第1章三角形 自主学习综合练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《第1章三角形》自主学习综合练习题（附答案） 一、选择题（共18分） 1．下列图案属于轴对称图形的是（　　） A．B．C．D． 2．根据下列条件能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝1，BC＝2，CA＝3 B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30° C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70° 3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（　　） A．16 B．20 C．16或20 D．12 4．如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD是（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 5．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题（共24分） 7．如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝5cm，CD＝3.5cm，则四边形ABCD的周长为　 　cm． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝　 　． 9．在直角三角形中，斜边长为10cm，则斜边上的中线长为　 　． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝66°，D，E分别为AB，BC上一点，AF∥DE，若∠BDE＝30°，则∠FAC的度数为　 　． 11．如图，点O是AB，AC垂直平分线DO，EO的交点．若∠DOE＝110°，∠OCA＝40°，则∠OCB＝　 　°． 12．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE＝　 　°． 13．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠C＝44°，D为BC边上一点．将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点E处．当BD最短时，∠ABE＝　 　°． 14．在△ABC中，∠B＝30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD＝BD，DE＝CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为　 　°． 三、解答题（共78分） 15．请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC． （要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，求∠EDF的度数． 17．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 18．已知：如图，D是△ABC边BC上一点，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于F，且EF平分∠AEB，∠B＝∠EAC．求证： （1）ED＝EA； （2）AD是△ABC的角平分线． 19．陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 20．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，△DEF是底角为36°的等腰三角形，BC＝DE． 求证：AB＝EF． 21．如图，在中，，．    (1)求的长； (2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 22．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 参考答案 一、选择题（共18分） 1．解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形； B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形； C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形； D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形． 故选：A． 2．解：当AB＝1，BC＝2，CA＝3时，1+2＝3，则线段AB、BC、CA不能构成三角形，故选项A不符合题意； 当AB＝7，BC＝5，∠A＝30°时，可以得到点B到AC的距离为3.5，可以画出两个三角形，如图1所示，故选项B不符合题意； 当∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°时，可以画出很多的三角形ABC，如图2所示，故选项C不符合题意； 当AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°时，可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意； 故选：D． 3．解：若4为腰，则三角形三边为：4，4，8， ∵4+4＝8， ∴4，4，8不能构成三角形， 故舍去， 若8为腰，则三角形三边为：4，8，8， ∵4+8＞8 ∴4，8，8能构成三角形， ∴三角形的周长＝4+8+8＝20， 故选：B． 4．解：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF＝5cm， ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2（cm）． 故选：A． 5．解：如图所示： ， 共5种， 故选：C． 6．解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，（此时PA＝PB）； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，（此时AB＝AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1（此时BP＝BA）． 故符合条件的点有6个． 故选：C． 二、填空题（共24分） 7．解：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴， ∴AB＝BC＝5cm，AD＝DC＝3.5cm， ∴四边形ABCD的周长为：2×（5+3.5）＝17（cm）． 故答案为：17． 8．解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 9．解：∵直角三角形斜边长为10cm， ∴斜边上的中线长为5cm． 故答案为：5cm． 10．解：∵AB＝AC，∠B＝66°， ∴∠C＝66°， ∴∠BAC＝48°， ∵AF∥DE，∠BDE＝30°， ∴∠BAF＝∠BDE＝30°， ∠FAC＝18°， 故答案为：18°． 11．解：连接BO，∵点O是AB，AC垂直平分线DO，EO的交点， ∴∠ODA＝∠OEA＝90°，OA＝OC＝OB， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∠OBC＝∠OCB，∠OBA＝∠OAB， ∵∠ODA+∠OEA+∠BAC+∠DOE＝360°， ∴∠BAC＝70°， ∴∠OBA＝∠OAB＝70°﹣40°＝30°， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝110°， ∵∠OBC＝∠OCB＝[∠ABC+∠ACB﹣（∠OBA+∠OCA）]＝[110°﹣（40°+30°）]＝20°， 故答案为：20． 12．解：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABM＝∠EBM， ∵AE⊥BD， ∴∠BMA＝∠BME＝90°， ∵∠ABC＝30°，∠C＝38°， ∴∠BAC＝112°， 在△BMA和△BME中， ， ∴△BMA≌△BME （ASA）． ∴BA＝BE， 在△ABD和△BDE中， ， ∴△BDA≌△BDE （SAS）， ∴∠BED＝∠BAD＝112°， ∴∠CED＝180°﹣112°＝68°， ∴∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝74°， 故答案为：74°． 13．解：如图，∵将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边上的E处， ∴BD＝DE， ∴当DE⊥AC时，DE最小，即BD最短， ∴∠CDE＝90°﹣∠C＝90°﹣44°＝46°， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB＝23°， ∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣66°﹣44°＝70°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBE＝70°﹣23°＝47°， 故答案为：47． 14．解：如图所示，∵AD＝BD，∠B＝30°， ∴∠ADC＝60°， ∵DE＝CE， ∴可设∠C＝∠EDC＝α，则∠ADE＝60°﹣α，∠AED＝2α， 根据三角形内角和定理可得，∠DAE＝120°﹣α， 分三种情况： ①当AE＝AD时，有60°﹣α＝2α， 解得α＝20°； ②当DA＝DE时，有120°﹣α＝2α， 解得α＝40°； ③当EA＝ED时，有120°﹣α＝60°﹣α，方程无解， 综上所述，∠C的度数为20°或40°， 故答案为：20或40． 三、解答题（共78分） 15．解：如图所示： 16．解：∵AB＝AC，∠A＝48°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣48°）÷2＝66°． 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）． ∴∠FEC＝∠BDE， ∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC ＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B＝66°． ∵△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝FE． ∴△DEF是等腰三角形． ∴∠EDF＝（180°﹣66°）÷2＝57°． 17．解：如图，四边形MNQP为所作． 18．证明：（1）∵EF平分∠AEB， ∴∠AEF＝∠DEF， ∵EF⊥AD， ∴∠AFE＝∠DFE＝90°， 在△AEF和△DEF中， ， ∴△AEF≌△DEF（ASA）， ∴EA＝ED； （2）∵△AEF≌△DEF， ∴∠ADE＝∠DAE， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠DAC+∠EAC， ∴∠B+∠BAD＝∠DAC+∠EAC， ∵∠B＝∠EAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴AD是△ABC的角平分线． 19．解：小淇同学作法正确． 理由如下：连接OB． ∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B， ∴OA＝OC＝OB． ∴∠CAB＝∠ABO，∠ACB＝∠CBO， 又∵∠CAB+∠ABO+∠ACB+∠CBO＝180°， ∴∠ABO+∠CBO＝90°． ∴∠ABC＝90°， 即AB⊥l． 20．证明：如图，作BH平分∠ABC交AC于点H， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵BH平分∠ABC， ∴∠ABH＝∠A＝36°， ∴∠BHC＝∠ACB＝72°， ∴BC＝BH＝DE，且∠A＝∠E＝36°，∠ABH＝∠F＝36°， 在△HAB和△DEF中， ， ∴△HAB≌△DEF（AAS）， ∴EF＝AB； 21．（1）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，    由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴三点共线， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$