第11讲 等边三角形 （知识点+题型+分层强化）（讲义）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第11讲 等边三角形 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.等边三角形的性质 2.等边三角形的判定 3.含30°角的直角三角形的性质 题型巩固 一、等边三角形的性质 二、等边三角形的判定 三、等边三角形的判定和性质 四、含30度角的直角三角形 五、最短路径问题 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（7） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 知识点2.等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2可以是顶角，也可以是底角 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 2. 判定等边三角形的思维导图(如图15.3-25) 知识点3.含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图15.3-28，在Rt△ABC 中， ∵∠ C=90 °，∠ A=30 °， ∴ BC= AB. 2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 题型巩固 题型一、等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，，是的平分线，则 ． 【答案】5 【知识点】三线合一、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边中，， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，是的中点，于点，求的长． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．根据等边三角形的性质得到的长，又由，可求得，则可求得的长，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 是AC的中点， ， ， ， ． 题型二、等边三角形的判定 4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形    ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形    ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判断即可． 【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确； 一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误； 有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确； 一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确； 有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确． 综上，正确的有，共个． 故选：C． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型三、等边三角形的判定和性质 7．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且，若的长度为，则此时两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得到结论． 本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，某客机从A地起飞，飞行到达地，再飞行到达地，已知，则A地与地的距离为 ． 【答案】1000 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形，熟练掌握等边三角形的判定和性质，是解题的关键． 根据，，判定是等边三角形，得． 【详解】解：连接， 由题意知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴A地与地的距离为． 故答案为1000． 题型四、含30度角的直角三角形 9．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，是电杆的一根拉线，测得，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式及含30度的直角三角形的性质． 求出，从而利用含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为 米． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为18米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为18米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：6． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，然后根据含角的直角三角形的性质依次求出，即可． 【详解】解：在中，，， ，    12．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，是等边三角形，，，垂足分别为D、E，、相交于点O，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）证明，，即可解决问题． （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所，再根据直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形，，， ∴，，， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，，， ∴、分别是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，在直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半，做题的关键是掌握在直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 题型五、最短路径问题 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 14．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，等边三角形的边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是 ．    【答案】 【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了轴对称称最短路线问题，等边三角形的性质“三线合一”，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值，从而找出其最小值求解． 【详解】∵是等边三角形，是边的中线， ∴垂直平分， ∴点C与点关于对称，连接交于，则此时，的值最小，且等于的长， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：．    15．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．分别做出点关于的对称点，根据两点之间线段最短画图即可． 【详解】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 分层强化 一、单选题 1．如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 2．如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质．先利用线段垂直平分线的性质可得：，利用直角三角形的两个锐角互余可得：，再从而得，在中利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 4．如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 当添加时， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 故选：D． 5．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 7．如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，基本作图． 根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质及中点的定义得到，，，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 二、填空题 10．在中，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 证明是等边三角形，则，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 是等边三角形， ， 的周长为， 故答案为：9． 11．在直角三角形中，如果一个锐角为，而斜边与较小直角边的和为，那么斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，设较小的直角边是，则根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得到斜边是，根据题意得，然后即可求出斜边．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质． 【详解】解：设较小的直角边是，则斜边是， 根据题意得：， 解得：， ∴，即斜边长为． 故答案为：． 12．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）． ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 的周长的最小值为， 故答案为：10． 14．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或． 15．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图所示，在等边三角形中，D为边的中点，E为边延长线上一点，，垂足为点F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（填序号） ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，首先证明，可知①②③正确，再证明，可得④正确，证明，可得⑤正确． 【详解】解：如图，是等边三角形，， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ， ，故②正确，， ，故③正确， ， ， ， ， ，故④正确， ， ， ， ， ，故⑤正确 综上所述正确的有：①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 三、解答题 17．如图：，试说明是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定、三角形外角的性质，先求出，得出，结合，即可证明结论． 【详解】解：， ， ， 又， 是等边三角形． 18．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】证明：， 又， 是等边三角形． 19．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 20．如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题关键，连结，过点D作交于点M，再作交于点N．结合等边三角形性质证明，得出，进一步证明，即可得出结论． 【详解】证明：连结，过点D作交于点M，再作交于点N． 是等边三角形，D为的中点， 是的平分线，， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ． 在与中， ， ， ． 21．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角．与有什么数量关系？ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的对边是斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质求得，在中，，可得． 【详解】解：∵且， ∴， ∵，， ∴在中，． 22．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限． (1)画出关于轴对称的图形； (2)在y轴上找一点P，使的周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了轴对称图形，最短路径问题等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作点关于轴对称的对应点，依次连接，则即为所求； （2）作点关于轴对称的对应点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，点即为所求， 23．已知为等边三角形，点D，E分别在边上，且，，相交于点F． (1)在图1中，全等三角形有____对，请选择其中一对全等三角形进行证明； (2)如图2，过点C作，垂足为点G，求证：； (3)如图3，若点H在线段上，且，连接交于点M，连接，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法即可求证； （）由，得，则，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求证； （）延长至点，使得， 连接，则为等边三角形，证明，得，，然后再证明，最后根据角所对直角边是斜边的一半即可求证； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：选； ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴； 选， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由： 延长至点，使得，连接， 由（）得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 24．已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①13；②不变，；③ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等边三角形 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.等边三角形的性质 2.等边三角形的判定 3.含30°角的直角三角形的性质 题型巩固 一、等边三角形的性质 二、等边三角形的判定 三、等边三角形的判定和性质 四、含30度角的直角三角形 五、最短路径问题 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（7） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 知识点2.等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2可以是顶角，也可以是底角 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 2. 判定等边三角形的思维导图(如图15.3-25) 知识点3.含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图15.3-28，在Rt△ABC 中， ∵∠ C=90 °，∠ A=30 °， ∴ BC= AB. 2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 题型巩固 题型一、等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，，是的平分线，则 ． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，是的中点，于点，求的长． 题型二、等边三角形的判定 4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形    ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形    ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 题型三、等边三角形的判定和性质 7．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且，若的长度为，则此时两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，某客机从A地起飞，飞行到达地，再飞行到达地，已知，则A地与地的距离为 ． 题型四、含30度角的直角三角形 9．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，是电杆的一根拉线，测得，，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为 米． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 12．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，是等边三角形，，，垂足分别为D、E，、相交于点O，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 题型五、最短路径问题 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，等边三角形的边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是 ．    15．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 分层强化 一、单选题 1．如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 5．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 7．如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 二、填空题 10．在中，，则的周长为 ． 11．在直角三角形中，如果一个锐角为，而斜边与较小直角边的和为，那么斜边长为 ． 12．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 13．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 14．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 15．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 16．如图所示，在等边三角形中，D为边的中点，E为边延长线上一点，，垂足为点F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（填序号） ． 三、解答题 17．如图：，试说明是等边三角形． 18．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 19．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 20．如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：． 21．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角．与有什么数量关系？ 22．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限． (1)画出关于轴对称的图形； (2)在y轴上找一点P，使的周长最小． 23．已知为等边三角形，点D，E分别在边上，且，，相交于点F． (1)在图1中，全等三角形有____对，请选择其中一对全等三角形进行证明； (2)如图2，过点C作，垂足为点G，求证：； (3)如图3，若点H在线段上，且，连接交于点M，连接，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 24．已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$