精品解析：2025年青海省西宁市虎台中学中考数学三模试卷　

2025年青海省西宁市虎台中学中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 11 4. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植300株花，由于志愿者的加入，每小时比原计划多种50株，结果提前0.5小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意，可列方程（ ） A B. C. D. 6. 如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ） A. △AOB是等边三角形 B. PE=PF C. △PAE≌△PBF D. 四边形OAPB是菱形 7. 如图和都是边长为等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 8. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 9. 某新型感冒病毒的直径约为米，用科学记数法表示为______． 10. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，小文同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，则点A绕O点转过的度数为________． 11. 从，0，，，3.5这五个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率为__________． 12. 第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有_________家． 13. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 14. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图，在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房AB，小王同学在小楼房楼底B处测得建筑物的顶部C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得建筑物的顶部C处的仰角为（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则该建筑物CD的高为______（参考数据：，，）． 15. （折叠问题）将一张长方形纸折成如图所示图形．E恰好是的中点，三角形的面积是3平方厘米，三角形的面积是9平方厘米．那么三角形的面积是________平方厘米． 16. 定义一种新运算，，，则______． 17. 矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 18 先化简再求值：，其中x满足 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算、解方程： （1） （2）解方程： 20. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 22. 为响应国家“发展新一代人工智能”号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 23. 如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）求证：． （3）若，，求的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上点E处． （1）求抛物线解析式； （2）连接BE，求的面积； （3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青海省西宁市虎台中学中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据实数在数轴上的对应点的位置即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据实数在数轴上的对应点的位置可知，， ∴选项符合题意， 故选：． 2. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体左视图是： 故选：． 3. 若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4， 即2<a<10， 即符合的整数a的值是5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 4. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 设点的坐标为，则，，从而可得，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为，则， 轴，交反比例函数的图象于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：D． 5. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植300株花，由于志愿者的加入，每小时比原计划多种50株，结果提前0.5小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原计划每小时种x株，则实际每小时种株，根据前1小时完成任务．列出分式方程即可． 本题考查从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：设原计划每小时种x株， 根据题意得，． 故选：D． 6. 如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ） A. △AOB是等边三角形 B. PE=PF C. △PAE≌△PBF D. 四边形OAPB是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D． 【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意； 由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意； 由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意； ∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定． 7. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 8. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 某新型感冒病毒的直径约为米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解： 故答案为：． 10. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，小文同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，则点A绕O点转过的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．设旋转的角度是，根据当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为， 又滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 11. 从，0，，，3.5这五个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】∵，是无理数， ∴从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键． 12. 第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有_________家． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义、根与系数的关系是解题关键． 先根据一元二次方程根的定义可得：，代入可得，根与系数的关系可得，再代入求值即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，则， ∴ ∵，为是一元二次方程的根， 根据根与系数的关系可得：， ∴， 故答案为：． 14. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图，在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房AB，小王同学在小楼房楼底B处测得建筑物的顶部C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得建筑物的顶部C处的仰角为（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则该建筑物CD的高为______（参考数据：，，）． 【答案】36米 【解析】 【分析】过点A作，垂足为E，根据题意可得：米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为E， 由题意得：米，， 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 该建筑物的高约为36米， 故答案为：36米． 15. （折叠问题）将一张长方形纸折成如图所示图形．E恰好是的中点，三角形的面积是3平方厘米，三角形的面积是9平方厘米．那么三角形的面积是________平方厘米． 【答案】12 【解析】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，根据题意得出，再由折叠的性质求解即可． 【详解】解：∵E恰好是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 16. 定义一种新运算，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，分式混合运算，正确理解实数m，n定义的新运算是解决问题的关键． 先根据新定义的运算，将转化成，再根据分式混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 17. 矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可． 【详解】解：∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90°， 分两种情况： 当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示： ∵∠BAD=90°， ∴PE==5； 当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示： ∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP=； 综上，等腰三角形AEP的底边长是或 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 18. 先化简再求值：，其中x满足 【答案】；2. 【解析】 【分析】先把括号里式子通分，然后把能分解因式的分解因式，除法转换成乘法计算即可，注意计算结果要化简成最简分式或整式.然后根据给出的方程求值即可. 【详解】原式= = = ==. 由，移项得到：， 即原式==2． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算、解方程： （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程—因式分解法、零指数幂、二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 ， ， 则或， 所以， 20. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）正方形；理由见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【小问1详解】 解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． 【小问2详解】 解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 【答案】（1）240，35 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考音了统计图． （1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次抽取的游客总人数为(人)， ， 故答案为：240，35； 【小问2详解】 “甜皮鸭”对应的人数为(人)， 补全图形如下： 【小问3详解】 假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”， 画树状图如图所示， 共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2， ∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是． 22. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【答案】（1）6，3 （2） （3）17秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据时间路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． 【小问2详解】 解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 23. 如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，，再进一步可得结论； （3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案； 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； 【小问2详解】 证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意； 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． （1）求抛物线解析式； （2）连接BE，求的面积； （3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合运用待定系数法求解即可； （2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答； （3）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． 【小问1详解】 解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处 ∴ 把A，E两点坐标代入得，解得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与y轴交于点B ∴令时， ∴ 设直线AB的解析式为 把A，B两点坐标代入得解得 ∴直线AB的解析式为； ∴点C在直线AB上轴于点 当时 ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴的面积是2． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴ 在中 ∴是等腰直角三角形 ∵点P在抛物线上 ∴设点P的坐标为 ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M 在中∵∴ 即解得（舍去） 当时 ∴ ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N 在中 ∴ ∴ ∴解得（舍去） 当时 ∴ 综上，符合条件的P点坐标是或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 25. 综合与实践 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）  【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，证明，从而有，，，由，即，故，再利用等腰三角形性质和三角形外角的性质可知； （3）连接、作交于点F，如图3所示，因为为的直径，，可得，，由平分，可得，，，又，可得，进而，导角证明，即得，故． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ． （2）证明：在上截取，如图2所示， 平分， ∴， 在和中， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 连接、作交于点F，如图3所示， 为的直径，， ，， ， 平分， ，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理及圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $