甲施工x米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：m的值为2． 七、行程问题 39．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 40．甲，乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A．2，6 B．12，16 C．16，20 D．20，24 【答案】C． 【解答】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验为分式方程的解，且符合题意， ∴， 则甲、乙两人骑车的速度分别为16，20千米/时， 故选：C． 41．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】（1）第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为2.5千米/小时；（2）小明从山路登山 直至山顶共用60分钟． 【解答】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为2.5千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 42．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． （1）求小美每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】（1）小美每分钟跑360米；（2）小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【解答】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 43．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求m的值． 【答案】（1）甲开车的平均速度是50千米小时，步行的平均速度是2千米小时；（2）m的值为4． 【解答】（1）设甲步行的平均速度是x千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是50千米小时，步行的平均速度是2千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为（小时），则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米/小时，乙步行的速度为千米/小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：m的值为4． 八、销售问题 44．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 45．在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 46．暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价 ． 【答案】80． 【解答】解：设每件文化衫应定价为x元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的2倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为80元， 故答案为：80． 47．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【答案】15． 【解答】解：设每个口风琴的定价应该是x元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：15． 48．某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． （1）经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 【答案】（1）该服装销售量的月平均增长率为25%；（2）商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350 元的利润． 【解答】（1）解：设该服装销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该服装销售量的月平均增长率为25%． （2）设商家将服装每件降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元， 由题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润． 49．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为30%；（2）每个玩偶降价2元． 【解答】（1）解：设日平均增长率为x，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）解：设每个玩偶降价y元，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 50．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉 祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时 尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】（1）A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元；（2）售价应降低20元． 【解答】（1）解：设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低20元． 九、动态几何问题 51．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻t，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，P、Q间的距离等于？ 【答案】（1）当时，为等腰三角形；（2）不存在，理由见解析；（3）时，P、Q间的距 离等于． 【解答】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ∴， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ∵， ∴方程无实根， ∴不存在某时刻t，使线段恰好把的面积平分； （3）∵，， ∴， ∴， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，P、Q间的距离等于． 52．如图，中，，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts． （1）根据题意知：___________cm，___________ cm；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当时，的面积等于四边形的面积的； （3）不可以，理由见解析． 【解答】（1）解：根据路程=速度×时间得： ，， 则 故答案为：，； （2）解：∵的面积等于四边形的面积的 ∴的面积等于的面积的 ∴ 即 解得： 即当时，的面积等于四边形的面积的； （3）解：不可以，理由如下： 若，由勾股定理得： 整理得： ∵ ∴原方程无解，的长不可以是4cm． 53．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t秒，请解决下列问题： （1）若点P在边上，当t为何值时，为直角三角形？ （2）是否存在这样的t值，使的面积为？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当或时为直角三角形；（2）存在这样的t值，使的面积为， 且或． 【解答】（1）解：若点P在边上，，，， ∵，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，，， 过点P作于点M， ∵， ∴， ∴（）， ∴， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的t值，使的面积为，且或． 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 一元二次方程应用题分类通关专练 【特训过关】 一、增长率问题 1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 2．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 3．某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（    ） A． B． C． D． 4．某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是 ． 5．温州大力推进“以旧换新”政策，某店月销售额从一月份的2.8万元增长到三月份的4万元．设这两个月的月销额平均增长率为x，根据题意可列出方程： ． 6．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份扩大生产，共生产机器240台，设二、三月份的平均增长率为x，则可列方程： ． 7．随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为2.5万辆，第三季度的销量为3.025万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 二、握手、循环赛问题 8．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（    ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，设参加酒会的人数为x，则可列方程为 ． 11．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 12．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手___________次； （3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． （4）拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点O引出m条射线（不含，边），角的总数为20个，求m的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 三、传播问题 13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 14．有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（    ）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（    ） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 16．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 17．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 18．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 19．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 20．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 21．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． （1）每轮平均1个人会感染几人？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 22．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 四、几何问题 23．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为5cm的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为3xcm，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 25．如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为xm，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 27．如图，某农家乐老板计划在一块长130m，宽60m的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 m． 28．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． （1）求y与x，S与x的函数关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 五、数字问题 29．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 30．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（    ） A．1 B． C． D．或1 31．已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 32．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 33．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为425，则这个最小数为 ． 34．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 六、工程问题 35．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产个，B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值． 36．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 37．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元． （1）分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本； （2）实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成1米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求a的值． 38．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求m的值． 七、行程问题 39．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 40．甲，乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A．2，6 B．12，16 C．16，20 D．20，24 41．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 42．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． （1）求小美每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 43．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求m的值． 八、销售问题 44．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 45．在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 46．暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价 ． 47．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 48．某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． （1）经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 49．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 50．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉 祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时 尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 九、动态几何问题 51．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻t，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，P、Q间的距离等于？ 52．如图，中，，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts． （1）根据题意知：___________cm，___________ cm；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 53．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t秒，请解决下列问题： （1）若点P在边上，当t为何值时，为直角三角形？ （2）是否存在这样的t值，使的面积为？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$