2025-2026学年北师大版八年级数学上册全册同步课时教学设计

北师大版八年级数学上册同步课时教学设计 目录 学科网（北京）股份有限公司 第一章　勾股定理1 1　探索勾股定理2 　第1课时　探索勾股定理2 　第2课时　验证勾股定理及其简单应用4 2　一定是直角三角形吗6 3　勾股定理的应用8 ☆问题解决策略:反思10 第二章　实数12 1　认识实数13 　　第1课时　无限不循环小数13 　　第2课时　实数15 2　平方根与立方根17 　　第1课时　算术平方根17 　　第2课时　平方根19 　　第3课时　立方根21 　　第4课时　估算23 3　二次根式25 　第1课时　二次根式与二次根式的乘除 运算25 　第2课时　最简二次根式与二次根式的 加减运算27 　第3课时　二次根式的混合运算29 第三章　位置与坐标31 1　确定位置32 2　平面直角坐标系34 　第1课时 平面直角坐标系的有关概念34 　第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征36 　第3课时 建立适当的平面直角坐标系 描述图形的位置38 3　轴对称与坐标变化40 第四章　一次函数42 1　函数43 2　认识一次函数45 　第1课时“均匀”变化的量45 　第2课时 一次函数与正比例函数的 概念47 　第3课时　借助一次函数表达式解决实际问题49 3　一次函数的图象51 　第1课时　正比例函数的图象与性质51 　第2课时　一次函数的图象与性质53 4　一次函数的应用55 　第1课时　确定一次函数的表达式55 　第2课时　借助单个一次函数图象解决 实际问题57 　第3课时　借助两个一次函数图象解决 实际问题59 第五章　二元一次方程组61 1　认识二元一次方程组62 2　二元一次方程组的解法64 　　第1课时　代入消元法64 　　第2课时　加减消元法66 3　二元一次方程组的应用68 　　第1课时　和差倍分问题68 　　第2课时　借助表格解决实际问题70第3课时　借助图形、图示解决实际 问题72 4　二元一次方程与一次函数74 　　第1课时　二元一次方程与一次函数的关系74 　　第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式76 *5　三元一次方程组78 ☆问题解决策略:逐步确定80 第六章　数据的分析82 1　平均数与方差83 　　第1课时　平均数与众数83 　　第2课时　加权平均数86 　　第3课时　方差88 　　第4课时　组内离差平方和90 2　中位数与箱线图93 　　第1课时　中位数93 　　第2课时　箱线图95 3　哪个团队收益大98 第七章　证明100 1　为什么要证明101 2　认识证明103 　　第1课时　定义与命题103 　　第2课时　定理与证明105 3　平行线的证明107 　　第1课时　平行线的判定107 　　第2课时　平行线的性质109 第一章　勾股定理 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识。 3.经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图,发展几何直观和空间观念。 4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。 勾股定理是数学中非常重要的一个定理,它在几何领域起着基石的作用。从初中数学知识体系来看,它连接了三角形的边长关系与直角三角形的特殊性质,为后续学习三角函数、解直角三角形等内容奠定基础。同时,在实际生活中的测量、建筑设计、工程计算等诸多领域都有广泛应用,体现了数学与生活的紧密联系,凸显了数学的实用性。本章设计了以下3节内容:第1节“探索勾股定理”,验证并应用勾股定理;第2节“一定是直角三角形吗”,探索勾股定理的逆定理;第3节“勾股定理的应用”,在实际应用中巩固勾股定理及其逆定理。在每节的编写中,按照“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开,首先通过具体问题情境引入研究的必要性,接着设计探究活动获得有关结论,然后运用探究得到的结论解决具体问题。 1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系,进一步发展空间观念和推理能力。 2.掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。 3.通过实例了解勾股定理的历史与应用,体会勾股定理的文化价值。 重点:掌握勾股定理及其逆定理,理解勾股定理的面积验证。 难点:应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 课标摘录 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.探索勾股定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。 素养目标 1.通过测量和数格子的方法,理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系,增强应用意识。 2.通过对勾股定理的理解,会初步运用勾股定理进行简单的计算,体会数形结合和由特殊到一般的思想方法。 教学重难点 重点:掌握勾股定理,并能用它解决一些简单的实际问题。 难点:勾股定理的探索过程。 教学策略 针对八年级学生的知识结构和心理特征,教师应立足于学生已有的生活经验和操作经验创造适当的问题情境,呈现出勾股定理的探索过程,对于可能出现的情况有一定的预见能力,发挥引导作用。 情境导入 图11 如图11所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系。事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧! 新知初探 探究一　勾股定理的初步认识 活动1:思考·交流 (1)在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三条边长度的平方之间有怎样的关系。(与同伴交流) (2)如图所示,方格纸中每个小方格的边长为1,直角三角形三条边长度的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?与同伴交流。 学生活动:借助方格纸数正方形的面积进行验证。 可能存在的问题:正方形C的面积不能通过直接数得到,教师可通过课件展示,进行引导。学生可能用到的方法不同,教师给予肯定。 可能用到的求正方形C的面积的不同方法: 发现结论:以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积。 教师追问:一般的直角三角形是否也具有该性质呢? 观察: 　填表: 项目 A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积) 左图 右图 分析:根据表中数据,你发现了什么? (3)如果直角三角形的两直角边的长度分别为1.6和2.4,那么上面所猜想的数量关系还成立吗?(与同伴交流) 通过探索,学生发现:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 教师总结:通过上面的活动,同学们一定已经发现:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦。因此,人们把上面的结论称为勾股定理。 归纳总结: 勾股定理:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么a2+b2=c2。 活动2:尝试·思考 在图11的问题中,需要多长的钢索? 意图说明 测量和数格子等方法是本节课的教学难点,需要调动全体同学的积极性,留给学生充足的时间探究,同时借助多媒体动态演示,使学生感受勾股定理形成的过程,获得掌握知识的成就感,这对于学生良好思维品质的形成有重要作用。 探究二　初步运用勾股定理求直角三角形的边长 活动3: 如图所示,一高为5 m的竹竿,靠在高为4 m的墙上,这时竹竿底部与墙的距离是多少? 解:在Rt△ABC中,根据勾股定理, 得BC2=AB2-AC2=52-42=9, 所以BC=3。 所以竹竿底部与墙的距离是3 m。 意图说明 加强对新知的理解,培养学生灵活应用所学知识解决数学问题的能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 探索勾股定理 1.探索发现:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2 教学反思 第2课时　验证勾股定理及其简单应用 课标摘录 验证勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。 素养目标 1.掌握勾股定理及其验证方法,并能应用勾股定理解决一些实际问题。 2.经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。 3.在勾股定理的验证过程中,培养探究能力和合作精神;通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题,培养应用数学的意识。 教学重难点 重点:运用割补、拼图的方法证明勾股定理。 难点:灵活应用勾股定理解决实际问题。 教学策略 在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流等方式,让学生思考问题、获取知识、掌握方法,培养学生动手、动口、动脑的能力,使学生真正成为学习的主体。 情境导入 教师:上一节课,我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图所示,分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的? 学生活动:思考·交流。 教师:对于一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?这需要进一步验证,事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也来验证勾股定理。 新知初探 探究一　验证勾股定理 活动1:计算上图中大正方形的面积 教师导入,小组拼图。 教师:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形。 学生动手环节:请每位同学用2 min时间独立拼图,然后再4人一组进行讨论。 学生通过自主探究、小组讨论,可能得到如图(1),图(2)所示的两个图形。 活动2:层层设问,完成验证。 教师提问: (1)如图(1)所示,你能表示大正方形的面积吗?有不同的方法吗?(学生先独立思考,再4人小组交流); (2)你能由此得到勾股定理吗?为什么? (在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2,并得到a2+b2=c2) 活动3:学生自主探究,利用图(2)验证勾股定理。 教师小结:我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,联系整式运算的有关知识,从理论上验证了勾股定理,你还能利用图(2)验证勾股定理吗? 意图说明 通过学生自己动手操作,让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时又培养学生的动手能力和创新能力,让学生体会数形结合的思想,加强学生的动手、动脑能力。 探究二　勾股定理的应用 例题 在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s,测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗? 解:根据题意,可以画出如图所示的大致图形,其中点A表示王叔叔所在位置,点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400 m,因此∠C是直角。由勾股定理,可得AB2=BC2+AC2, 也就是5002=BC2+4002。所以BC=300。 蓝方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 s行驶的距离为300÷10=30(m),即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s。 意图说明 通过验证勾股定理和初步运用勾股定理解决实际问题,强化应用意识,在应用中体会勾股定理的价值。 探究三　拓展应用 在前面已经讨论了直角三角形三边长满足的关系,那么锐角三角形或钝角三角形的三边长是否也满足这一关系呢? 教师展示课件。 问题:观察图片,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。 让学生尝试利用上面的方法借助方格纸进行推导,教师引导。 学生经过推导后可请一位同学展示自己的结论。 结论1:若钝角三角形中较长边长度为c,较短边长度为a,b,则 a2+b2<c2。 结论2:若锐角三角形中较长边长度为c,较短边长度为a,b,则 a2+b2>c2。 意图说明 给出问题,激发学生思考,并讨论交流。引导学生从数学现象背后发现数学规律,为后面学生独立解题打下一定的基础。通过讨论交流,学生将对直角三角形三边之间的关系有进一步认识,并为后续直角三角形的判定打下基础。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 验证勾股定理及其简单应用 教学反思 2　一定是直角三角形吗 课标摘录 探索勾股定理的逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。 素养目标 1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念。 2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形。 3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力、归纳能力。 教学重难点 重点:经历勾股定理的逆定理的探索过程,进一步发展推理能力。 难点:利用勾股定理的逆定理解决实际问题。 教学策略 教师引导与学生动手操作相结合,学生通过实验—猜想—归纳—论证的过程加深对定理的理解。在突破重难点时让学生亲自动手画三角形,并且让他们用量角器量角的度数,通过自己的活动来得到勾股定理的逆定理,加深印象,提高兴趣。 情境导入 教师提问:古埃及人曾用有13个等距的结的绳子得到了直角,同学们,你们知道古埃及人是用什么方法得到直角的吗? 拿出准备好的绳子,每个小组1根,动手操作并交流讨论。 新知初探 探究一　探究勾股定理的逆定理 活动1:下面的每组数分别是一个三角形的三条边的长度a,b,c:①3,4,5;②5,12,13;③8,15,17;④7,24,25。 问题1:这四组数都满足a2+b2=c2吗? 学生认真计算,也可借助计算器辅助计算。 答案预设:①②③④都满足a2+b2=c2; 问题2:分别以每组数为三条边的长度画出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? 学生分小组讨论,每个小组可以任选其中的一组数。 学生充分讨论后,汇总各小组实验结果如下: ①3,4,5可以构成直角三角形;②5,12,13可以构成直角三角形;③8,15,17可以构成直角三角形;④7,24,25可以构成直角三角形。 猜想:如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 提问:利用量角器测量结果可能有误差,有没有更有说服力的理由? 答案预设: 理由一:锐角三角形和钝角三角形中,任意两边的平方和都不等于第三边的平方。因此,以3,4,5为边长的三角形不是锐角三角形和钝角三角形,一定是直角三角形。(其他同理) 理由二:以3和4为邻边构造三角形,观察随着夹角的增大,第三边的变化趋势。 随着夹角增大,第三边的长度也越来越大,根据勾股定理,夹角是直角时,第三边长度是5,夹角不是直角时,第三边长度肯定不是5,因此,边长为3,4,5的三角形一定是直角三角形。(其他同理) 明确猜想,引出勾股数的定义。 归纳总结: (1)勾股定理的逆定理:如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 (2)勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。 追问: (1)同学们还能找出哪些勾股数呢? (2)今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢? (3)到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢? (4)通过合作探究,你能总结出一个数学结论的发现要经历哪些过程吗? 意图说明 探索勾股定理的逆定理的过程让学生经历科学探索的一般方法:“实验—猜想—论证”,从特殊到一般再回到特殊,积累数学基本活动经验,通过几何画板直观感受,再到推理求证引导学生条理化,规范学生书写几何推理的正确格式,体会数学和其他学科最大的区别就是通过严格的逻辑推理证明得到的结论。 探究二　勾股定理逆定理的应用 活动2: 图(1)　　　　　　　图(2) 一个零件的形状如图(1)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图(2)所示,这个零件符合要求吗? 解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以△ABD是直角三角形,∠A是直角。 在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角。 因此,这个零件符合要求。 意图说明 初步运用勾股定理的逆定理解决实际问题,强化应用意识,巩固直角三角形的判定方法,规范解题步骤。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 一定是直角三角形吗 教学反思 3　勾股定理的应用 课标摘录 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。 素养目标 1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题,进一步发展应用意识. 2.能熟练运用勾股定理求最短距离。 3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法。 教学重难点 重点:利用勾股定理解决简单的实际问题。 难点:从实际问题中合理抽象出数学模型。 教学策略 通过演示,引导学生观察、联想、分析,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程。切实体现学生的主体地位,让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳等理解定理,提高学生的分析问题和解决问题的能力。 情境导入 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔测得边AD长30 cm,边AB长40 cm,点B,D之间的距离是50 cm。边AD垂直于边AB吗? (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? 方法总结:判断线段的垂直关系时,一般是把线段放到三角形中,利用勾股定理的逆定理证得直角三角形,进而得到线段的垂直关系. 新知初探 探究一　折叠问题 活动1: 如图所示,正方形纸片ABCD的边长为8 cm,点E是边AD的中点,将这个正方形纸片翻折,使点C落在点E处,折痕交边AB于点G,交边CD于点F,你能求出DF的长吗? 学生活动:利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合,标出对应的数据,小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。 解:因为正方形ABCD的边长为8 cm, 所以AD=CD=8 cm。 因为点E是边AD的中点, 所以DE=4 cm。设DF=x cm,则FC=(8-x)cm。 由折叠知,EF=FC=(8-x)cm, 在Rt△DEF中,根据勾股定理,得DE2+DF2=EF2, 所以42+x2=(8-x)2, 解得x=3。 故DF的长为3 cm。 意图说明 利用方程将几何与代数联系起来,将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起,从而加深学生的印象。 探究二　应用勾股定理解决实际问题 活动2:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意:如图所示,有一个水池,水面是一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解:设水池的深度OA为x尺,则芦苇的长度OB为(x+1)尺。由于芦苇位于水池中央,所以AC为5尺。 在Rt△OAC中。 由勾股定理,得AC2+OA2=OC2, 即52+x2=(x+1)2, 解得x=12。12+1=13。 因此,水池的深度是12尺,芦苇的长度是13尺。 意图说明 考查学生对生活知识的积累,进一步感受勾股定理与生活的联系,增强应用意识。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 勾股定理的应用 教学反思 ☆问题解决策略:反思 课标摘录 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识。 3.经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图,发展几何直观和空间观念。 素养目标 1.能熟练运用勾股定理求最短距离。 2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 3.培养空间想象力,并增强数学知识的应用意识。 教学重难点 重点:能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 难点:把立体图形转化成平面图形;在实际问题中构造直角三角形并利用代数解法来解决问题。 教学策略 根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时,在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念,给学生创设丰富的实际问题情境,使教学活动充满趣味性和吸引力,让他们在自主探究、合作交流中分析问题,建立数学模型,利用勾股定理及其逆定理解决问题。在教学过程中,采用一题多变的形式拓宽学生视野,训练学生思维的灵活性,渗透化归的思想以及分类讨论思想、建模思想等,使学生在获得知识的同时提高能力。 情境导入 看图片,引出问题:有一块长方形绿地,绿地周边是小路,在绿地旁边的B处有健身器材。居住在A处的个别居民在看到牌子上“禁止踩踏花草,文明步行”后,为了走近路仍然会直接从A处走到B处。各位同学,你知道他们为什么不走绿地周边的路吗? 新知初探 探究　问题解决策略:反思 问题:如图所示,一个圆柱的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm。在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 活动1:理解问题 (1)在这个问题中,已知条件有哪些?你认为已知条件足够解决这个问题吗? (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些?什么情况下路线最短?请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 学生活动:学生讨论,交流,寻找解决问题的途径,并得出正确结论。 活动2:拟订计划 (1)以前研究过最短路线问题吗?这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同? (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题?各个点的位置如何确定? 师生活动:给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨。 活动3:实施计划 (1)如图所示,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状,以及与圆柱的对应关系。 (2)在图中标出点B的位置。 (3)在图中确定A,B两点之间最短的路线,并计算它的长度。 学生活动:小组合作探究。 师生合作探究: (1)用做好的圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线。你觉得哪条路线最短呢? (2)如图所示,将圆柱侧面剪开,展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗? 教师总结:将圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长边的中点位置。 根据两点间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线。 如图所示,依题意,在Rt△ABC中,∠C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12(cm), 根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225。 解得AB=15 cm。 所以,蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。 小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线。 活动4:回顾反思 (1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中,你获得了哪些经验?与同伴进行交流。 (2)在这个问题中,影响结果的量有哪些?如果改变有关的量,你还能求解吗?例如,改变圆柱的形状,改变A,B两点的位置,改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题?选择部分问题进行研究,并与同伴进行交流。 (3)解决这个问题的经验,还可以运用到哪些问题中?例如,能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题? (4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离?举几个实例,并思考解决问题的方案。 (5)对于解决问题之后的回顾反思,你有哪些体会?与同伴进行交流。 归纳总结: 解决问题之后的反思,一般可以关注以下几个方面:反思解决问题的过程,强化解决问题的经验;比较解决问题的方法,形成多样的解决问题的方法;思考方法的本质,促进方法的运用;改变问题的条件,研究更多的问题。 意图说明 (1)通过自主学习,培养学生自主探究学习的能力。 (2)问题具体化,让学生亲历知识生成的过程,明确本节的重点,突破难点。 (3)问题的层次化引导了学生数学模型的建立。 (4)通过反思培养学生的语言表达能力、归纳总结能力等。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 问题解决策略:反思 1.情境导入　　　2.问题解答　　　3.归纳总结 教学反思 第二章　实数 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根,会用计算器计算平方根和立方根。 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 4.了解近似数,在解决实际问题时,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。 5.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。 从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础。因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要。学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要。本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性。本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入—无理数的表示—实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终。 1.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。 2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力。 3.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力。 4.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值。 重点:实数的概念与分类,平方根与立方根的定义、性质及运算,实数的基本运算。 难点:无理数概念的抽象理解,运算顺序的准确把握,以及数形结合思想在解决实数问题中的应用。 1　认识实数 第1课时　无限不循环小数 课标摘录 1.了解无理数和实数,感悟数的扩充。 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 素养目标 1.经历无限不循环小数的发现过程,感受认识无理数的必要性。 2.经历探索与思考,会判断一个数是不是有理数。 3.通过举例、作图等活动,能准确、严谨地表达自己的想法,描述实际背景中存在的无理数。 教学重难点 重点:1.会判断一个数是不是有理数。 2.感受生活中存在着大量不是有理数的数,并能举例。 难点:推理验证“a2=2时,a不是有理数”。 教学策略 通过引入生活实例,使学生能够直观地理解实数与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣和动力,提高他们的学习积极性。在讲授新知过程中,采用启发式教学方法,引导学生主动发现数系扩充的必要性,培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。组织学生进行小组合作讨论,鼓励他们分享自己的想法和经验,培养学生的团队合作意识和沟通能力,提高他们的学习效果。在教学评价方面,采用多元化评价方式,既关注学生的知识掌握程度,也注重培养他们的数学情感、态度和价值观,帮助学生全面发展。 情境导入 小红是一名八年级的学生,一个周末的上午,当工程师的爸爸给小红出了一道数学题:一个边长为6 cm的正方形木板,按如图所示的痕迹锯掉四个一样的直角三角形。请计算剩下的正方形木板的面积。剩下的正方形木板的边长又是多少?你见过这个数吗?你能帮小红解决这个问题吗? 新知初探 探究一　a是有理数吗 活动1:由于换了新桌子,原来边长为1的小正方形桌布不够用了,请你剪一剪、拼一拼,将两块边长为1的小正方形桌布拼成一块大正方形桌布。 请同学们合作讨论下列问题: (1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件? (2)a可能是整数吗?说说你的理由。 (3)a可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴进行交流。 学生活动:(1)动手用两张正方形纸块剪一剪、拼一拼; (2)展示多种剪拼法,比较它们的异同,发现不管怎么拼,拼成的大正方形的面积总是2; (3)通过思考“若用a表示大正方形的边长,a满足什么条件?”再次得到a2=2,感受像a这样的数在生活中真实存在。 小结:事实上,满足等式a2=2的a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数。 意图说明 (1)通过探究实践性问题——将小正方形桌布拼成大正方形桌布,一方面渗透勤俭节约的生活习惯,让学生感受数学来源于生活,感受身边的无理数;另一方面提升学生的动手能力、合作能力和表达能力。 (2)通过探究a不是有理数的过程,让学生感受数学推理的方法,激发学生思考,提升学生推理能力和数学语言的表达能力,感受分类讨论的数学思想和从特殊到一般的数学方法。 探究二　生活中还有哪些数不是有理数 活动2:如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? 请同学们合作讨论下列问题: (1)设该正方形的边长为b,b满足什么条件? (2)b是有理数吗? 小结:在上面的两个问题中,数a,b确实存在,但都不是有理数。 意图说明 加深学生对不是有理数的数的认识与理解,充分体会实际背景中这类数的广泛性,感悟数的扩充,并增强应用意识,建立与实际问题的联系,培养学生数学的眼光,提高他们的思维与表达能力。 探究三　无限不循环小数 活动3:面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? (1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由。 (2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索。 (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢? 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.988 1<S<2.016 4 1.414<a<1.415 1.999 396<S<2.002 225 1.414 2<a<1.414 3 1.999 961 64<S<2.000 244 49 问题1:a的范围在哪两个数之间?左栏的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长? 小结:a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数。 问题2:如果写成小数形式,a是有限小数吗? 小结:事实上,a=1.414 213 56…,它是一个无限不循环小数。 意图说明 通过对无限不循环小数的探索,更深入地体会不是有理数的数的真实性与广泛性。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 无限不循环小数 1.a是有理数吗　　　　　　　　　　　　　2.生活中还有哪些数不是有理数 3.无限不循环小数 教学反思 第2课时　实数 课标摘录 1.初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系,能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数、绝对值。 2.能利用数轴上的点表示一些具体的实数,能比较实数的大小。 素养目标 1.掌握无理数的概念。 2.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类。 3.通过类比有理数的学习经验,探索实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。 4.了解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合思想。 教学重难点 重点:1.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类。 2.求实数范围内的相反数、倒数、绝对值。 难点:会在数轴上表示实数。 教学策略 实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩充,在教学中注意运用类比方法,使学生明确新旧知识之间的联系,如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立,并通过例题和习题来巩固,适当加深对它们的认识。 情境导入 数学家哈代在《一个数学家的辩白》中提到:当埃斯库罗斯(古希腊诗人)被人们遗忘了,阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡,而数学思想却不会。数的发展与人类的发展密不可分。在生活中,有理数够用吗?答案是不够的,熟知勾股定理的毕达哥拉斯学派信徒希伯索斯发现,如边长为1的正方形的对角线的长,无论如何都无法用整数或整数之比来表示,希伯索斯的这一发现,导致了第一次数学危机的产生。这个无法用整数或整数之比来表示的数就是我们最近学习的无理数。 新知初探 探究一　认识实数 活动1:把下列各数表示成小数,你发现了什么? 3,,,-,。 解:3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0.。 分数化成小数,最终此小数的表达形式有哪几种? 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。 像0.585 885 888 588 885…,1.414 213 56…,-2.236 067 9…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数。我们把无限不循环小数称为无理数。(圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)。 小结:有理数与无理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数。 (2)所有的有理数都能化成分数(整数可以看成分母为1的分数),无理数不能化成分数。(形似分数,但它不是分数,是无理数) 活动2:下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数? 3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 解:有理数有3.14,-,0.; 无理数有0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 小结:有理数和无理数统称实数,即实数可以分为有理数和无理数。 活动3:无理数和有理数一样,也有正负之分吗? (1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合　负数集合 (2)还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗? 思考: (1)在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗?你还知道哪些? (2)有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用吗? 小结: (1)a是一个实数,它的相反数为-a,绝对值为|a|。 (2)如果a≠0,那么它的倒数为。 意图说明 通过问题的引导,让学生归纳出无理数和实数的概念,学生再次体验用类比思想对实数进行分类,培养大胆猜想的意识。也为下节课的学习埋下伏笔,激起学生的求知欲和好奇心。 探究二　在数轴上表示实数 活动4:课本第25页讨论的两个正方形,边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5。 (1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应a,b中的哪个数? (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?与同伴进行交流。 (3)如果将所有实数都标到数轴上,那么数轴能被填满了吗? 小结:每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说,实数和数轴上的点是一一对应的。 意图说明 通过正方形、长方形,化无形为有形,用现有的无理数让学生明白数轴上不仅可以表示有理数,还可以表示无理数。并且实物操作也可降低这部分难度,让学生在动手中从形象思维比较自然地上升到抽象的数学模型。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 实数 1.无理数　　　　　　　　　　　2.实数 3.实数的分类 4.在数轴上表示实数 教学反思 2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 课标摘录 了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根。 素养目标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根。 2.根据算术平方根的概念,会求非负数的算术平方根。 3.了解算术平方根的性质。 教学重难点 重点:算术平方根的概念和求法。 难点:1.对算术平方根概念中被开方数非负性的理解。 2.能运用算术平方根解决实际问题及相关综合计算。 教学策略 通过创设问题情境,引导学生回顾已学知识,自主探究算术平方根的概念,在小组合作交流中深化对概念的理解和应用,教师进行详细讲解和示范,帮助学生掌握算术平方根的求法,最后借助练习巩固所学知识,提高学生的解题能力和数学思维能力。 情境导入 学校要举行美术作品比赛,小明很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?你能帮小明算一算吗? 新知初探 探究一　算术平方根的概念和性质 活动1:请大家根据勾股定理,结合图形完成填空: x2=　　　,y2=　　　,z2=　　　,w2=　　　。  思考:x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?你能表示它们吗? 活动2:填表 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 1 4 0.25 讨论:你能从表中发现什么共同点吗? 已知一个正数,求这个正数的平方,这是平方运算。 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 1 2 0.6 7 讨论:你能从表中发现什么共同点吗? 已知一个正数的平方,求这个正数。 两表中的两种运算有什么关系?小组讨论,分享结果。 归纳总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”。 特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0。 思考:怎么用符号来表示一个数的算术平方根? 问题1:一个正数的算术平方根有几个? 答:一个正数的算术平方根有1个。 问题2:0的算术平方根有几个? 答:0的算术平方根有1个,是0。 问题3:-1有算术平方根吗?负数有算术平方根吗? 答:没有;负数没有算术平方根。 活动3:求下列各数的算术平方根 (1)900;　(2)1;　(3);　(4)14。 解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30。 (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1。 (3)因为2=,所以的算术平方根是,即=。 (4)14的算术平方根是。 思考:(1)在上面的习题中,一些数的算术平方根的结果没有“”了,这些数有什么特点? (2)在上面的习题中,=30,也就是=30。一般地,当a≥0时,=a成立吗? (3)()2=a成立吗?这里的a是什么数?你是怎样理解的?与同伴进行交流。 小结:当a≥0时,=a,()2=a;当a<0时,=-a。 意图说明 通过多个具体实例,引导学生从特殊到一般,归纳总结出算术平方根的概念,培养学生的抽象概括能力。让学生在思考和回答问题的过程中,更好地理解算术平方根的概念的形成过程。 探究二　算术平方根的应用 活动4:由静止自由下落的物体下落的距离s(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系为s=4.9t2。有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落,到达地面需要多长时间? 解:将s=19.6代入公式s=4.9t2, 得t2=4,所以t==2。 因此,铁球到达地面需要2 s。 小结: 算术平方根的双重非负性: (1)被开方数a≥0;(2)a的算术平方根≥0。 也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根,即当a<0时,无意义。 意图说明 通过具体的实例,让学生感受算术平方根的实际应用,加深对所学知识的理解。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 算术平方根 1.算术平方根的概念　　2.算术平方根的性质 3.算术平方根的应用 教学反思 第2课时　平方根 课标摘录 1.了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根。 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。 素养目标 1.理解平方根的概念,掌握平方根与算术平方根的区别与联系,能准确求出一个数的平方根。 2.理解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求平方根,培养学生的逆向思维能力。 教学重难点 重点:平方根的概念及求法。 难点:区分平方根与算术平方根的概念。 教学策略 利用现代化的教学工具,将抽象的数学概念转化为直观、形象的视觉展示,让学生更容易理解和接受。在讲解平方根时,可以在数轴上清晰地标示出数的平方和开平方的过程,让学生直观地看到一个数在平方和开平方过程中的位置变化。同时,借助多媒体动画,动态展示一个数的平方以及求其平方根的全过程,比如从3的平方得到9,再从9求其平方根得到±3,这种直观的动态演示,能够让学生更深刻地理解平方根的概念和特点。 温故知新 1.什么叫算术平方根?怎样表示? 2.我们已经学习过哪些运算?它们中互为逆运算的是什么? 3.求下列各式的值: (1)36的算术平方根是　　　;(2)17的算术平方根是　　　;  (3)的算术平方根是　　　;(4)的算术平方根是　　　。  新知初探 探究一　平方根的概念及性质 活动1:填一填 (1)3的平方等于9,那么9的算术平方根就是　　　;  (2)的平方等于,那么的算术平方根就是　　　;  (3)展厅地面为正方形,其面积为49 m2,则边长为　　　m。  问题:平方等于9,,49的数还有吗?分别是什么? 活动2:填一填 (　　　)2=9;(　　　)2=;(　　　)2=49。  问题:上述都是形如x2=a的式子,x的取值范围是什么?类比算术平方根的概念,你能得到新的概念吗? 算术平方根的定义:一般地,如果一个　正数x　的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,即x=。  类比可得,平方根的定义:　。  活动3:尝试·思考 (1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么? (3)的平方根是什么?(4)-4有没有平方根?为什么? 通过对这些题目的解答,你能得出什么结论? 思考:(1)一个正数有几个平方根?(2)0有几个平方根?(3)负数呢? 归纳总结: 平方根的性质: (1)一个正数有　两　个平方根,两个平方根　互为相反数　,其中　正的平方根　为算术平方根。  (2)0的平方根是　0　。  (3)负数　没有　平方根。  意图说明 从具体问题引出平方根的概念,让学生更容易理解。通过提问,引导学生运用定义求一个数的平方根,加深对概念的理解。同时,强调平方根的性质,为后续的学习和计算奠定基础。 探究二　开平方及其运算 活动4:已知一个数,求它的平方的运算,叫作平方运算。反之,已知一个数的平方,求这个数的运算叫什么? 答:求一个数a的平方根的运算,叫作开平方,a叫作被开方数。平方与开平方互为逆运算。 活动5:求下列各数的平方根 (1)64;　(2);　(3)0.000 4;　(4)(-25)2;　(5)11。 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8。 (2)因为±2=,所以的平方根是±,即±=±。 (3)(±0.02)2=0.000 4,所以0.000 4的平方根是±0.02,即±=±0.02。 (4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25。 (5)11的平方根是±。 活动6:求下列各式的值 (1);(2)-;(3)。 解:(1)==15。 (2)-=-=-。 (3)=8。 意图说明 通过对具体习题的讲解,让学生掌握求平方根的方法和书写规范。活动5着重练习求一个数的平方根的基本方法,活动6则进一步强化对平方根符号表示的理解和运用,培养学生的运算能力和严谨的数学态度。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 平方根 1.平方根的概念　　　　　　　　　　　　　　　2.平方根的性质 3.习题讲解　　　　　　　　　　　　　　　　　4.归纳总结 教学反思 第3课时　立方根 课标摘录 1.了解立方根的概念,会用根号表示数的立方根。 2.了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根。 素养目标 1.理解立方根的概念和性质,并会用根号表示一个数的立方根。 2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算。 3.能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想。 教学重难点 重点:立方根的概念及应用。 难点:用类比方法探究立方根的定义,用类比的数学思想化未知为已知解决问题。 教学策略 1.情境引入法:通过创设实际问题情境,通过求一个三阶魔方每个小正方体的棱长,引出立方根概念,激发学生的学习兴趣和求知欲。 2.类比教学法:类比平方根的概念、性质和运算,引导学生探究立方根,让学生在已有知识基础上构建新知识体系,加深对知识的理解和记忆。 3.小组合作探究法:组织学生分组讨论立方根与平方根的异同点,鼓励学生在交流合作中发现问题、解决问题,培养团队协作能力和自主探究能力。 情境导入 如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm3,那么每个小立方块的棱长是多少? 新知初探 探究一　立方根的定义及性质 活动1: (1)怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数? ①(　　　)3=0.001;　②(　　　)3=-;　③(　　　)3=0。 (2) 一个正方体的体积是8 cm3,那么它的棱长a是多少呢?如果正方体的体积是9 cm3,如何去表示它的棱长呢? 立方根定义:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根)。如2是8的立方根,-是-的立方根,0是0的立方根。 活动2: (1)填空: 因为(　　)3=64,所以(　　)是64的立方根。 因为(　　)3=-27,所以(　　)是-27的立方根。 因为x3=2,所以x是　　　的立方根。  因为a3=5,所以a是　　　的立方根。  (2)思考:正数有几个立方根?0有几个立方根?负数有几个立方根? 归纳总结:立方根的性质 (1)正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。 (2)每个数a都有一个立方根,记作 ,读作“三次根号a”。求一个数a的立方根的运算叫作开立方,a叫作被开方数。 意图说明 通过两组计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方,与求一个数的立方根互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0的设计,在此过程中渗透分类讨论的思想方法,体现了立方运算与立方根运算的互逆性。 探究二　例题讲解 例1 求下列各数的立方根: (1)-27;　(2);　(3)0.216;　(4)-5。 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3。 (2)因为3=,所以的立方根是,即=。 (3)因为(0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6。 (4)-5的立方根是。 例2 求下列各式的值: (1);　(2);　(3)-;　(4)。 解:(1)==-2。 (2)==0.4。 (3)-=-=-。 (4)()3=9。 意图说明 例1 着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法。例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质,通过对例题的讲解,加强对立方根的理解及掌握。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 立方根 1.立方根的定义　　　　　　　　　　　　　　　　　2.立方根的性质 3.例题讲解 教学反思 第4课时　估算 课标摘录 1.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 2.了解近似数,在解决实际问题时,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。 素养目标 1.会用平方法估算一个无理数的大致范围;会比较两个无理数的大小;会利用估算解决一些简单的实际问题。 2.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程,培养学生学习数学的主动性,体会数学知识的实用价值,激发学生的学习热情。 3.会用计算器估算无理数。 教学重难点 重点:掌握估算的方法,提高学生的估算能力。 难点:通过估算比较两个无理数的大小。 教学策略 本节课的教学中选取了“新建环保主题公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来。在探究估算方法的时候,教师要注重适时的引导,以免让学生无从下手。在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”。 情境导入 某地开辟了一块长方形的荒地,新建了一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400 000 m2, (1)公园的宽大约是多少?它有1 000 m吗? (2)如果要求结果精确到10 m,它的宽大约是多少?与同伴进行交流。 (3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 m2,你能估计它的半径吗(结果精确到1 m)? 新知初探 探究一　估算无理数的大小 活动1:教师提出问题,先让学生思考,然后共同探究并总结。 (1)下列计算结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流。 ≈0.66;　≈96;　≈60.4。 (2)你能估算的大小吗(结果精确到1)? (3)宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”。你能比较与的大小吗?你是怎么想的? 解:(1)因为0.662=0.435 6,0.652=0.422 5,0.662更靠近0.43,所以≈0.66是正确的。 因为963=884 736>900,所以≈96是错误的。 因为60.42=3 648.16>2 536,所以≈60.4是错误的。 (2)因为93=729,103=1 000,所以9<<10。 因为结果精确到1,要看十分位的数字,所以继续利用立方法进行估算。9.13=753.571,9.23=778.688,9.33=804.357,9.43=830.584,9.53=857.375,9.63=884.736,9.73=912.673, 所以9.6<<9.7。 所以根据四舍五入法,得≈10。 (3)因为5>4,即()2>22, 所以>2。 所以-1>1。 所以>。 活动2: 生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定。如图所示,现有一架长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗? 解:设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m,此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+×62=62, 即x2=32,x=。 因为5.62=31.36<32,所以>5.6。 因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。 意图说明 通过实际例子让学生进一步感受现实生活中的估算,感受估算的广泛性;让学生利用前面所学的知识综合解决问题。 探究二　用计算器估算无理数 活动3:尝试·思考 (1)观察你的计算器面板,对于开方运算,可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到 0.000 1):①;②。 (2)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加,你发现了什么?改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似的规律。 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流。 (3)任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么? 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流。 意图说明 熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能,并在探求数学规律的活动中,发展推理能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 估算 1.估算　　　　　　　　　　　　　　2.估算无理数的大小 3.用计算器估算无理数 教学反思 3　二次根式 第1课时　二次根式与二次根式的乘除运算 课标摘录 1.了解二次根式的概念及性质。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)乘除运算法则,会用它们进行简单的乘除运算。 素养目标 1.了解二次根式和二次根式的乘除运算法则。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)乘除运算法则,会用它们进行简单的乘除运算。 教学重难点 重点:掌握二次根式的乘法法则和除法法则。 难点:利用二次根式的乘法法则和除法法则进行乘除运算。 教学策略 依据学生的年龄特点和已有知识间的纵向联系,拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程,培养学习数学的思维方法,同时赋予一定的练习讲解。 情境导入 填空: (1)若一个正方形面积为2 m2,则边长为　　　m;若面积为S m2,则边长为　　　m;  (2)若一个长方形长是宽的2倍,面积为6 m2,则它的宽为　　　m;  (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h=5 t2,如果h=25,那么t为　　　。  新知初探 探究一　二次根式的概念及性质 活动1:上面问题中,得到的结果分别是,,,。 问题1:这些式子分别具有什么意义? 问题2:这些式子有什么共同特征? 学生活动:小组合作交流。 教师总结:可以发现,我们在前面都已学习过这些式子,它们的共同特征是:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数。 注意: (1)a可以是实数,也可以是代数式; (2)它具有双重的非负性; (3)形式上必须含有二次根号; (4)它既可以表示开方运算,也可以表示运算结果。 二次根式有些什么性质呢?让我们一起来探索吧。 活动2:计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律? (1)×=　　　,=　　　;  ×=　　　,=　　　;  =　　　,=　　　;  =　　　,=　　　。  (2)用计算器计算: ×=　　　,=　　　;=　　　,=　　　。  问题1:观察上面的结果你可得出什么结论? 问题2:从你上面得出的结论,发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗? 问题3:其中的字母a,b有限制条件吗? 归纳总结:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0)。 说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不应忽略。 意图说明 从特殊到一般,让学生经历探索、发现规律的过程,感受规律带给他们运算的便利。通过师生合作探究,引导学生思考问题的方向。 探究二　例题讲解 例1 计算: (1)×;(2)。 解:(1)×　===2。　(2)====3。 例2 计算: (1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3); (5)(-)×;(6)。 解:(1)3×2 =3×2×× =3×2× =6。　　　　　　(2)×-5 =-5 =6-5 =1。　　　　　　　(3)(+1)2 =()2+2+12 =5+2+1 =6+2。 (4)(+3)(-3) =()2-32 =13-9 =4。 (5)-× =×-× =- =6-1 =5。 (6) =+ =+ =2+3 =5。 意图说明 通过例题的讲解和练习,让学生熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行乘除运算,逐步掌握运算技能。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 二次根式与二次根式的乘除运算 1.二次根式的定义　　　　　　　　　　2.二次根式的乘除法则 3.例题讲解 教学反思 第2课时　最简二次根式与二次根式的加减运算 课标摘录 1.了解最简二次根式的概念。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加减运算法则,会用它们进行简单的加减运算。 素养目标 1.理解最简二次根式的概念,能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式。 2.掌握二次根式加减法的运算法则,能够熟练进行二次根式的加减运算。 3.通过对最简二次根式和二次根式加减的学习,培养学生的观察、分析、归纳和运算能力。 教学重难点 重点:最简二次根式的概念及判断方法,二次根式加减法的运算法则及应用。 难点:准确判断一个二次根式是否为最简二次根式,理解并正确运用二次根式加减法的运算法则。 教学策略 在概念教学上,通过对比分析,将最简二次根式与非最简二次根式放在一起对比。比如和,详细分析可化为2的过程,让学生明确最简二次根式被开方数不含开得尽方的因数或因式这一关键特征。在加减运算法则的教学上,把二次根式的加减与整式的加减进行类比,向学生说明整式加减是合并同类项,二次根式加减是把化简后被开方数相同的二次根式进行合并。 情境导入 如图所示,两个正方形的边长分别是多少?这两个数之间有什么关系?你能借助什么运算法则或者运算律解释它? 新知初探 探究一　最简二次根式 活动1: 上节课我们学习了公式:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),我们把第一个公式等号左右两边互换,那么可得=·(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0)。 活动2:化简 (1);　(2);　(3); 解:(1)=×=9×8=72。 (2)=×=5。 (3)==。 如果一个二次根式符合下列条件:被开方数不含能开得尽方的因数或因式;被开方数不含分母;分母中不含根号,这样的二次根式叫作最简二次根式。 活动3:化简 (1);(2);(3)。 解:(1)==×=5。 (2)===。 (3)===。 归纳总结: 如果一个二次根式符合下列条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含分母;分母中不含根号。这样的二次根式叫作最简二次根式。 意图说明 让学生经历探究、合作、交流,发现并归纳二次根式的性质,灵活运用二次根式的性质进行化简,并把结果化成最简二次根式,并加深理解。 探究二　二次根式的加减 活动4:计算 (1)+;　(2)-;　(3)+×。 解:(1)+=+=×+=4+=5。 (2)-=-=-=-=。 (3)(+)×=+=+=2+3=5。 小结: (1)以前学习的运算律、运算法则对二次根式同样适用,化简后被开方数相同时,可以进行合并; (2)同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫作同类二次根式。 判断同类二次根式的关键: (1)化成最简二次根式;(2)被开方数相同,根指数相同。 归纳总结: 二次根式的加减运算步骤:(1)将每个二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式。 意图说明 让学生感受到合并同类项与二次根式加减运算的联系与区别,归纳概括出二次根式加减运算的步骤。“一化简,二判断,三合并。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 最简二次根式与二次根式的加减运算 1.二次根式的性质　　　　　　　　2.最简二次根式 3.二次根式的加减 教学反思 第3课时　二次根式的混合运算 课标摘录 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。 素养目标 1.熟练掌握二次根式的四则运算。 2.灵活运用二次根式的四则运算解决问题。 3.增强学生的符号应用意识,培养学生合作交流、合情推理以及表达能力。 教学重难点 重点:理解并掌握二次根式的四则运算法则。 难点:能灵活运用二次根式的四则运算法则解决问题。 教学策略 本节课借助旧知,引导学生通过自主复习、类比学习、合作互助,探究出二次根式的四则运算法则。在运用中对法则再次适度延伸,便于学生融会贯通地用数学思维分析、解决实际问题。 情境导入 如果梯形的上、下底长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少? 解:2+4×× =×2+×4 =(2+6)(cm2)。 所以它的面积是(2+6)cm2。 新知初探 探究一　二次根式的四则运算 活动1:尝试·思考 (1)请你计算:+;-。 (2)小明是这样计算+的: +=+=+=。 问题:分子、分母同乘的目的是什么? (3)计算-,你有哪些方法? 活动2:计算 (1)-;(2)-+;(3)-÷;(4)+-。 解:(1)-=-=-=。 (2)-+=-+=3-2+=。 (3)-÷=÷-÷=-=- =-=2-=。 (4)+-=+-=+-3=-+。 活动3: 化简-×,其中a=28,b=7。你是如何做的?小组交流。 解:由题知,a>0,b>0。 -×=×-×=-=-=-b。 当a=28,b=7时,-b=-7=-14=-13。 意图说明 通过四则运算的练习,学生能熟练掌握二次根式的化简、合并同类二次根式等技能,深化对根式运算规则的理解,为后续学习更复杂的数学知识打下坚实基础。在进行二次根式四则运算时,学生需要运用逻辑思维,分析运算顺序、判断能否进行合并或化简等。这一过程锻炼了学生的推理能力、抽象思维能力和运算思维,让学生学会从具体的数字和符号中提炼出运算规律,培养严谨的数学思维习惯。 探究二　二次根式四则运算的应用 活动4:如图所示,方格纸中每个小方格的边长均为1,试求图中梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法?与同伴进行交流。 (1)直接求法。 解:过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE 都是某一个小直角三角形的斜边。 根据勾股定理可求得AB=5,CD=,DE=3, 梯形ABCD的面积是(5+)×3=18。 (2)间接求法。 解:将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个三角形的面积,得梯形ABCD的面积是5×7-×5×5-×4×2-×1×1=18。 意图说明 学生在学习二次根式四则运算后,通过实际应用练习,能进一步熟悉加、减、乘、除的运算规则。在解决实际面积计算问题时,会涉及二次根式与其他数学知识的融合,比如在利用勾股定理计算直角三角形边长(边长为二次根式形式),并求解相关面积、周长问题时,能加深学生对不同知识板块联系的理解,拓展数学知识体系。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 二次根式的混合运算 1.二次根式的化简　　　　　　　　　　　　2.二次根式的四则运算 3.习题讲解　　　　　　　　　　　　　　　4.二次根式四则运算的应用 教学反思 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第三章　位置与坐标 1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。 2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。 3.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形。 4.在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。 5.在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系。 本章内容在初中数学知识体系中起承上启下的作用。从纵向来看,它是在学生已初步了解简单的图形位置关系基础上,对确定位置方法的进一步深化与拓展;从横向来看,它与后续的函数、几何图形的变换等知识紧密相连,为学生理解函数图象的性质以及几何图形在坐标系中的运动变化奠定基础。通过学习这一章节,学生能够掌握用数学语言精确描述物体位置的方法,提升空间观念和数学应用能力,对后续数学学习和解决实际问题意义重大。 1.通过对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,进一步发展空间观念。 2.经历探索图形位置变化与图形坐标变化之间关系的过程,进一步发展数形结合意识和应用意识,初步建立几何直观。 3.认识并能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。 4.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置,体会可以用坐标刻画一个简单图形。 5.能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置。 6.在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系。 重点:平面直角坐标系相关概念,点的坐标确定与表示,坐标变化与图形变换规律。 难点:理解坐标变化和图形变换的内在联系,运用坐标知识解决复杂实际问题。 1　确定位置 课标摘录 1.在确定物体位置过程中,进一步发展空间观念,经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。 2.结合实例进一步体会用有序实数对可以表示物体的位置。 素养目标 1.在现实情境中感受确定物体位置的多种方式方法。 2.能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置。理解在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 3.进一步发展空间观念和数形结合的意识。 教学重难点 重点:在现实情境中感受确定物体位置的多种方式方法,并能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置。 难点:理解在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 教学策略 教法:通过适当的问题情境,启发学生联系生活实际,逐步引导他们理解平面内“确定物体位置”一般需要两个数据。 学法:通过小组合作探究,观察问题中的位置是如何确定的,它们有何共同点,总结归纳出用两个数据确定位置的不同表示法。 温故知新 1.在数轴上,如何确定一个点的位置呢? 2.小华母女俩周末去电影院看电影,买了两张票去观看,座位号分别是6排3座和3排6座。怎样才能既快又准地找到座位? 问题1:在电影票上,“3排6座”与“6排3座”中的“6”含义有什么不同? 问题2:如果将“6排3号”简记作(6,3),那么“3排6号”如何表示?(5,6)表示什么含义?(6,5)呢? 问题3:在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要几个数据? 3.小组合作探究,分享成果 教师总结:前一张电影票上的“6”表示座位号是6,后一张电影票上的“6”表示排号是6。电影票上有两种数据,分别是“排”与“座”,按合理的习惯,它们排列时有先后顺序,通常排号在前,座号在后,这样规定的排列顺序在确定位置时不容易产生失误。 新知初探 探究　确定位置的方法 活动1:思考·交流 (1)在电影院内,确定一个座位一般需要几个数据? (2)在生活中,确定物体的位置还有其他方法吗?与同伴进行交流。 活动2:我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练,红蓝双方的对阵情况如图所示(图中1 cm表示20 n mile)。对红方潜艇来说: (1)北偏东40°方向上有哪些目标?要想确定蓝方战舰B的位置,还需要什么数据? 解:对红方潜艇来说,北偏东40°方向上有两个目标,分别是蓝方战舰B和小岛;要想确定蓝方战舰B的位置,还需要知道蓝方战舰B与红方潜艇之间的距离。 (2)距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有哪几艘? 解:距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有两艘:蓝方战舰A和蓝方战舰C。 (3)要确定每艘蓝方战舰的位置,各需要几个数据? 解:要确定每艘蓝方战舰的位置,各需要两个数据:表示方向的角和距离。例如:对红方潜艇来说,蓝方战舰A在正南方向,距离为20 n mile处;蓝方战舰B在北偏东40°方向,距离为28 n mile处;蓝方战舰C在正东方向,距离为20 n mile处。 活动3:思考　在地球上如何确定城市的位置? 在地球上有横线和竖线,连接两极点的竖线叫经线,垂直于经线的横线圈为纬线。根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置。 活动4:尝试·思考 2020年7月23日,我国首次火星探测任务探测器“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空。中国文昌航天发射场位于东经110°、北纬19°左右。你能在地图上找到中国文昌航天发射场的大致位置吗?请试一试。 活动5:思考·交流 (1)你能举出生活中需要确定位置的例子吗?与同伴进行交流。 (2)在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据? 归纳总结: (1)在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 (2)确定位置的方法:①行列法;②表示方向的角和距离;③经纬度;④区域定位。 意图说明 通过情景模拟,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,让学生感受到数学就在自己身边,激发了学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观。同时在教师的层层设问中,让学生感觉到位置的确定需要两个数据,同时也培养学生用准确的语言的描述能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 确定位置 一、在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据 二、确定位置的方法 1.行列法　　　　　　　　　2.表示方向的角和距离 3.经纬度　　　　　　　 4.区域定位 教学反思 2　平面直角坐标系 第1课时　平面直角坐标系的有关概念 课标摘录 1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。 2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。 素养目标 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念。 2.认识并能画出平面直角坐标系。 3.能在给定的平面直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标,由坐标可以找到相应的点。 4.了解在平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点是一一对应的。 教学重难点 重点:在给定的平面直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标,由坐标可以找到相应的点。 难点:理解在平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点是一一对应的。 教学策略 学生已经学习了数轴,画平面直角坐标系时有一定的基础。在平面直角坐标系中描出已知坐标的点,或者读出已知点的坐标,学生对于这种类型掌握应该较好。但是对于平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点的一一对应关系,学生理解不好。针对以上问题解决的策略是应加强学生有效信息获取能力的培养,通过类比所举例子,进一步加深学生对一一对应的理解。 温故知新 问题1:什么是数轴?问题2:数轴的三要素是什么?问题3:数轴上点A和点B表示的数是多少?数轴上的点和实数有怎样的关系? 新知初探 探究一　平面直角坐标系 图(1) 活动1:认识平面直角坐标系 (1)图(1)呈现了北京市部分景点的大致位置,小亮和来访的朋友位于卢沟桥,小亮如何向来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢? (2)如图(2)所示,小亮在景点图上画上了方格,标上数字,并用(0,0)表示卢沟桥的位置,用(11,4)表示天安门广场的位置,那么北京奥林匹克公园的位置如何表示?(5,12)表示哪个景点的位置?(6,5)呢? (3)如图(3)所示,小亮和他的朋友位于天安门广场,并用(0,0)表示天安门广场的位置,那么你能分别表示北京奥林匹克公园、卢沟桥的位置吗? 图(2)　图(3) 活动2:建立平面直角坐标系 阅读课本P59内容,并回答下列问题: (1)什么是平面直角坐标系?它由什么组成?各部分的名称是什么? (2)什么叫横坐标、纵坐标?如何来表示一个点的坐标? (3)平面直角坐标系分成哪几个部分?各部分的名称是什么?它们点的坐标有什么特征? 意图说明 通过一系列的问题可以让学生明白平面直角坐标系的组成及各部分坐标特点,体会用有序实数对的形式定位的便捷性,同时也指出坐标系的各个部分的不可或缺性。 探究二　例题讲解 例题 写出下图39中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标。 图39 解:如图所示,各个顶点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3)。 活动3:操作·思考 图310 (1)在图310所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4)。 (2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形? (3)在平面直角坐标系中,点与有序实数对之间有何关系? 解:依次连接A,B,C,D,E,F,A,可得如图所示图形。 归纳总结:在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点和它对应。 意图说明 通过探究活动,增加对坐标系、象限和坐标点的深入理解,并认识到坐标与点的一一对应关系。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 平面直角坐标系的有关概念 1.平面直角坐标系相关概念 (1)横轴 (2)纵轴 (3)原点 (4)象限 (5)坐标　　　　　　　　2.例题讲解 教学反思 第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征 课标摘录 在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。 素养目标 1.掌握在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 2.掌握不同象限内点的坐标的特征。 教学重难点 重点:在已知的平面直角坐标系下描点、连线、观察,确定图形的大致形状。 难点:掌握平面直角坐标系中各类点的特征,能根据坐标描出点的位置,能由点的位置写出它的坐标。 教学策略 教法:引导学生在平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置,根据点的位置说出点的坐标,从而发展数形结合意识。 学法:借助数形结合的方法掌握不同象限内点的坐标的特征,以及坐标轴上的点、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 温故知新 1.什么是平面直角坐标系? 2.两条坐标轴把坐标平面分成了哪几部分?(不包括坐标轴) 3.在给定的平面直角坐标系中,由点的位置如何写出它的坐标? 4.根据坐标如何描出点的位置? 新知初探 探究　坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的特征 活动1:在平面直角坐标系中描出下列各点,并将各组内的点用线段依次连接。 (1)D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5); (2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3)。 观察所描出的图形,它像什么?根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标有什么特点? (2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C的纵坐标有什么关系?线段EC上其他点的坐标呢? (3)点F和点G的横坐标有什么关系?线段FG与y轴有怎样的位置关系? 解:如图所示,各点连接起来的图形像“房子”。 (1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都是0;线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上,它们的横坐标都是0。 (2)线段EC与x轴平行,点E和点C的纵坐标相同;线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3。 (3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行。 活动2:如图所示是一个“笑脸”。 (1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点。 (2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。 (3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限。 学生活动:独立完成,在小组内交流结果。 解:(1)观察第一象限内任意点的坐标,可知它们的横、纵坐标都是正数。 (2)第二象限内点的横坐标都是负数,纵坐标都是正数;第三象限内点的横坐标都是负数,纵坐标也都是负数;第四象限内点的横坐标都是正数,纵坐标都是负数。 (3)观察各点的横纵坐标的正负,可知点A在第一象限,点B在第三象限,点C在第四象限,点D在第二象限。 归纳总结: (1)各个象限内点的符号特征: 点M(x,y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(正,正) 点M在第二象限 M(负,正) 点M在第三象限 M(负,负) 点M在第四象限 M(正,负) (2)位于x轴上的点的坐标的特征是　纵坐标等于0　;  位于y轴上的点的坐标的特征是　横坐标等于0　。  (3)与x轴平行的直线上点的坐标的特征是　纵坐标相同　;  与y轴平行的直线上点的坐标的特征是　横坐标相同　。  意图说明 以“笑脸”为背景,引领学生探索同一象限内点的坐标的特征,培养学生的推理能力,同时发展数形结合意识。进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上的点、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 平面直角坐标系中点的坐标特征 1.坐标轴上点的特征　　　　　　　　2.不同象限内点的特征 3.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 教学反思 第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 课标摘录 1.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。 2.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形。 素养目标 1.能结合所给图形的特点,建立适当的平面直角坐标系,写出点的坐标,灵活的选取既简便又易懂的方法求解。 2.能根据已知点的坐标复原平面直角坐标系。 3.经历建立平面直角坐标系描述图形和复原平面直角坐标系的过程,进一步发展数形结合思想和优化思想。 教学重难点 重点:1.根据实际问题,建立适当的平面直角坐标系,并写出各点的坐标。 2.根据特殊点的坐标复原平面直角坐标系。 难点:1.能自主选择合适的平面直角坐标系来研究图形的性质,体会优化的思想。 2.根据特殊点的坐标复原平面直角坐标系。 教学策略 让学生参与本课知识的形成过程,在学生自己发现的基础上,自主建立平面直角坐标系,然后进行交流、比较,老师课上板书引导,分别列举不同的建立平面直角坐标系的方法,最后选出最合适的平面直角坐标系,教师鼓励学生归纳总结,得出一般情况下如何建立平面直角坐标系更容易,让学生体会优化思想。对于复原平面直角坐标系,老师可以先采取在方格纸中找特殊点再到一般点来复原,然后过渡到去掉方格纸,再从特殊点到一般点的复原,遵循学生的认知规律,从特殊到一般,从易到难,循序渐进地解决学生学习中遇到的困难。 情境导入 问题:我们班准备建立小菜园,学校里有一块如图所示的空地,打算进行绿化,小爱想请她的同学提一些建议,电话中告诉她同学如图所示的图形,为了描述清楚,她使用了平面直角坐标系的知识。你知道小爱是怎样叙述的吗? 新知初探 探究一　利用平面直角坐标系描述物体的位置 活动1:如图所示,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 问题: (1)在没有平面直角坐标系的情况下能否先写出各个顶点的坐标,再建立平面直角坐标系呢? (2)如果不能,那么应如何建立平面直角坐标系呢?请大家思考。 (3)在上面的问题中,你是怎样建立平面直角坐标系的。与同伴交流。 (4)对比不同的建立平面直角坐标系的方法,你觉得哪一种更合理?谈谈你的看法。 (请大家独立思考,然后小组讨论。最后利用投屏交流展示) 预设情况: 活动2:对于边长为4的等边三角形ABC,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 思考: (1)你是怎样建立平面直角坐标系的?各个顶点的坐标是多少? (2)还有其他建立平面直角坐标系的方法吗? (3)你认为怎样建立更合理,更易于解题? 解:以边BC所在直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。 由等边三角形的性质可知,△ABO是直角三角形。 所以AO===2。 所以A(0,2),B(-2,0),C(2,0)。 意图说明 通过活动1和活动2让学生感受建立平面直角坐标系方法的多样性,为自主选择合适的平面直角坐标系研究图形的性质作好铺垫。通过问题的设计,让学生展示自己的成果,激发求知欲,提高学习兴趣。通过比较不同的方法,学生总结怎样建立平面直角坐标系更简捷高效,提高学生总结、辨析能力,突出优化思想。 探究二　根据已知点的坐标复原坐标系 图317 活动3:如图317在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息。如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”? 思考:如图317所示,如果不给你方格纸,你应该怎么办? (独立思考,小组讨论,交流展示) 解题思路:连接AB,由点A,点B的纵坐标可得,将线段AB分为四等份,即每一份为一个单位,线段AB的垂直平分线就是x轴。由垂足沿x轴向左数三个单位长度就是坐标原点,然后做出y轴,这样就建立出了平面直角坐标系。 意图说明 根据已知点的坐标来确定平面直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置,可以加深学生对平面直角坐标系的理解。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 1.建系原则　　　　　　　　　　　　　　　　2.根据已知点的坐标复原坐标系 (1)点在坐标轴上 (2)特殊线段所在直线为坐标轴 (3)以某已知点为原点 教学反思 3　轴对称与坐标变化 课标摘录 在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系。 素养目标 1.在同一平面直角坐标系中,感受图形上的点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系。 2.掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系。 3.体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁,感受代数与几何的相互转化,初步建立空间概念。 教学重难点 重点:经历图形坐标变化与图形轴对称变换之间关系的探索过程,发展形象思维能力,增强数形结合意识。 难点:由坐标的变化确定新旧图形之间的变化。 教学策略 教法:利用图形的轴对称性质,解决从图形变换到坐标变化问题,再解决从坐标变化到图形变换问题,引导学生从不同角度发现轴对称与坐标之间的变化规律。 学法:利用图形的轴对称性质,采用数形结合思想方法,发现并总结轴对称变换与坐标变化之间的规律,通过适量的练习巩固规律。 情境导入 周末小明逛美术馆时,发现一幅蝴蝶标本画,左右翅膀以中线为轴完全重合。若将其置于平面直角坐标系中,对应翅膀上的点坐标会有怎样的联系?让我们一起开启探索之旅。 新知初探 探究一　轴对称与坐标变化 活动1:△ABC与△A1B1C1在如图所示的平面直角坐标系中,仔细观察,回答下列各题: (1)△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系? (2)请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1的坐标,并思考:这些对应点的坐标之间有什么关系? A: B: C: A1: B1: C1: (3)如果点P(m,n)在△ABC内,那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是　　　　　。  解:(1)△ABC与△A1B1C1关于x轴对称。 (2)关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。 (3)(m,-n) 活动2:如图所示的平面直角坐标系中,第一、第二象限内各有一面小旗。 (1)两面小旗有怎样的位置关系?对应点A与A1的坐标有什么关系?其他的对应点也有这个特点吗? (2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形,它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系? 归纳总结:关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。 意图说明 通过活动1的解决,将活动1的方法迁移到活动2中进一步讨论关于x轴或y轴对称的点的坐标的特征,借助于两人小组活动进一步总结归纳两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系,建立“数”与“形”之间的联系,发展学生的数形结合意识,通过巩固练习加深新知识的理解和掌握。 探究二　坐标变化与图形变化 活动3: (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)。你得到了一个怎样的图案? (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案?这个图案与原图案有怎样的位置关系? 解:(1)依次连接各点得到的图案如图319所示,它像一条小鱼。 图319　图320 (2)纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),(0,0),依次连接这些点,所得图案如图3-20所示,它与原图案关于y轴对称。 归纳总结: (1)关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标变为相反数。 (2)关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征:纵坐标不变,横坐标变为相反数。 意图说明 通过小组分工合作的形式探索关于x轴或y轴对称的图形的对称点的坐标特征,培养学生合作学习的能力,在合作学习及小组分享的过程进一步感受轴对称与坐标变化之间的关系。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 轴对称与坐标变化 1.轴对称与坐标变化　　　　　　　　2.坐标变化与图形变化 (1)关于x轴对称 (2)关于y轴对称 教学反思 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第四章　一次函数 1.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。 4.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。 6.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。 7.能画一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。 8.能用一次函数解决简单实际问题。 一次函数在初中数学教材体系中占据着关键地位。它是在学生学习了代数式、方程等基础知识后,对函数概念的首次深入探究,为后续学习二次函数、反比例函数等更复杂的函数类型奠定基础。从数学知识的发展脉络来看,一次函数是从常量数学到变量数学的重要过渡,帮助学生初步建立起函数思想,理解变量之间的依赖关系。在实际应用方面,一次函数能够解决众多生活和生产中的实际问题,如成本与利润计算、行程规划等,体现了数学的实用性,有助于培养学生运用数学知识,解决实际问题的能力。 1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式。 2.能画一次函数的图象,理解一次函数当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题。 3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的实际意义。 4.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力。 5.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观。 重点:一次函数和正比例函数的概念、表达式、图象和性质,用待定系数法求一次函数表达式,用一次函数解决实际问题。 难点:理解一次函数的性质,尤其是函数图象的变化趋势与系数的关系,以及将实际问题转化为数学模型,运用一次函数知识求解。 1　函数 课标摘录 1.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。 4.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。 素养目标 1.理解函数及其相关概念,并能判断两个变量之间的关系是不是函数关系。 2.了解函数的三种表达方式,并会用含有一个变量的代数式表示另一个变量。 3.经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象思维能力。 教学重难点 重点:函数的概念以及函数的三种表示方法。 难点:对函数概念的理解;把实际问题抽象概括,建立函数的数学模型。 教学策略 在教学中,通过“问题情境——建立模型——问题解决——反思拓展”的教学环节,让学生经历探究及数学建模的全过程,使学生能够抓住问题的本质,理解函数概念,初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力,领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。 情境导入 你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝水,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水。但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,然后飞走了。如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面能大致表示上面故事情节的图象是(B) 新知初探 探究一　函数的概念及表示方法 你坐过摩天轮吗?想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离地面的高度是如何变化的? 活动1:图41反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间的关系。 图41 问题1:根据图41填写下表: t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m 问题2:对于给定的时间t,相应的高度确定吗? 活动2:圆柱形物体常常如图42那样堆放。随着层数的增加,物体的总数是如何变化的? 图42 填写下表: 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … 活动3:一定质量的气体在体积不变时,若温度降低到-273.15 ℃,则气体的压强为零。因此,物理学中把-273.15 ℃作为热力学温度的零度。热力学温度T(单位:K)与摄氏温度t(单位:℃)之间有如下数量关系:T=t+273.15,T≥0。 (1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少? (2)给定一个大于-273.15 ℃的t值,你都能求出相应的T值吗? 思考·交流 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系,它们有什么相同点和不同点?与同伴进行交流。 小结:在上面各例中,都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值。 归纳总结:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量。 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 意图说明 通过几个现实生活中的函数原型,让学生感受函数表示方式的多样性,以图象、表格、关系式三种形式呈现几个与生活相关的情境,并最终总结出函数的三种表示方法,从而使学生对函数有一个更为准确、全面的认识。 探究二　函数值 想一想:上述问题中,自变量能取哪些值? 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。 意图说明 让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力,巩固所学知识。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 函数 1.函数的定义　　　　　　　　　　　　　　2.函数的表示方法 3.函数的自变量取值范围　 4.函数值 教学反思 2　认识一次函数 第1课时　“均匀”变化的量 课标摘录 1.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 2.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。 素养目标 通过探究实际问题,培养学生的数据分析能力、数学建模能力和逻辑思维能力。 教学重难点 重点:根据实际数据建立函数关系式。 难点:理解“均匀”变化的量,从实际问题中抽象出函数模型。 教学策略 创设生活实例,如打车计费、水电费计算、蚊香燃烧等,引出变量关系,引导学生分析数据,写出关系式,激发学生兴趣,为下一课时一次函数概念打基础。根据学生水平设计基础、提高、拓展题,让不同层次学生都能巩固知识,提升能力。 情境导入 一个滴漏的水龙头一年漏水量大约有多少?够一个人一年使用吗?先猜一猜,再设计一个方案具体估算一下,并与同伴进行交流。 2020年,我国人均生活用水量:城镇(含公共用水)207 L/d,农村100 L/d。 新知初探 探究一　生活中函数 活动1:操作·思考 (1)布置操作任务:将水龙头拧到适当位置,造成滴漏现象,在水龙头下方放一个量杯,每隔1 min,记录一下量杯中的水量,并将数据填入表格。在坐标纸上描出(t,V)对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律?请你估计:这个水龙头一天的漏水量是多少? 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 学生活动:学生自主操作、记录和思考,教师巡视指导。 设计意图:让学生亲身体验数据收集过程,培养动手能力和自主探究能力。 (2)下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据,在坐标纸上描出(t,V)对应的点,并据此估计:小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少?一年呢?够一个人一年使用吗? 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 问题1:分析小明的实验数据,你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗? 问题2:你的实验结果与小明的实验结果有何异同? 教师活动:引导学生观察数据和点的分布,分析漏水量V与时间t之间的关系。并推导出关系式 V=5.5 t。 活动2:思考·交流 分享各组的实验结果,并交流下列问题: (1)比较各组的实验数据与结果,有什么共同之处,又有什么不同之处? (2)引起各组数据不一致的因素有哪些?这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面? (3)假如水龙头漏水严重一些,表格、图象和表达式可能会发生什么变化?为什么? 意图说明 培养学生合作交流能力和批判性思维,加深实验数据的变化对表格、图象、表达式影响的理解。 探究二　均匀变化的量 活动3:操作·思考 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间,小颖点燃一根香,并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度,数据如下: 燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … 学生活动: (1)根据小颖得到的数据,在平面直角坐标系中描出(t,l)对应的点。 (2)估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度,并说明理由。 (3)估计这根香可燃烧的时间,并说明理由。 (4)试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的关系式。 学生活动:各小组完成实验数据收集后,组织学生对数据进行整理和分析。首先,将记录的数据按照时间t由小到大的顺序进行排列,然后在坐标纸上以燃烧时间t为横坐标,香可燃烧部分的长度l为纵坐标,仔细描出对应的点。 教师活动:引导学生观察这些点在坐标平面上的分布规律,提问:“同学们,大家观察一下自己所描出的这些点,它们大致在一条直线上吗?”鼓励学生大胆发表自己的看法,然后让学生尝试用一条直线去拟合这些点,从而自然地引出“均匀”变化的量。 活动4:思考·交流 在小颖的实验中,燃烧时间每增加1 min,香可燃烧部分的长度就减少0.5 cm。也就是说,随着时间的增加,香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢?与同伴进行交流。 归纳总结:所谓“均匀”变化是指一个变量增加固定的数值时,另一个变量的改变量是相同的。 思考:生活中还有哪些“均匀”变化的现象?试举两例。 意图说明 培养学生的数据处理能力和数学建模能力,让学生在实践中体会从数据到模型的构建过程,通过小组展示和讨论,培养学生的表达能力和批判性思维。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 “均匀”变化的量 1.习题讲解　　　　　　　　　　　　　2.“均匀”变化的量 教学反思 第2课时　一次函数与正比例函数的概念 课标摘录 1.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 2.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。 3.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。 素养目标 1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的表达式。 2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系。 3.能利用一次函数解决简单的实际问题。 教学重难点 重点:理解一次函数和正比例函数的概念。 难点:能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力。 教学策略 教法:通过从具体实例归纳总结出一次函数和正比例函数的概念,写出简单的一次函数表达式。 学法:互动讨论,积极与同伴交流自己的想法,最后把教师讲解的要点归纳总结。 温故知新 问题1:什么是函数?表示函数的方法一般有哪些呢? 问题2:购买一些签字笔,单价3元,总价为y元,签字笔为x支,根据题意填表: x(支) 1 2 3 4 5 … y(元) (1)y随x变化的关系y=　　　　　,　　　是自变量,　　　是　　　的函数。  (2)当购买8支签字笔时,总价为　　　元。  新知初探 探究一　一次函数与正比例函数 活动1:在弹性限度内,某弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系如下表所示: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 问题1:随着所挂物体质量x的增加,弹簧长度y的变化是“均匀”的吗? 问题2:写出y与x之间的关系式,并说明理由。 活动2:尝试·思考 某辆汽车油箱中原有汽油40 L,汽车每行驶50 km耗油4 L。 (1)完成下表: 行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L (2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 (3)写出油箱剩余油量z(单位:L)与汽车行驶路程x之间的关系式。 活动3:观察·思考 (1)在上面情境中,我们得到y=0.5x+3,y=x,z=40-x,它们有什么共同的特征? (2)请你写出一个具有这种特点的关系式。 归纳总结:一次函数的概念:若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数。 正比例函数的概念:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当b=0时,称y是x的正比例函数。 意图说明 选取学生熟悉的生活模型,从社会生活中与数学相关的信息入手,引导学生主动参与数学活动,在解决数学问题的过程中,感受数学在实际生活中的应用,体会数学的价值,并能从中抽象出数学问题,感悟用数学的眼光观察现实世界的意义,形成数学想象力,提高学习数学的兴趣。 探究二　例题讲解 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的关系; (2)圆的面积y(单位:cm2)与它的半径x(单位:cm)之间的关系; (3)某水池有水15 m3,先打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,经过x h这个水池内有水y m3。 解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数; (2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数; (3)这个水池每小时增加水5 m3,x h增加水5x m3,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数。 活动4:思考·交流 (1)例1中,两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少,它们的实际意义是什么? (2)一般地,k,b对一次函数y=kx+b有怎样的影响?与同伴进行交流。 例2 在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过1 s其速度减少35 km/h。 (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速度y(单位:km/h)与刹车后所经过的时间t(单位:s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义; (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01 s)。 解:(1)刹车开始时汽车的速度为120 km/h,每过1 s汽车的速度减少35 km/h,于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h,所以y与t的关系式是y=-35 t+120。其中,k=-35表示每秒汽车速度的变化量,b=120表示刹车开始时汽车的速度。 (2)汽车停止时速度y=0,解方程0=-35t+120,得t=≈3.43。因此,该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s。 意图说明 两个例题引导学生用一次函数的模型解决问题,通过问题探究,让学生进一步明确:识别一个函数是否为一次函数,关键是准确把握定义;进一步理解一次函数与正比例函数的概念,通过由已知信息写一次函数表达式的过程,发展学生的数学应用能力。例2意在培养学生严谨的思维方式与阅读理解能力,引导学生用函数思想去解决实际问题,实现了知识向能力的转化。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数的概念　　　　　　　　　　2.正比例函数的概念 3.一次函数与正比例函数的联系与区别　　　　　 4.例题讲解 教学反思 第3课时　借助一次函数表达式解决实际问题 课标摘录 1.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。 2.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 3.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。 4.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。 素养目标 1.学生能准确列出一次函数关系式,理解一次函数在实际问题中的应用。 2.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高数学建模思维。 3.让学生体会数学与生活的紧密联系,增强学习数学的兴趣。 教学重难点 重点:能根据实际情境确定函数关系式及自变量取值范围。 难点:从实际问题中抽象出数学模型,建立一次函数关系。 教学策略 通过展示水电费账单、出租车计费表、手机话费套餐等生活常见场境,引导学生分析其中的数量关系,从而将实际问题转化为数学模型,让学生运用建立的数学模型去解决实际问题,并鼓励他们对模型进行拓展和优化。 情境导入 某单位需要租一辆45座大客车,咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准:直接按里程计费,每千米15元。乙公司的计费标准:除了每千米10元的里程费外,另有服务费200元(不足1 km按 1 km计算),选择哪家公司更划算呢? 新知初探 探究一　一次函数的应用 活动1:结合上述情境,提出以下问题: (1)假设该单位用车里程为30 km,你建议租用哪家公司的客车? (2)假设该单位用车里程为52 km,你建议租用哪家公司的客车? (3)用车里程为多少千米时,两家出租车公司的收费相同? 学生活动:分别分析甲、乙公司的计费标准,引导学生设用车里程为x km,费用为y元,列出甲公司费用表达式y甲=15x,乙公司费用表达式y乙=10x+200。 教师活动:对于不同里程数,如x=30 km和x=52 km时,让学生计算并比较选择哪家公司更划算,讲解过程中强调分析思路,即通过计算费用并比较大小来做出决策。 活动2:为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准: 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (1)当220<x≤300时,写出水费y(单位:元)与x之间的关系式; (2)某户一年用水量是250 m3,求该户这一年的水费; (3)某户去年一年的水费是1 000.5元,求该户去年一年的用水量。 解:(1)当220<x≤300时,用水量属于第二档。于是 y=3.45×220+4.83×(x-220), 即y=4.83x-303.6。 (2)当x=250时,y=4.83×250-303.6=903.9(元)。 (3)因为3.45×220=759,4.83×300-303.6=1 145.4, 759<1 000.5<1 145.4, 所以该户年用水量属于第二档。 设该户去年一年的用水量为x m3,则 1 000.5=4.83x-303.6。 解这个方程,得x=270。 因此,该户去年一年的用水量为270 m3。 活动3:尝试·思考 (1)在活动2中,当x>300时,你能写出水费y(单位:元)与用水量x之间的关系式吗? 学生活动:学生独立完成。此时水费y由三部分组成,第一档220立方米水费、第二档(300-220)立方米水费以及超出300立方米部分的水费,引导学生列出y=3.45×220+4.83×(300-220)+5.83×(x-300)=5.83x-603.6。 (2)这样计费有什么意义?设计计费规则时要注意什么?生活中还有哪些情况用到类似的计费方法? 意图说明 通过对生活中的实际问题的分析,使学生熟悉函数值与自变量取值范围之间的关系,将实际生活中的数量关系转化为一次函数模型,运用函数知识解决生活中的费用计算实际问题,提升学生对数学知识的应用意识和实践能力,培养学生分析问题、整合信息以及运用数学知识解决复杂问题的能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 借助一次函数表达式解决实际问题 1.习题讲解　　　　　　　　　　　2.列举生活中用到的类似计费方法的实例 教学反思 3　一次函数的图象 第1课时　正比例函数的图象与性质 课标摘录 理解正比例函数。 素养目标 1.经历正比例函数图象的画图过程,初步了解画函数图象的一般步骤;经历正比例函数图象变化情况的探索过程,发展数形结合的意识和能力。 2.能熟练画出正比例函数的图象;掌握正比例函数的图象和性质。 教学重难点 重点:正比例函数图象的特点。 难点:正比例函数图象的特点的探索过程。 教学策略 本节课将采用自主探究——合作交流式教学,让学生动手操作,主动去探索,小组合作交流。互动式教学将顾及到全体学生,让全体学生都参与并且每个学生都能有所收获。 情境导入 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。本章图41就是摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间函数关系的图象,借助图象可以直观地认识函数。 我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧! 新知初探 探究一　正比例函数的图象和性质 活动1:操作·思考 画出正比例函数y=2x的图象 (1)为了画出函数的图象,首先需要选取一些自变量的值,并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。那么,列表时选取自变量x的哪些值呢?观察这个函数表达式,x可以取0吗?可以取正数吗?可以取负数吗? (2)以你所列表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点。 (3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗? (4)其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上吗? 画正比例函数y=2x图象的基本步骤如下。 列表: x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 … 描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点。 连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象,它是一条直线。 小结:画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线。 活动2:思考·交流 (1)画正比例函数y=-3x的图象。 (2)正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点?一般地,正比例函数y=kx的图象有何特点?与同伴进行交流。 小结:正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线。因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这点与原点画直线就可以了。 活动3:尝试·思考 (1)在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x,y=3x,y=-x和y=-4x的图象。 (2)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何? 归纳总结:在正比例函数y=kx中,当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。 拓展:在正比例函数y=kx的图象中,k的绝对值越大,直线越陡,相应的函数值上升或下降得越快。 活动4:思考·交流 (1)正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增大,y的值都增大了,其中哪一个增大得更快?你能解释其中的道理吗? (2)类似地,正比例函数y=-x和y=-4x中,随着x值的增大,y的值都减小了,其中哪一个减小得更快?你是如何判断的?与同伴进行交流。 意图说明 引导学生通过对图象的进一步观察与比较,归纳出函数值的增减速度与k的绝对值的内在关系,认识到k的绝对值越大,直线越陡,相应的函数值上升或下降得越快,从而进一步发展学生数形结合思想以及观察、思考问题的意识和能力。 探究二　拓展应用 活动5:在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x,y=x,y=5x的图象,然后比较哪一个函数图象与x轴正方向所成的锐角最大,由此你得到什么猜想?再选几个图象验证你的猜想。 解: 函数图象如图所示。 其中,y=5x的图象与x轴正方向所成的锐角最大。 猜想:k的绝对值越大,与x轴正方向所成夹角越大。 意图说明 培养学生的画图能力,同时进一步熟悉正比例函数的图象和性质,培养学生思维的多样性,发展学生解决问题的能力,培养学生的数学思维。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 正比例函数的图象与性质 1.画函数图象的步骤　　　　　　　2.正比例函数y=kx图象的特点 (1)列表　　　　　　　　 3. 正比例函数的性质 (2)描点 (3)连线 教学反思 第2课时　一次函数的图象与性质 课标摘录 能画一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。 素养目标 1.会画一次函数的图象,能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性。 2.能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系。 3.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题。 教学重难点 重点:了解一次函数的图象与性质。 难点:能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题。 教学策略 教法:通过实际动手操作画一次函数的图象,多媒体演示,引导学生发现一次函数图象的特征。 学法:通过动手操作,互动讨论,快速理解课堂教学内容,并把教师讲解的要点进行归纳总结。 情境导入 问题: (1)画函数图象的步骤是什么? (2)上节课中我们探究得到正比例函数图象经过哪个定点? (3)作正比例函数图象需要描出几个点? 学生思考,给出答案。 (1)作函数图象的步骤:列表、描点、连线。 (2)正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线。 (3)画正比例函数的图象,除原点外只要另外再描出一个点即可。 新知初探 探究一　一次函数的图象 活动1:画出函数y=2x+1的图象。 在准备好的坐标系中画出函数y=2x+1的图象。 观察与思考 (1)一次函数y=2x+1的图象真的是一条直线吗? (2)一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x的图象有什么关系? (3)一般地,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象有什么关系? 观察图象可得:一次函数y=2x+1的图象是　　　,它与x轴和y轴的交点坐标分别是　　　。  猜想:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线。 问题:是否所有一次函数的图象都如此呢? 验证:在同一平面直角坐标系中画出下列函数y=2x,y=2x+1,y=2x-3的图象。 发现:这几个函数图象的形状都是　　　,并且倾斜程度　　　　相同。函数y=2x的图象经过原点,函数y=2x+1的图象与y轴交于点　　　,即它可以看作由直线y=2x向　　　平移　　　个单位长度而得到。函数y=2x-3的图象与y轴交于点　　　　,即它可以看作由直线y=2x向　　　平移　　　个单位长度而得到。  结论:因为函数y=2x,y=2x+1和y=2x-3的图象可以相互平移得到,所以它们的图象形状相同,都是一条直线。 意图说明 通过独立画图让学生进一步熟悉画函数图象的步骤,了解一次函数图象的平移特点。 探究二　一次函数的性质 活动2:在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象y=3x+1,y=-x+1,y=3x-2,y=4x-3。 观察图象并思考: (1)哪个函数y的值随着x值的增大而增大?哪个函数y的值随着x值的增大而减小? (2)随着x值的增大,y的值增大速度最快的函数是哪个? (3)哪两个函数的图象相互平行? (4)图象与y轴相交于同一点的函数有哪些? 学生分组讨论,教师总结。 归纳总结:(1)一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),与函数y=kx的图象平行;k值相同的两个一次函数图象平行。 (2)在一次函数y=kx+b中,当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小。 意图说明 通过独立画图让学生进一步熟悉函数图象变化规律,关于一次函数的图象与性质通过小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点,总结归纳重点。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象　2.一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx(k≠0)图象的区别与联系 3.一次函数的性质 教学反思 4　一次函数的应用 第1课时　确定一次函数的表达式 课标摘录 1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。 2.能用一次函数解决简单实际问题。 素养目标 能由两个条件求出一次函数表示式,一个条件求出正比例函数的表达式,并解决有关的实际问题。 教学重难点 重点:根据所给信息,确定一次函数的表达式。 难点:在实际问题情境中寻找条件,确定一次函数的表达式。 教学策略 本节课利用了丰富的实际情境,启发引导的过程由浅入深,既增加了学生学习的兴趣,又让学生深切体会到一次函数就在我们身边。教学中注意到利用问题串的形式,层层递进,逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法。教学中还注意到尊重学生的个体差异,使每个学生都学有所获。 温故知新 回顾与思考下列问题 1.一次函数的定义是什么?正比例函数呢? 2.一次函数图象是什么?正比例函数的图象呢? 3.一次函数具有什么性质? 4.已知一次函数表达式,如何画一次函数图象? 5.反过来,已知一个一次函数的图象经过两个具体的点,你能求出它的表达式吗? 今天我们就来学习确定一次函数表达式的方法。 新知初探 探究一　确定一次函数表达式 活动1:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(单位:m/s)与其下滑时间t(单位:s)的关系如图所示。 问题1:写出v与t之间的关系式; 问题2:物体下滑3 s时速度是多少? 教师活动:引导学生分析,写出v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的表达式,再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可。 教学注意事项:学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数关系式,如先求出速度,再写关系式,教师应给予肯定,但要注意比较两种方法异同,并突出待定系数法。 活动2:思考·交流 确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?与同伴进行交流。 意图说明 以图象作为背景呈现一次函数,这里选择的是正比例函数(即b=0),降低难度,便于学生可以轻松得到答案。 探究二　例题讲解 例题 在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)是所挂物体质量x(单位:kg)的一次函数。某弹簧不挂物体时,弹簧长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm。写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度。 解:设y=kx+b,根据题意,得 14.5=b,① 16=3k+b。② 将①代入②,得k=0.5。 所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5。 当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5。 因此,当所挂物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm。 活动3:尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长30 cm;燃烧时,剩下的长度y(单位:cm)是燃烧时间x(单位:h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧2 h时,剩下的长度为18 cm。 (1)写出y与x之间的关系式; (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间? 学生活动:学生独立完成。 活动4:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数关系式的步骤。 小结:求函数关系式的步骤: (1)设一次函数关系式; (2)根据已知条件列出有关方程; (3)解方程; (4)把求出的k,b值代回到关系式中即可。 意图说明 通过对问题的探究与讲解,学生进一步体会一次函数的应用价值。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 确定一次函数的表达式 1.确定正比例函数的表达式　　　　2.确定一次函数的表达式 3.求一次函数表达式的步骤 教学反思 第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题 课标摘录 能用一次函数解决简单实际问题。 素养目标 1.会利用一次函数的图象和关系式解决简单实际问题。 2.了解一元一次方程与一次函数的联系。 3.经历用函数图象表示一元一次方程的过程,进一步体会数形结合思想。 教学重难点 重点:一次函数图象的应用。 难点:正确地根据图象获取信息,并解决现实生活中的有关问题。 教学策略 教法:启发、引导学生发现图象中的已知条件,分析并解决实际问题,根据不同的已知条件总结解题要点。 学法:通过课堂讨论和练习掌握新知识,培养归纳总结知识的能力。 情境导入 如图所示是一种斜挎包,其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成。小敏用后发现,通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短。设单层部分的长度为x cm,双层部分的长度为y cm,经测量,得到如下数据: 单层部分的长度x/cm … 4 6 8 10 … 双层部分的长度y/cm … 73 72 71 70 … (1)根据表中数据的规律,完成以上表格,并直接写出y关于x的函数表达式; (2)根据小敏的身高和习惯,挎带的长度为120 cm时,背起来正合适,请求出此时单层部分的长度。 新知初探 探究一　一次函数的应用 活动1:某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(单位:L)与摩托车行驶路程x(单位:km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题: (1)油箱最多可储油多少升? (2)一箱油可供摩托车行驶多少千米? (3)该摩托车每行驶100 km消耗多少升油? (4)油箱中的剩余油量小于1 L时,摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后,摩托车将自动报警? 解:观察图象,得 (1)当x=0时,y=10。因此,油箱最多可储油10升。 (2)当y=0时,x=500。因此,一箱油可供摩托车行驶500千米。 (3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100千米消耗2升油。 (4)当y=1时,x=450。因此,加满油行驶450千米后,摩托车将自动报警。 问题:如何解答实际情境中函数图象的信息? 归纳总结: (1)理解横、纵坐标分别表示的实际意义; (2)分析已知条件,通过作x轴或y轴的垂线,在图象上找到对应的点,由点的横坐标或纵坐标的值读出要求的值; (3)利用数形结合的思想:由“数”化“形”以“形”定“数”。 意图说明 让学生熟悉从实际情境函数图象中获取信息,培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力,发展几何直观;让学生进一步体会数与形的关系,建立良好的知识联系。 探究二　例题讲解 例题 由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少,蓄水量V(单位:万m3)与干旱持续时间t(单位:天)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题: (1)干旱开始时水库的蓄水量是多少? (2)干旱持续10天,水库的蓄水量是多少?干旱持续23天呢? (3)该水库蓄水量小于400万m3时,将发生严重干旱警报。干旱持续约多少天将发出严重干旱警报? 解:观察图象,得 (1)当t=0时,V=1 200。因此,干旱开始时水库的蓄水量是1 200万m3。 (2)当t=10时,V=1 000。因此,干旱持续10天,水库的蓄水量为1 000万m3。 当t=23时,V≈750。因此,干旱持续23天,水库的蓄水量约为750万m3。 (3)当V=400时,t≈40。因此,干旱持续约40天后将发出严重干旱警报。 尝试·思考 按照这个规律,预计干旱持续多少天水库将干涸? 答案:当V=0时,t=60。因此,预计干旱持续60天水库将干涸。 意图说明 通过生动的现实情境引入一次函数图象的应用,目的是培养学生数形结合的能力,提高学生的应用意识。 探究三　一次函数与一元一次方程 活动2:思考·交流 结合例题 想一想,一元一次方程-20x+1 200=0与一次函数y=-20x+1 200有什么联系?一般地,一元一次方程kx+b=0与一次函数y=kx+b有什么联系?与同伴进行交流。 归纳总结: 一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解。从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。 意图说明 通过练习题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系,能用函数关系解决方程问题,同时也能用方程的观点来看待函数。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 借助单个一次函数图象解决实际问题 1.一次函数图象的应用　　　　　　　　　　2.一次函数与一元一次方程 教学反思 第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题 课标摘录 1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 2.能用一次函数解决简单实际问题。 素养目标 1.通过观察函数图象,能够从同一坐标系中的两个一次函数图象中获取信息,理解两个一次函数图象交点的实际意义。 2.利用函数图象,解决实际问题。 3.会建立函数的数学模型,解决较深层次的实际问题。 教学重难点 重点:利用在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象解决实际问题。 难点:1.从函数的图象中提炼出有用的信息。 2.对在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象交点的理解。 教学策略 在课堂教学中对于例题采用教师提出问题,学生讨论,学生回答,教师修正,板书的形式。采用学生自主学习与合作学习相结合的方式,以学生讨论,互帮互助为主,教师指导为辅,给学生充分的讨论和考虑时间。 情境导入 某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x(小时)的变化情况如图所示: (1)服药后　2　小时,血液中含药量最高,达到每毫升　6　毫克,接着逐步衰弱。  (2)服药后5小时,血液中含药量为每毫升　3　毫克。  (3)当x≤2时,y与x之间的函数表达式是　y=3x　。  (4)如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时,治疗疾病最有效,那么吃药后　1　小时能发挥最佳药效。  新知初探 探究一　借助两个一次函数图象解决实际问题 活动1:如图所示,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系,根据图象填空。 (1)当销售量为2 t时,销售收入为　2 000　元,销售成本为　3 000　元。  (2)当销售量为6 t时,销售收入为　6 000　元,销售成本为　5 000　元。  (3)当销售量　为4 t　时,销售收入等于销售成本。  (4)当销售量　大于4 t　时,销售收入大于销售成本,该公司赢利;当销售量　小于4 t　时,销售收入小于销售成本,该公司亏损。  (5)当销售量为　6 t　时,该公司赢利1 000元。  (6)l1对应的函数表达式是　y=1 000x　,l2对应的函数表达式是　y=500x+2 000　。  (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗? 1 000x-(500x+2 000)=1 000,解得x=6。当销售量等于 6 t时,该公司赢利1 000元。 活动2:思考·交流 上题中,l1对应的一次函数y=k1x+b1,k1和b1的实际意义各是什么?设l2对应的一次函数y=k2x+b2,k2和b2的实际意义各是什么? 解:l1中,k1=1 000,b1=0,k1表示的是每销售1吨,销售收入是1 000元,b1表示未销售时,销售收入为0;l2中,k2=500,b2=2 000,k2表示的是销售量每增加1吨,销售成本增加500元,b2表示未销售时,销售所花的成本是2 000元。 意图说明 此探究活动培养了学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识。通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题。在此过程中渗透了数形结合的思想,同时发展学生的数学应用能力。 探究二　例题讲解 例题 图411是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙,发现乙在观景台2,于是沿着游览路线追赶乙。图412中l1,l2分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位:m)与追赶时间t(单位:min)之间的关系。 图411　图412 假设甲、乙两人保持现有的速度,根据图象回答下列问题: (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系? (2)甲和乙哪个人的速度快? (3)30 min内甲能否追上乙? (4)到达观景台3后道路分岔,甲能否在到达观景台3前追上乙? (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2,k1,k2的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少? 解:(1)当t=0时,甲到观景台1的路程为0 m,即s=0,故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 (2)t从0增加到20时,l1上点的纵坐标增加了1 000,l2上点的纵坐标增加了600,即20 min内,甲行走了1 000 m,乙行走了600 m,所以甲的速度快。 (3)如图413所示,延长l1,l2,可以看出,当t=30时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,30 min时甲尚未追上乙。 (4)在图413中,l1与l2交点P的纵坐标小于(800+1 300=)2 100,这说明,甲能在到达观景台3前追上乙。 (5)k1表示甲的速度,k2表示乙的速度。甲的速度是50 m/min,乙的速度是30 m/min。 意图说明 进一步培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识,通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题。在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力,加强学生运用一次函数的图象分析、解决问题的能力,鼓励学生运用多种方法解决问题,提高学生的解题能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 借助两个一次函数图象解决实际问题 1.横轴、纵轴表示的意义　　　　　　　　　2.直线与坐标轴的交点表示的意义 3.理解表达式中k,b的实际意义 教学反思 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第五章　二元一次方程组 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 5.建立模型观念。 6.体会一次函数与二元一次方程的关系。 二元一次方程组是初中数学的重要内容,它是在一元一次方程的基础上发展而来,是进一步学习函数等知识的基础。本单元主要内容包括二元一次方程(组)的概念,二元一次方程组的解法(代入消元法和加减消元法),以及利用二元一次方程组解决实际问题。通过本单元的学习,学生将学会用方程组表示问题中的等量关系,体会数学建模思想,提高分析问题和解决问题的能力。 1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识。 2.了解二元一次方程(组)的有关概念,会解简单的二元一次方程组(数字系数);能根据具体问题中的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题,并能检验解的合理性。 3.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系,会利用待定系数法确定一次函数的表达式。 4.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元”思想,从而初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想。 重点:二元一次方程(组)及其解的定义,根据实际情况列二元一次方程(组)。 难点:二元一次方程组的认识与识别,根据二元一次方程组解的情况求参数的值。 1　认识二元一次方程组 课标摘录 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,理解方程的意义。 2.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 3.建立模型观念。 素养目标 1.通过对实际问题的分析,进一步体会方程是刻画数量关系的有效数学模型。 2.理解二元一次方程(组)及其解等概念,会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。 教学重难点 重点:理解二元一次方程(组)及其解的含义,会判断二元一次方程(组)及一组数是不是某个二元一次方程(组)的解。 难点:准确理解二元一次方程(组)及其解的含义,准确分析具体情境的等量关系,从实际问题中抽象出二元一次方程的过程。 教学策略 从简单数量关系情境入手,让学生先用一元一次方程解决问题,使学生体会用已有知识解决问题的复杂性和局限性,自然转到探索解决问题的新途径,同时体会一元一次方程与二元一次方程(组)的关系。 情境导入 小明和小颖参加课外种植实践活动,他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株,如果将小颖栽种的绿植减少1株,将小明栽种的绿植增加1株,那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。 (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设小明栽种了x株绿植,小颖栽种了y株绿植,由此你能得到怎样的方程? 新知初探 探究一　二元一次方程(组)的概念 活动1:尝试·思考 周末,小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼,他们一共8个人,买门票花了34元。已知每张成人票5元,每张学生票3元。 问题:(1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设他们中有成人x人、学生y人,由此你能得到怎样的方程? 活动2:观察·思考 在上面两个情境中,我们分别得到方程x-y=2和x+1=2(y-1),以及x+y=8和5x+3y=34。观察这些方程,它们有什么共同特征? 归纳总结:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 活动3:思考·交流 在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中,x所表示的对象相同吗?y呢?与同伴进行交流。 方程x+y=8和5x+3y=34中,x,y所表示的对象分别相同。因而x,y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34。把它们联立起来,得 归纳总结:像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组。 例如,和都是二元一次方程组。 意图说明 先让学生通过观察归纳两个方程的共性,并用自己的语言进行描述,然后再组织学生交流归纳出二元一次方程的概念及其关键特征。在总结归纳出二元一次方程组的定义后,引导学生理解未知数x和y表示的意义相同,并规范方程组的表示方法。最后让学生尝试自己举例后老师再呈现几组特殊的二元一次方程组,加强学生对概念的深刻理解。 探究二　二元一次方程(组)的解 活动4:尝试·思考 问题1:x=6,y=2满足方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找到其他x,y的值满足方程x+y=8吗? 问题2:x=5,y=3满足方程5x+3y=34吗?x=2,y=8呢? 问题3:你能找到一组x,y的值,同时满足方程x+y=8和5x+3y=34吗? 归纳总结:使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解。 例如,x=6,y=2是方程x+y=8的一个解,记作同样,也是方程x+y=8的一个解。 归纳总结:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。 例如,就是二元一次方程组的解。 意图说明 在学生已经知道了方程“解”的含义基础上,先给出具体数据,通过计算验证是否是方程的解,然后探索符合方程的其他的解,在探索过程中深刻体会方程(组)“解”的含义,并体会二元一次方程有无数个解,二元一次方程组有一组解。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 认识二元一次方程组 1.二元一次方程　　　　　　　　2.二元一次方程组 3.二元一次方程的解　　　　　 4.二元一次方程组的解 教学反思 2　二元一次方程组的解法 第1课时　代入消元法 课标摘录 1.掌握消元法,能解二元一次方程组。 2.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 素养目标 1.了解解方程组的基本思想是“消元”,掌握代入消元法解二元一次方程组。 2.让学生在解决问题的过程中学会交流与合作,感受二元一次方程组的应用价值。 教学重难点 重点:用代入法解二元一次方程组的基本步骤。 难点:探究用代入消元法将“二元”转化为“一元”的过程。 教学策略 从实际问题引入,列出二元一次方程组,引发学生解出未知数的兴趣。教师指导学生先复习一元一次方程的解法,再展示二元一次方程组,引导学生思考如何将其转化为一元一次方程。通过具体例子,详细讲解代入消元的步骤:变形一个方程,用含一个未知数的式子表示另一个未知数,再代入另一个方程求解。安排不同难度层次的练习题,让学生逐步掌握代入消元法。先从简单直接的方程组开始,再过渡到需要适当变形的题目,及时给予反馈和指导。 温故知新 1.下列方程是二元一次方程吗? (1)x+3y=7;(2)2y+2=0;(3)2x-3=5;(4)-=1。 2.你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗? 3.解一元一次方程的步骤是什么? 新知初探 探究一　代入消元法解二元一次方程组 活动1:在上一节的种植问题中,要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植,就需要解方程组 问题1:两个方程中的未知数x有什么关系?未知数y呢? 问题2:未知数x与未知数y之间满足什么关系?你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗? 问题3:你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗?与同伴进行交流。 教师活动:引导学生尝试解方程组 由①,得y=x-2。③ 由于方程组中相同的未知数表示同一对象,所以方程②中的y也等于x-2, 可以用x-2代替方程②中的y。于是有 x+1=2(x-2-1)。④ 解一元一次方程④,得x=7。 再把x=7代入③,得y=5。 这样,我们就得到二元一次方程组的解 因此,小明栽种了7株绿植,小颖栽种了5株绿植。 活动2:探索与归纳: (1)给前面解方程组的方法取个什么名字好? (2)解方程组的基本思路是什么? (3)解方程组的主要步骤有哪些? 代入消元法:将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。 基本思路:“消元”——把“二元”变为“一元”。 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法,其主要步骤: 第一步:在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程,将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。 第二步:把此代数式代入没有变形的另一个方程中,可得一个一元一次方程。 第三步:解这个一元一次方程,得到一个未知数的值。 第四步:回代求出另一个未知数的值。 第五步:把方程组的解表示出来。 第六步:检验,即把求得的解代入每一个方程看其是否成立。 意图说明 通过利用一元一次方程解决实际问题引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力。通过问题罗列及小组讨论,让学生发挥学习的主动性,同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯。 探究二　例题讲解 例1 解方程组: 解:将②代入①,得3(y+3)+2y=14, 　3y+9+2y=14, 　　　　 5y=5, 　　　　　y=1。 将y=1代入②,得x=4。 所以原方程组的解是 例2 解方程组: 解:由②,得x=13-4y。③ 将③代入①,得2(13-4y)+3y=16, 　 26-8y+3y=16, 　　　　-5y=-10, 　　　　　　y=2。 将y=2代入③,得x=5。 所以原方程的解是 意图说明 通过教师对两个例题的讲解,再加上合理归纳,学生可以加深对“消元”的印象,并牢记正确的解题顺序,理解“消元”的步骤。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 代入消元法 1.解二元一次方程组的基本思路　　2.解方程组的主要步骤 3.例题讲解 教学反思 第2课时　加减消元法 课标摘录 1.掌握消元法,能解二元一次方程组。 2.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 素养目标 1.掌握用加减消元法解二元一次方程组。 2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。 3.选择恰当的方法解二元一次方程组,培养学生的观察、分析能力。 教学重难点 重点:用加减消元法解二元一次方程组。 难点:使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。 教学策略 本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法并能利用加减消元法解二元一次方程组,是提升学生求解二元一次方程组的基本技能课,在例题的设置上充分体现化归思想。在学习二元一次方程组的解法中,关键是领会其本质思想——消元,体会“化未知为已知”的化归思想。因而在教学过程中教师通过对问题的创设,鼓励学生去观察方程的特点,在巩固训练中提高学生解答的正确率和规范性,提升学生学习数学的信心,激发学习数学的兴趣。 情境导入 同学们,你能用前面学过的代入消元法解下面的二元一次方程组吗? (1)用x表示y怎样解? (2)用y表示x怎样解? 思考: 除了上面的两种方法,你能用其他比较简单的方法来做吗? 观察:(1)上面的方程组,未知数y的系数有什么特点? (2)除了代入消元,你还有什么办法消去y呢? 引导:把方程组中①+②得到5x=10,x=2,将x=2代入①,得6+5y=21,y=3。 所以方程组的解是 新知初探 探究　加减消元法解二元一次方程组 活动1:解方程组 分析:观察到方程①,②中未知数x的系数相等,可以利用两个方程相减消去未知数x。 解:②-①,得8y=-8, 　　　　　　y=-1。 把y=-1代入①,得2x+5=7, 　　　　　　　　　　　x=1。 所以原方程组的解为 师生活动:解答完本题后,口算检验,让学生养成进行检验的习惯,同时教师需强调以下两点: (1)注意解此题的易错点是②-①时是(2x+3y)-(2x-5y)=-1-7,方程左边去括号时注意符号。另外解题时,①-②或②-①都可以消去未知数x,不过在①-②得到的方程中,y的系数是负数,所以在上面的解法中选择②-①; 把y=-1代入①或②,最后结果是一样的,但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值. 活动2:解方程组 师生活动:先留一定的时间让学生观察此方程组,让学生说明自己观察到的方程有什么特点,能不能自己解决此方程组,用什么方法解决?若学生提出用代入消元法,可以让学生先按此法完成,然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决?让学生讨论尝试。 教师引导:二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1,或同一个未知数的系数刚好相同或相反。我们遇到的往往就是这样的方程组,我们要想比较简捷地把它解出来,就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形,从而用加减消元法,达到消元的目的。请大家把解答过程写出来。 解:①×3,得6x+9y=36。　③ ②×2,得6x+8y=34。　④ ③-④,得y=2。 将y=2代入①,得x=3。 所以原方程组的解是 活动3:思考·交流 根据上面几个方程组的解法,请同学们思考下面两个问题: (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些? (由学生分组讨论、总结并请学生代表发言) 师生共析: (1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。 (2)用加减法解二元一次方程组的主要步骤是 ①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数,然后分别在两个方程的两边同乘适当的数,使该未知数的系数相等或互为相反数。 ②加减消元,得到一个一元一次方程。 ③解一元一次方程。 ④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程,求出另一个未知数的值,从而得方程组的解。 意图说明 让学生经历合作探究的过程通过观察、发现,得到新的解二元一次方程组的方法——加减消元法,培养学生发现问题、解决问题的能力。通过例题和练习,体会加减消元法的基本特点,熟悉加减消元法的基本步骤,提升用加减消元法解二元一次方程组的基本技能,积累解二元一次方程组的经验。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 加减消元法 1.加减消元法消元的概念　　　　　　　　　　　2.加减消元法解方程组的步骤 3.会用适当的方法解二元一次方程组 教学反思 3　二元一次方程组的应用 第1课时　和差倍分问题 课标摘录 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 4.建立模型观念。 素养目标 1.能分析现实问题中的数量关系,建立方程组解决实际问题。 2.经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画数量关系的有效数学模型,发展模型思想和应用意识。 3.通过解决中国古代数学书籍中的趣题,感受中华民族独特的数学智慧,增强文化自信和民族自豪感。 教学重难点 重点:根据等量关系列出二元一次方程组解决实际问题。 难点:1.读懂古算题。 2.根据题意找出等量关系,列出方程组。 教学策略 本着以学生自主学习为主体、教师引导点拨为主导的教学原则,采用“问题情境——建立模型——解释——应用与拓展”的模式展开教学。充分利用实际问题、古代的趣题,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性;利用多媒体课件和实物等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示所学内容;强调学生的动脑思考和主动参与,通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促进自主探究。 情境导入 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题: 今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? (1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能根据(1)中的等量关系列出方程组吗? (3)你能解决这个有趣的问题吗? 新知初探 探究一　鸡兔同笼问题 活动1:解法一:假设推理 解:如果都是鸡,35头应该有70只脚,实际有94只脚,多出24只脚,应该是兔子的,每只兔子多两只脚,所以兔子应该有12只,所以鸡有35-12=23(只)。 解法二:用一元一次方程求解 解:设笼中有鸡x只,则有兔(35-x)只,得2x+4(35-x)=94,解得x=23. 所以35-x=12。 所以笼中有鸡23只,兔12只。 解法三:用二元一次方程组求解 解:设笼中有鸡x只,兔y只,则依题意,列方程组,得 解这个方程组,得所以笼中有鸡23只,兔12只。 归纳小结: 用二元一次方程组解答的优点:相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解,更快速简单;用二元一次方程解答的不足:计算较复杂,费时间。 意图说明 体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程,通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组,思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。 探究二　和差倍分问题 活动2:尝试·思考 列方程组求解下面的问题: 若甲从乙处得到7个钱币,则甲拥有的钱币数是乙的5倍;若乙从甲处得到5个钱币,则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币?(选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》) 问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 问题2:你能列方程解决这个问题吗?你是怎样做的?与同伴进行交流。 活动3:今有甲、乙怀钱,各不知其数。甲得乙十钱,多乙余钱五倍。乙得甲十钱,适等。问甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》) 题目大意:甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱,那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍;如果乙得到甲的10钱,那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱? 分析:题目涉及哪些数量关系?你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗? 解:设甲带的钱数为x,乙带的钱数为y,根据题意,得 解这个方程组,得 所以,甲带了38钱,乙带了18钱。 活动4:思考·交流 1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系?与同伴进行交流。 2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程,请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤: ①审:通过审题找出等量关系; ②设:用字母表示题目中的两个未知数; ③列:依据找到的等量关系,列出方程组; ④解:解方程组,求出未知数的值; ⑤验:检验所得的解是否是方程组的解,并且要检验其是否符合实际问题的意义; ⑥答:回答题目中要解决的问题,注意单位名称。 意图说明 通过习题的讲解与练习进一步巩固列二元一次方程组解应用题的思想,以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 和差倍分问题 1.鸡兔同笼问题　　　　　　　　　　　　　　　2.和差倍分问题 教学反思 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第2课时　借助表格解决实际问题 课标摘录 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 4.建立模型观念。 素养目标 1.能运用列表法分析数量关系。 2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。 3.掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。 教学重难点 重点:学会用表格分析较复杂的数量关系问题。 难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型;学会用表格分析数量关系。 教学策略 本节课通过情境创设引出课题,对本节课要用到的数量关系加以铺垫;再通过对一道例题的精讲精练使学生学会借助表格分析较为复杂问题中的数量关系,并能建立方程组解决问题;然后,通过让学生自己编题培养学生的逆向思维,发展学生运用数学解决问题的自主意识;紧接着,带领学生对本节课所学的知识进行梳理;最后,通过练习进行针对性巩固,让学生感悟到数学来源于生活且服务于生活,增收节支对理财观念的形成至关重要。 情境导入 新年来临,爸爸想送小明一个书包和学习机作为礼物。爸爸对小明说:“我在甲、乙两个商场发现同款的学习机的单价相同,书包单价也相同,学习机和书包单价之和是1 072元,且学习机的单价比书包单价的8倍少8元,你能说出学习机和书包单价各是多少元,那么我就买给你做新年礼物”。你能帮助他吗? 新知初探 探究一　借助表格解决实际问题 活动1:问题探究 某工厂前年的总利润(总收入—总支出)为200万元。去年的总收入比前年增加了20%,总支出比前年减少了10%,去年的利润为780万元。前年的总收入、总支出各是多少万元? 提炼问题 (1)若该厂前年的总收入是x万元,去年的总收入比去年增加了20%,则去年的总收入是　(1+20%)x　万元;  (2)若该厂前年的总支出为y万元,去年的总支出比前年减少了10%,则去年的总支出是　(1-10%)y　万元;  (3)该厂去年的利润为780万元,那么由(1),(2)可得方程　(1+20%)x-(1-10%)y=780　。  把分析的信息用表格表示如下表 设前年的总收入为x万元,总支出为y万元, 则有 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 前年 x y 200 去年 (1+20%)x (1-10%)y 780 根据上表,可以列出方程组　　。  解这个方程组,得　　。  因此,前年的总收入为　2 000万元　,总支出为　1 800万元　。  活动2:我来出题 编一道应用题,使得其中的未知数满足方程组: 意图说明 使学生初步学会设计适当的图表,帮助理清题目中的数量关系,从而提高学生分析问题和解决问题的能力。在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能。 探究二　例题讲解 例题 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要? 分析:设每餐需用甲、乙原料各x g,y g.则有 成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35 其中所含铁质 x 0.4y 40 解:设每餐用甲原料x g、乙原料y g, 根据题意,得解这个方程组,得 所以,每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要。 活动3:思考·交流 在列方程组解决问题时,如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会?与同伴进行交流。 意图说明 通过例题让学生由感知表格到认知表格的过程中,再次体验用表格分析问题的方法及一般步骤,先让学生尝试利用表格分析问题,再由教师根据课堂效果及时点拨、引导、师生共同借助表格分析问题,在此基础上教师明晰用表格分析问题的方法。本环节建立表格是本节课的难点,教师组织学生小组合作完成任务,教师在巡视过程中要指导学生通过找关键词,建立表格,梳理信息。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 借助表格解决实际问题 教学反思 第3课时　借助图形、图示解决实际问题 课标摘录 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法,能解二元一次方程组。 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。 4.建立模型观念。 素养目标 1.能借用图形、图示解决实际问题。 2.归纳列方程组解决实际问题的一般步骤。 3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会模型观念,发展应用意识。 教学重难点 重点:能借用图形、图示解决实际问题。 难点:准确分析确定具体情境的等量关系,能正确将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型。 教学策略 本节课借助多媒体课件,动态演示8块小长方形墙砖拼成大长方形的过程,以及火车进入隧道、在隧道中行驶、驶出隧道的过程,帮助学生更直观地理解问题,突破教学难点。利用线段图直观呈现火车行驶路程与隧道长度、火车长度之间的关系,使抽象的数量关系变得清晰易懂。在解决完两个实际问题后,引导学生总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤,培养学生的归纳总结能力和数学建模思想。让学生分享在解决问题过程中的收获和体会,加深对知识的理解和掌握。 情境导入 如图所示,8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少? 问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 问题2:你能列方程组解决这个问题吗? 师生分析:设每块墙砖的长为x cm,宽为y cm,根据题意可得解这个方程组可求得x,y的值,即可解题。 解:设每块墙砖的长为x cm,宽为y cm, 则根据题意,得 解这个方程组,得 答:每块墙砖的长为30 cm,宽为10 cm。 新知初探 探究　借助图形、图示解决问题 活动1:火车以40 m/s的速度经过一个隧道,从车头进入隧道到车尾驶出隧道,共用时30 s,其中火车全身都在隧道里的时间是20 s,求隧道和火车的长度。 分析:本题涉及哪些量?你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗?这种情况下,火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系?类似地,对于“火车全身都在隧道里”的情形,相信你也可以得到相应的关系! 解:“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图52、图53表示。 图52 图53 设隧道的长度为x m,火车的长度为y m,根据题意,得 解这个方程组,得 所以,隧道和火车的长度分别是1 000 m和200 m。 活动2:思考·交流 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴进行交流。 意图说明 生动的情境引入,将学生带入生活中的数学,激发学生学习的兴趣。把这个复杂的图形问题、行程问题进行分解,使解题思路清晰,列出方程,从而顺利地解决这个较复杂问题。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 借助图形、图示解决实际问题 列二元一次方程组解决实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答 教学反思 4　二元一次方程与一次函数 第1课时　二元一次方程与一次函数的关系 课标摘录 体会一次函数与二元一次方程的关系。 素养目标 1.体会一次函数和二元一次方程的关系。 2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组,发展几何直观。 3.发展学生数形结合的意识和能力,使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。 教学重难点 重点:二元一次方程和一次函数的关系,能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。 难点:数形结合和数学转化的思想意识。 教学策略 利用动画展示二元一次方程的解在坐标系中动态形成直线的过程,以及一次函数图象随参数变化的情况,直观呈现两者关系,帮助学生理解。把知识拓展延伸到二元一次方程组与一次函数图象交点坐标的关系,引导学生思考如何通过函数图象求解方程组,提升学生知识综合运用能力。 情境导入 数学王国举行了家庭聚会,各个成员按照自己所在的家庭就座,这时来了“x+y=5”它应该坐在哪里呢? 投票小活动 二元一次方程　　　一次函数 引出本节课的主题——二元一次方程与一次函数的关系。 新知初探 探究　二元一次方程与一次函数的关系 活动1:二元一次方程与一次函数的关系 以方程x+y=5为例,将其变形为一次函数y=-x+5的形式,让学生观察变形过程,总结出一般的转化方法。 (1)方程x+y=5的解有多少个?其中的几个(x=0　y=5,x=2　y=3……)。 (2)x+y=5看成一个一次函数,变成y=kx+b的形式是　y=-x+5　;  (3)画出y=-x+5的图象 x 0 5 y=-x+5 5 0 追问(1):以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗?(都在) 追问(2):在一次函数y=-x+5的图象上任取一点, 它的坐标适合方程x+y=5吗?(适合) 追问(3):以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗?(相同) 归纳总结: 利用多媒体课件展示多个二元一次方程及其对应的一次函数图象,引导学生观察图象上的点与方程的解之间的对应关系,得出结论:二元一次方程的每一组解都对应着一次函数图象上的一个点,反之亦然。 活动2:图象法求解二元一次方程组 利用图象法求解二元一次方程组的原理:方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 以方程组为例,利用消元法,解方程组得出交点坐标(2,3)就是方程组的解 活动3:思考·交流 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系?方程组解的情况如何?你发现了什么?与同伴进行交流。 学生分组讨论:二元一次方程的解和相应的两条直线的关系 (1)观察发现直线平行无交点; (2)小组研究计算发现方程组无解; (3)从侧面验证了两直线有交点,对应的方程组有解,反之也成立。 意图说明 由情境引入方程和函数的相关知识,后面才引入课题,设置一个悬念,抓住学生的好奇心。方程和函数、解和有序数对分别呈现在黑板上,左右对照,给学生明确的引导方向去思考方程与函数的关系。独立思考、小组讨论、教师帮助规范语言。再由PPT直观呈现解和图象上的点坐标的对应关系。使学生可以体会到二元一次方程的解和一次函数图像上的点的坐标是一一对应的关系。使学生初步体会“数”(二元一次方程组)与“形”(两条直线)之间的对应关系,为求两条直线的交点坐标打下基础。突出重点,并从中体会数学的转化思想和数形结合思想。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 二元一次方程与一次函数的关系 1.二元一次方程与一次函数的关系　　　　2.图象法求解二元一次方程组 3.小结 教学反思 第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式 课标摘录 体会一次函数与二元一次方程的关系。 素养目标 1.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系。 2.从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。 教学重难点 重点:掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系。 难点:从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。 教学策略 本节课先通过创设情境,回顾二元一次方程组与一次函数的关系,从而引入新课。然后用三种不同的方法解决实际问题,通过这样设计,了解解决实际问题时从不同角度思考问题,就会得到不一样的方法,从而拓展自己的思维。接下来,讲解例题,加深用待定系数法确定一次函数表达式的理解,最后,通过一系列的练习来巩固本节课所学的知识点。 情境导入 在某地,人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系,下面是蟋蟀1分钟所叫次数与温度变化情况对照表: 蟋蟀1分钟所叫次数 … 84 98 119 … 温度(℃) … 15 17 20 … (1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗? (2)如果蟋蟀1分钟叫了63次,那么该地当时的温度约为多少? 新知初探 探究一　用二元一次方程确定一次函数表达式 活动:A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。假设他们都匀速骑行,则他们各自与A地之间的距离s(单位:km)都是骑行时间t(单位:h)的一次函数。骑行1 h乙距离A地 80 km;骑行2 h甲距离A地30 km。 问:经过多长时间两人相遇?说出你的方法,并与同学们交流。 小亮:可以分别画出两人s与t之间关系的图象,找出两个图象交点的横坐标就行了! 小明:对于乙,s是t的一次函数,可设s=kt+b。当t=0时,s=100;当t=1时,s=80。将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,即可以求出乙的s与t之间的函数表达式为s=-20t+100。同样可以求出甲的s与t之间的关系式,再联立这两个关系式,求解方程组就行了! 答:因为甲为正比例函数,设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30,即30=2k,k=15,所以s=15t。 联立,得解得 所以,经过 h后两人相遇。 小颖:骑行1 h乙距离A地80 km,即乙的速度是20 km/h,骑行2 h甲距离A地30 km,即甲的速度是15 km/h,设经过t h后两人相遇,则15t+20t=100, 所以t=,即经过 h后两人相遇。 探究交流 在以上的解题过程中你受到什么启发? 小亮:用图象法可以解决问题。 小明:用列方程组的方法可以解决问题。 小颖:用一元一次方程的方法可以解决问题。 用画图象的方法可以直观地获得结果,但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果,我们一般用代数方法。 意图说明 通过交流讨论,培养学生独立思考问题、解决问题的能力,培养学生思维的严密性和灵活性。通过实际问题情境,进一步加强函数与方程的联系,让学生体会画图象的方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫,同时也认识到知识之间有着广泛的联系。 探究二　例题讲解 例题 在某汽车客运站,乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李,超过该质量需购买行李票,且行李费y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数。已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元。 (1)写出y与x之间的关系式; (2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李? 解:(1)设y=kx+b,根据题意,得 解这个方程组,得 所以y=x-5。 (2)令y=0时,即x-5=0,解得x=30; 当x>30时,y>0。 所以,每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。 归纳总结:像这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法。 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤 1.设:用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b。 2.代:将已知条件代入上述表达式中得到关于k,b的二元一次方程组。 3.解:解这个二元一次方程组得k,b。 4.求:代入k,b的值,求出一次函数的表达式。 意图说明 通过对例题的探索,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法;在设计本例题时,考虑到两种基本类型的题目:一种是利用文字提供的信息,一种是利用图象提供的信息。前面已解决了图象信息的题目,本例题主要解决文字信息的题目,进一步强化学生数形结合的思想。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 用二元一次方程组确定一次函数表达式 1.二元一次方程与一次函数的关系 2.图象方法与代数方法各自的特点 3.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤 教学反思 *5　三元一次方程组 课标摘录 能解三元一次方程组。 素养目标 1.了解三元一次方程组的概念。 2.会用“消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决。 3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 教学重难点 重点:会用“消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决。 难点:在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想。 教学策略 通过生活中三种货币的总额,构建一个需要用三元一次方程组解决的情境,让学生感受到数学与生活的紧密联系,从而激发学生的学习兴趣和探究欲望。再对比二元一次方程组,引导学生类比思考三元一次方程组的定义,强调“三元”即三个未知数,“一次”指含未知数的项的次数都是1,且方程是整式方程。继续对得到的二元一次方程组进行消元,转化为一元一次方程求解。解出一元一次方程后,再将结果代回二元一次方程组求出另一个未知数,最后将这两个未知数的值代回原三元一次方程组求出第三个未知数。最后总结消元的一般步骤和技巧。 情境导入 老师手中有10张面额分别是1元,5元,10元的纸币,共计44元,其中1元的纸币比10元的纸币多2张。你能猜出老师手中有1元,5元,10元的纸币各多少张吗? 新知初探 探究一　三元一次方程组 活动1:《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?” 题目大意:有上禾3束,中禾2束,下禾1束,可得米39斗;上禾2束,中禾3束,下禾1束,可得米34斗;上禾1束,中禾2束,下禾3束,可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗? 　　在这个问题中,设每束上禾可得米x斗,每束中禾可得米y斗,每束下禾可得米z斗,根据题意可得方程组: 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系? 观察方程3x+2y+z=39,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26 问题1:它们有什么共同特点? 它们都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1。 问题2:类比二元一次方程,你能说出这三个方程是什么方程吗? 是三元一次方程。 问题3:你能得出什么是三元一次方程组的解吗? 三元一次方程组中各个方程的公共解。 归纳总结: 像这样,共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组。 三元一次方程组必须满足的三个条件: 1.共含有三个不相同的未知数。 2.未知数的项的次数都是1。 3.共有三个一次方程。 注意: 三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数,只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程,就是三元一次方程组。 活动2:尝试·思考 1.怎样解上述这个三元一次方程组呢? 2.解二元一次方程组的基本思路是什么?你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗?请你试一试? 意图说明 通过问题情境,使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,强调审题抓住的三个等量关系,从而表示成三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这三个方程联立起来,引出三元一次方程组的概念。 探究二　例题讲解 例题 解方程组:　　 解:由①得,z=39-3x-2y。　　　　　　　 ④ 把④分别代入②③并化简,得 　　　　　　x-y=5,　　　　　　　 ⑤ 　　　　　　8x+4y=91。　　　　 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得 把x=,y=代入④,得z=。 经检验,x=,y=,z=适合原方程组。 所以原方程组的解是 活动3:尝试·交流 (1)在解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数x(或y),从而得到方程组的解吗? (2)你还有其他方法吗?与同伴分享各自的解法,并思考不同方法之间的区别和联系。 活动4:思考·交流 回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程,说说求解三元一次方程组的基本思路,并与同伴进行交流。 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”,再化为“一元”。 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组 意图说明 通过代入消元法和加减消元法解三元一次方程组,使学生理解,解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。同时理解一个问题可以有不同的解决途径。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 三元一次方程组 1.三元一次方程与三元一次方程组的概念　　　　　2.三元一次方程组的解 3.解三元一次方程组的思路 教学反思 ☆问题解决策略:逐步确定 课标摘录 1.经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念。 2.能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力。 素养目标 1.让学生理解并掌握“逐步确定”的问题解决策略,能运用该策略分析和解决实际问题。 2.培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力和有条理的表达能力。 3.激发学生对数学问题的探究兴趣,体会数学在生活中的广泛应用。 教学重难点 重点:理解“逐步确定”策略的内涵,掌握运用该策略解决问题的步骤。 难点:能根据具体问题情境,灵活运用“逐步确定”策略,找到解决问题的思路。 教学策略 情境教学法:通过创设生活中的实际问题情境,让学生在具体情境中感受问题,激发学习兴趣。 小组合作法:组织学生小组讨论、合作探究,培养学生的合作能力和交流能力。 启发式教学:在教学过程中,通过提问、引导等方式启发学生思考,帮助学生逐步掌握策略。 情境导入 周末,小明一家准备去超市购物,妈妈列了一张购物清单,上面有水果、蔬菜和日用品三类物品。水果有苹果、香蕉、橙子可选;蔬菜有白菜、萝卜、西红柿可选;日用品有牙膏、洗发水、沐浴露可选。妈妈要求小明每种物品只能选一样,且预算有限。那么小明该如何选择才能满足妈妈的要求呢? 新知初探 探究　问题解决策略:逐步确定 问题:今有物不知其数:三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?(选自《孙子算经》) 你知道物品最少有多少个吗? 活动1:理解问题 (1)你能用自己的语言叙述一下这个问题吗? (2)所求物品的个数应同时满足哪些条件? 学生活动:学生讨论,交流,寻找解决问题的途径,并得出正确结论。 活动2:拟订计划 (1)解决这个问题你有什么困难? (2)怎样逐步满足每个条件呢?写出你的方案,并与同伴进行交流。 师生活动:给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨。 活动3:实施计划 (1)找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数,需要符合三个条件:①除以3余2;②除以5余3;③除以7余2。 (2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,…(A) 在(A)中,符合条件②的正整数有8,23,38,…(B) 在(B)中,符合条件③的正整数有23,… 因此,同时满足三个条件的最小正整数是23。所以,物品最少有23个。 活动4:回顾反思 (1)通过解决上述问题,你对“逐步确定”的策略有怎样的认识? (2)在以往的学习中,还有哪些问题的解决实际上采用了“逐步确定”的策略? 归纳总结: 采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程:根据题意找出问题的解需要满足的各个条件;按照某个顺序,逐步满足这些条件,最终确定问题的解。 意图说明 让学生初步体会“逐步确定”的过程,从简单的问题入手,逐步增加问题的复杂性,帮助学生理解该策略的基本操作方法,培养学生有序思考和全面分析问题的能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 ☆问题解决策略:逐步确定 1.情境导入　　　　2.问题解答　　　　　3.变式练习　　　4.归纳总结 教学反思 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第六章　数据的分析 1.理解平均数、中位数、众数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,知道它们是对数据集中趋势的描述。 2.体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的离差平方和、方差。 3.经历数据分类的活动,知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法。 4.会计算四分位数,了解四分位数与箱线图的关系,感悟百分位数的意义。 5.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 6.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 本单元内容涵盖数据集中趋势(平均数、中位数、众数)和离散程度(方差等)的度量。平均数包含算术平均数与加权平均数,体现数据的平均水平;中位数是排序后中间位置的数值,不受极端值影响;众数为出现次数最多的数据,反映数据的集中情况。方差是通过计算数据与平均数的偏离程度,刻画数据的离散程度。此外,还涉及数据分类及四分位数、百分位数等内容,拓展对数据的理解与分析维度。通过本单元的学习能培养学生数据分析观念,使其学会从数据中提取有价值的信息,作出合理判断与预测。在探索数据特征和分析方法过程中,锻炼逻辑思维能力和运算能力。通过解决实际问题,体会数学的应用价值,增强对数学的学习兴趣和信心,促进学生数学学科核心素养的发展。 1.进一步经历数据的收集与处理的过程,发展数据分析观念和数据分析处理能力。 2.能通过分析数据解决简单的实际问题,形成一定的解决问题能力,进一步体会数学的应用价值,发展应用意识。 3.在统计活动中发展合作交流的意识与能力。 4.理解平均数、中位数、众数的概念,会求一组数据的平均数、中位数、众数,了解它们是对数据集中趋势的描述;能从条形统计图、折线统计图、扇形统计图等统计图中获取信息,求出相关数据的平均数、中位数、众数;能用计算器求一组数据的平均数。 5.知道权的差异对平均数的影响,能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象;了解平均数、中位数、众数的差别,体会它们在不同情境中的应用。 6.经历探索表示数据离散程度的过程,体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差;能用计算器处理较为复杂的数据,解决简单的实际问题。 7.经历数据分类的活动,知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法。 8.会计算四分位数,了解四分位数与箱线图的关系,感悟百分位数的意义。 重点:计算平均数等统计量,理解其意义;计算方差等刻画离散程度的量。 难点:理解数据离散程度的意义;按组内离差平方和最小原则分类;理解四分位数、百分位数的意义及与箱线图的关系。 1　平均数与方差 第1课时　平均数与众数 课标摘录 1.理解平均数、众数的意义,能计算平均数、众数,知道它们是对数据集中趋势的描述。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解算术平均数、众数的概念,会求一组数据的算术平均数和众数。 2.经历用平均数描述数据集中趋势的过程,发展数据分析观念。 3.通过使用平均数和众数解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系。 教学重难点 重点:能求算术平均数和众数。 难点:能熟练求出一组数据的算术平均数和众数。 教学策略 为了帮助学生更好地理解概念、掌握计算方法并能够灵活应用,设计了以下教学策略。通过四人射击训练成绩引入概念,激发兴趣,利用图表、动画展示数据分布,帮助学生理解概念,该策略注重概念理解、实际应用和学生的主动参与,旨在提高教学效果。 情境导入 小松鼠对小马说:这条河平均水深1米,太危险了。小马说:我的身高已经长到1米5了,上一次都轻松过河了,这次就更没有问题了。 请问小马过河有危险吗? 新知初探 探究一　众数和算术平均数 活动1:在某次射击训练中,甲、乙、丙、丁四人的成绩如图61所示。 图61 问题: (1)观察统计图,甲的哪个射击成绩出现次数最多?其他选手呢? (2)不计算,请你尝试判断谁的射击成绩最好。你是怎么判断的? (3)算一算,验证你的判断是否正确。 学生活动:学生先独立思考,计算出平均数,然后再小组交流。各小组之间竞争回答,答对的加分,给予鼓励。 预设学生答案:(1)甲8环射击成绩出现次数最多,乙7环射击成绩出现次数最多,丙9环射击成绩出现次数最多,丁6、10环射击成绩出现次数最多。 (2)观察统计图,丙的射击成绩中9环和10环的次数相对较多,且成绩分布相对集中在较高环数,所以初步判断丙的射击成绩最好。 (3)经过计算甲和丁的平均射击成绩是8环,乙的平均射击成绩小于8环,丙的平均射击成绩约为8.7环,所以丙的射击成绩最好。 归纳总结:一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数(mode)。例如,甲射击成绩的众数是8环,丁射击成绩的众数是6环和10环。 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数,就得到这组数据的算术平均数(mean),简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标,反映了一组数据的“中心”。 一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫作这n个数的算术平均数,简称平均数,记为。 活动2:思考·交流 问题: (1)一组数据的平均数一定在这组数据中吗? (2)如果甲又射击一次,意外脱靶,成绩为0环,那么这时甲的平均成绩会发生什么变化? (3)在某些比赛评分时,常常去掉一个最高分和一个最低分,然后计算平均成绩,你能说说这样做的好处吗?与同伴进行交流。 预设学生答案: (1)一组数据的平均数不一定在这组数据中。 (2)甲的平均成绩会降低,因为加入了一个数值为0的极端值,拉低了整体的总和,在数据个数增加的情况下,平均成绩变小。 (3)去掉最高分和最低分能减少异常评分对最终成绩的过度影响,使成绩更能反映选手的真实水平。 意图说明 通过让学生分组探究,竞争回答问题,进一步探索出算术平均数的概念,激发学生的积极性,让学生体会算术平均数的现实意义。 探究二　平均数、众数的应用 活动3:某店铺一种商品10天的销售量及顾客对店铺的评分如图62和图63所示。 图62　图63 (1)请你计算这种商品10天的平均销售量。 (2)顾客对店铺评分的众数是多少?顾客对店铺评分的平均数呢? 解:(1)根据平均数计算公式可得: (121+138+156+148+152+141+128+130+125+122)÷10=136.1(件) 所以,这种商品10天的平均销售量是136.1件。 (2)从图63可知,评分为3分的人数为836人,占比83.6 %,人数最多。所以,顾客对店铺评分的众数是3分。 由图63可知,评1分的有10人,评2分的有32人,评3分的有836人,评4分的有101人,评5分的有21人。总人数为10+32+836+101+21=1 000(人),根据算术平均数公式可得: (1×10+2×32+3×836+4×101+5×21)÷1 000 =(10+64+2 508+404+105)÷1 000 =3 091÷1 000 =3.091(分) 所以,顾客对店铺评分的平均数是3.091分。 活动4:回顾·反思 从统计图中获取众数、平均数,你有哪些经验? 意图说明 让学生理解众数和算术平均数的概念,能熟练计算出一组数据的众数和算术平均数,探究众数和算术平均数在实际生活中的应用。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 平均数与众数 1.众数的概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.算术平均数的概念 3.算术平均数的计算 教学反思 第2课时　加权平均数 课标摘录 1.理解平均数的意义,能计算加权平均数,知道它是对数据集中趋势的描述。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解加权平均数的概念及其与算术平均数的区别。 2.掌握加权平均数的计算方法。 3.体会加权平均数在生活中的应用价值,增强学习数学的兴趣。 教学重难点 重点:加权平均数的概念及计算方法。 难点:理解“权”的意义,并能根据实际问题确定权重。 教学策略 本节课通过生活实例引入加权平均数的概念,利用图表和实例帮助学生理解权重的作用。通过小组讨论和实际问题分析,深化对加权平均数的理解。设计不同难度的练习题,满足不同学生的学习需求。最后引导学生总结加权平均数的特点及应用场景。 情境导入 假设学生甲的平时成绩是80分,期中成绩是85分,期末成绩是90分,如果老师希望计算学生的期末总评成绩时,平时成绩占30 %,期中成绩占20 %,期末成绩占50 %,该如何计算? 新知初探 探究一　加权平均数 活动:某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗,虾仁鲜肉馄饨15元/碗,荠菜鲜肉馄饨12元/碗,玉米鲜肉馄饨10元/碗,香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨,其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个,荠菜鲜肉馄饨2个,玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理?你是怎么想的?与同伴进行交流。 尝试·交流 小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 =11.4(元)。 问题1:你认为他的算法合理吗?为什么?与同伴进行交流。 问题2:如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个,虾仁鲜肉馄饨3个,荠菜鲜肉馄饨2个,玉米鲜肉馄饨 1个,香芹鲜肉馄饨 1个,那么该如何定价呢?若每种馄饨各2个,又该如何定价呢? =13.4(元)。 若每种馄饨各2个,定价为=12.4(元)。 问题3:你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关? 归纳总结:在很多实际问题中,一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”。例如,在一碗上述第一种“全家福”馄饨中,不同馅料的馄饨个数不同,影响着这碗“全家福”馄饨的定价,因此不同馅料馄饨的占比就是权,我们称为上述第一种“全家福”馄饨五种馄饨价格的加权平均数。 想一想,加权平均数和算术平均数有什么区别和联系? 意图说明 通过对加权平均数概念的解析,帮助学生理解“权”的意义,并能根据实际问题确定权重,使学生初步理解加权平均数的计算方法。 探究二　例题讲解 例题 某校进行广播体操比赛,评分包括以下几项(每项满分10分):服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐。其中三个班的成绩分别如下: 班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 9 8 9 8 二班 10 9 7 8 三班 8 9 8 9 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,20%,30%,40%的比例计算各班的广播体操比赛成绩,那么哪个班的成绩最高? 解:一班的成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分); 二班的成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分); 三班的成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分)。 所以,三班成绩最高。 在例题中,你认为哪个评分项更为重要?请按自己的想法设计一个评分方案,并与同伴进行交流。 思考·交流 问题1:已知A,B两家网站用户的日人均上网时间分别是2 h和1 h,这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2+1)÷2=1.5(h)吗?为什么?与同伴进行交流。 问题2:设A,B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h,A,B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人,你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗? 分析:A,B两家网站所有用户的日人均上网时间为 h,它不是两个网站各自用户日人均上网时间a h 和b h的算术平均数,而是a h,b h的加权平均数a+b h,权,反映了两家网站用户的分布情况。这是分布式计算的最简单形式,对于多个网站也可以类似计算。在大数据时代,分布式计算具有广泛的应用。 意图说明 通过例题的讲解,让学生能根据实际问题确定权重,使学生熟练掌握加权平均数的计算方法。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 加权平均数 1.加权平均数的概念　　　　　　　　　　　　　2.加权平均数与算术平均数的区别 3.例题讲解 教学反思 第3课时　方差 课标摘录 1.体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的方差。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解方差的定义及其统计学意义,掌握方差的计算方法。 2.能够通过方差分析数据的离散程度。 3.体会方差在实际生活中的应用价值,增强学习数学的兴趣。 教学重难点 重点:方差的概念及计算方法。 难点:理解方差的意义及其与数据离散程度的关系。 教学策略 本节课通过生活实例引入方差的概念,利用图和实例帮助学生理解方差的意义。通过小组讨论和实际问题分析,深化对方差的理解。设计不同难度的练习题,满足不同学生的学习需求。最后引导学生总结方差的特点及应用场景。 情境导入 某学校要选拔一名学生参加市级数学竞赛,两名候选人在最近的五次模拟测试中成绩(单位:分)如下, 甲:70,85,90,55,95;乙:78,82,80,79,76; 两人五次测试的平均分都是79分,如果只能选择1人参赛,你认为谁更合适?为什么? 新知初探 探究一　方差的概念 活动1:在本节一开始的射击问题中,甲与丁每次的射击成绩如图64所示,他们的平均成绩都是8环,两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击表现有什么评价? 　图64 (1)你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? (2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗?与同伴进行交流。 学生活动:学生先独立思考,然后再小组交流。各小组之间竞争回答,答对的加分,给予鼓励。 教师总结: 在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况。 在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和,即S2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数,即s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+] 其中,是x1,x2,…,xn的平均数。而标准差则是方差的算术平方根。 一般而言,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越稳定。 意图说明 通过实例展示两组数据的分布图,帮助学生直观感受数据的离散程度,帮助学生初步理解方差的意义,加深对方差的概念及计算方法的理解。 探究二　方差或标准差的计算 活动2:计算图64中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环)。 解:=(6+7×3+8×5+9×3+10)=8(环), =[(6-8)2+(7-8)2×3+(8-8)2×5+(9-8)2×3+(10-8)2]=, =≈1.04(环)。 所以,甲射击成绩的标准差约为1.04环。 活动3:思考·交流 问题1:计算图61中丙射击成绩的方差,并对甲、丙的射击成绩进行比较。 解:=(6+7+8×2+9×6+10×3)≈8.69(环), =[(6-8.69)2+(7-8.69)2+(8-8.69)2×2+(9-8.69)2×6+(10-8.69)2×3]≈1.29 从平均数角度比较:=8(环)　=8.69(环),说明丙的平均射击水平比甲高; 从方差角度比较:=　=1.29,<,甲的射击成绩比丙更稳定; 综上,丙的平均射击水平比甲高,但甲的射击成绩比丙更稳定。 问题2:丁又进行了几次射击,这时,他所有射击成绩的平均数没变,但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点?与同伴进行交流。 意图说明 通过直接计算方差,让学生熟悉方差公式的运用,掌握方差的计算步骤。同时,引导学生对比两组数据的方差结果,直观地理解方差大小与数据离散程度的关系,即方差越大,数据越分散;方差越小,数据越集中。这有助于学生建立起对方差这一概念的初步认知,明确方差在描述数据特征方面的作用。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 方差 1.离差平方和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.方差 3.标准差 教学反思 第4课时　组内离差平方和 课标摘录 1.体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的离差平方和、方差。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解方差的概念,掌握方差的计算公式。 2.理解组内离差平方和最小的含义,并能运用其解决实际问题。 3.能够运用方差分析数据,比较不同组数据的离散程度。 教学重难点 重点:方差的计算公式及其应用,组内离差平方和最小的含义及其应用。 难点:理解组内离差平方和最小的含义,并能灵活运用其解决实际问题。 教学策略 用生活实例引入,分析天气特点、球员成绩稳定性、产品质量波动,激发兴趣;结合图表直观展示数据离散程度,帮助学生理解方差概念;设置小组讨论,帮助学生掌握“组内离差平方和达到最小”的方法,巩固知识,锻炼思维,培养合作意识。 情境导入 某日,A,B两地的气温如图65所示: A地 B地图65 (1)不进行计算,说说A,B两地这一天气温的特点。 (2)分别计算这一天A,B两地气温的平均数和方差,所得结果与你刚才的看法一致吗? 新知初探 探究一　方差的应用 活动1:尝试·思考 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中,他们的成绩(单位:cm)如下。 甲:585,596,610,598,612,597,604,600,613,601; 乙:613,618,580,574,618,593,585,590,598,624。 (1)甲、乙的平均成绩分别是多少? (2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少? (3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点? (4)历届比赛成绩表明,成绩达到5.96 m就很有可能夺冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比赛成绩表明,成绩达到6.10 m就能打破纪录,那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢? 解:(1)=(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)÷10=601.6(cm), =(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)÷10=599.3(cm), (2)=65.84;=284.21。 (3)由上面计算结果可知:甲队员的平均成绩较好,也比较稳定,乙队员的平均成绩没有甲队员好,也不稳定。 (4)从平均数分析可知,甲、乙两队员都有夺冠的可能。但由方差分析可知,甲队员成绩比较平稳,夺冠的可能性比乙队员大。但要打破纪录,成绩要比较突出,因此乙队员打破纪录的可能性大,我认为为了打破纪录,应选乙队员参加这项比赛。 意图说明 针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识,课本设计了一个现实生活中的例子,旨在消除学生的这种片面的看法,从而认识到要针对具体情况来分析方差对于问题的影响,体会数据的波动是广泛而有特点的。 探究二　组内离差平方和 活动2:思考·交流 10个苹果的直径如图66所示。 图66 问题1:若想把这10个苹果分成两组,使每组苹果的“个头”差不多,你想怎么分?说说你分组的理由。 问题2:一般情况下,如果想把一组数据分成若干组,使每组组内的数据差距不大,且组与组之间的数据差别明显,那么你认为应遵循怎样的分组原则?与同伴进行交流。 小结: 在统计学里,分组的方法有很多,其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 例题 按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把图66中的10个苹果按直径大小分成两组。 解:将10个数据由小到大排序: 65,69,70,75,76,76,78,80,80,81。 把10个数据分成两组,共有9种情况:第一组1个数据{65},第二组9个数据{69,…,81};第一组2个数据{65,69},第二组8个数据{70,…,81};……;第一组9个数据{65,…,80},第二组1个数据{81}。 以第2种分组情况为例,计算组内离差平方和。其中,第一组有2个数据{65,69},这2个数据的平均数是67,故第一组数据的组内离差平方和S1=(65-67)2+(69-67)2=8;第二组有8个数据{70,75,76,76,78,80,80,81},这8个数据的平均数是77,故第二组数据的组内离差平方和S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90 因此第2种分组情况的组内离差平方和:S=S1+S2=8+90=98。 同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和,结果如下: 分组情况 组内离差平方和 第一组1个,第二组9个 146.889 第一组2个,第二组8个 98 第一组3个,第二组7个 48 第一组4个,第二组6个 74.25 第一组5个,第二组5个 98 第一组6个,第二组4个 107.583 第一组7个,第二组3个 136.095 第一组8个,第二组2个 182.375 第一组9个,第二组1个 218 计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65,69,70},{75,76,76,78,80,80,81}。 意图说明 通过例题讨论中学生的反应,使教师及时了解学生对“组内离差平方和达到最小”的方法的理解和掌握情况,以便教师及时对学生进行矫正。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 组内离差平方和 1.方差的作用　　2.利用方差解决实际问题 3.利用组内离差平方和最小对数据进行分组 教学反思 2　中位数与箱线图 第1课时　中位数 课标摘录 1.理解中位数的意义,能计算中位数,知道它是对数据集中趋势的描述。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.通过结合具体情境,掌握中位数的概念,并会求一组数据的中位数。 2.理解众数、中位数、平均数三者的差别,并能在具体情境中选择适当的数据代表,对数据作出自己的评判。 教学重难点 重点:掌握中位数的概念,并会求一组数据的中位数。 难点:在具体情境中选择适当的数据代表,对数据作出自己的评判。 教学策略 通过展示员工的工资等生活实例,引出中位数的概念,激发学生兴趣,让学生感知其在生活中的应用。给出不同数据组,组织学生分组计算平均数、众数和中位数,对比分析三者之间的特点,引导学生理解中位数不受极端值影响的优势。布置实际问题,如分析运动员比赛成绩稳定性,让学生运用中位数解决问题,巩固知识,提升应用能力。 情境导入 某公司员工的月工资如下: 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工 月工资/元 10 000 8 000 5 200 5 000 4 800 4 500 4 500 4 500 2 100 经理:“我公司员工收入很高,月平均工资为5 400元。” 职员C:“我的工资是4 800元,在公司算中等收入。” 职员D:“我们好几个人的工资都是4 500元。” 应聘者:“这个公司员工的收入到底怎么样?” 问题:你怎样看待该公司员工的收入? 新知初探 探究一　中位数 活动1:思考·交流 你们怎样看待上述公司员工的收入?讨论回答下面的问题。 问题1:经理说每月平均工资5 400元是否欺骗了应聘者? 问题2:月平均工资5 400元能否客观地反映员工的平均收入? 问题3:若不能,你认为应该用哪个数据描述该公司员工收入的集中趋势更合适? 师生活动:引导学生讨论,充分发表不同的观点,然后归纳。通过讨论交流,培养学生的自主探索、合作交流的意识与能力。 小结: 经理、职员C、职员D分别从不同角度描述了该公司员工的收入情况。 月平均工资5400元,指所有员工工资的平均数是5 400元,说明该公司每月将支付工资总计5 400×9=48 600(元)。 9名员工中有3个人的工资为4 500元,出现的次数最多,这是众数。 职员C的工资为4 800元,恰好居于所有员工工资的“正中间”(恰有4人的工资比他高,有4人的工资比他低),我们称它为中位数。 归纳总结:一般地,n个数据按大小顺序排列,处于中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数。如一组数据1.50,1.50,1.60,1.65,1.70,1.70,1.75,1.80的中位数是 (1.65+1.70),即1.675。 活动2:尝试·思考 问题1:你认为用哪个数据描述上述公司员工的工资情况更合适? 预设答案:用中位数描述上述公司员工的工资情况更合适。 问题2:为什么该公司员工工资收入的平均数比中位数高得多? 预设答案:由于经理、副经理的工资特别高,将平均工资“拉”高了。 小结:求中位数的步骤 (1)将一组数据按大小顺序排列。 (2)取中间的数据(奇数个),或者中间两个数据的平均数(偶数个)。 意图说明 教学中以生活实例引入,激发兴趣,以理解中位数意义和计算作为重点,突破在数据个数奇偶不同时计算中位数的难点。通过小组合作、自主探究,让学生在实践中掌握知识,培养数据观念和分析、解决问题的能力。 探究二　众数、平均数、中位数的区别与联系 活动2:思考·交流 问题1:小军是篮球队员,身高1.84 m。如果他所在篮球队队员身高的中位数是1.82 m,那么能说小军的身高在篮球队里中等偏上吗?如果他所在篮球队队员身高的平均数是1.82 m,那么能说小军的身高在篮球队里中等偏上吗? 问题2:一组数据,如前面提到的1.50,1.50,1.60,1.65,1.70,1.70,1.75,1.80,如果把1.80换成2.20,那么中位数会变吗?平均数会变吗? 问题3:众数、平均数和中位数各有哪些特征?与同伴进行交流。 师生活动:引导学生讨论,充分发表不同的观点,然后归纳众数、平均数和中位数的特征。 小结:众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量。 在一组数据中,当某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量。如选举,通常就是选择名字出现次数最多的那个人,因而可以将当选者的名字当作“众数”。但当各个数据的重复次数大致相等时,众数往往没有特别意义。 在计算平均数时,所有数据都参加运算。平均数能充分地利用数据所提供的信息,因此在现实生活中较为常用,但它容易受极端值的影响。 把一组数据从小到大排列,中位数处于这组数据“位置的中心”,这组数据中至少有50%的数据小于或等于中位数,至少有50%的数据大于或等于中位数。因此,中位数也称为第50百分位数或50%分位数,记为m50,其优点是计算简单,受极端值影响小。但仅有中位数,还不能完整地反映数据的分布。为此,通常还可以找出其他p%分位数(记为mp),制作百分位数值表,反映数据的分布情况。 活动3:观察·思考 下表是根据世界卫生组织的相关数据制作的14岁学生的身高百分位数值表,你能读懂这张表吗?你能判断自己的身高在同龄人中的大致位置吗? 性别 身高百分位数/cm m3 m10 m25 m50 m75 m90 m97 男 152.3 156.7 161.0 165.9 170.7 175.1 179.4 女 147.9 151.3 154.8 158.6 162.4 165.9 169.3 学生活动:学生独立思考,说出自己对表格的理解。 意图说明 让学生深入理解三者的概念,掌握计算方法,能依据实际情境合理选择统计量。重点是明晰三者差异,难点是学会恰当运用。教学中,通过丰富的生活数据案例展示,组织小组讨论与分析,引导学生自主归纳总结,培养学生的数据处理能力与数学思维。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 中位数 1.中位数的概念　　　　　　　　　　　2.求中位数的步骤 3.众数、平均数、中位数的区别与联系　　　 4.p%分位数 教学反思 第2课时　箱线图 课标摘录 1.会计算四分位数,了解四分位数与箱线图的关系,感悟百分位数的意义。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.理解四分位数的概念,掌握四分位数的计算方法。 2.理解箱线图的构成及其意义,能够绘制和解读箱线图。 3.能够通过四分位数和箱线图分析数据的分布特征。 教学重难点 重点:四分位数的计算,箱线图的绘制与解读。 难点:四分位数的计算,箱线图中异常值的判断与解释。 教学策略 本节课通过问题引导,激发学生思考,结合实例,让学生动手计算和绘制,加深理解,利用PPT、动态图表等工具直观展示四分位数和箱线图,通过小组讨论和合作完成练习,培养团队协作能力。 情境导入 展示某班级学生的数学考试成绩(如:50,60,65,70,75,80,85,90,95)。 问题引导 提问1:如何描述这组数据的分布情况? 提问2:除了平均数和中位数,还有哪些统计量可以帮助我们分析数据? 教师活动:介绍四分位数和箱线图,说明它们可以帮助我们更全面地了解数据的分布特征。 新知初探 探究一　四分位数 活动1:在百分位数中,25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上,把一组数据从小到大排列,m50把这组数据分成前、后两部分,m25是前半部分数据的中位数,m75是后半部分数据的中位数。这样,m25,m50,m75就把这组数据分成个数相等的四部分,因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数,统称四分位数。 那么,如何计算一组数据的四分位数呢?与同伴进行交流。 师生活动:引导学生讨论,充分发表不同的观点,然后归纳。通过讨论交流,培养学生的自主探索、合作交流的意识与能力。 活动2:某市12月16~31日每日的最高气温(单位:℃)依次如下: 5,3,2,2,2,2,3,3,5,5,-2,-2,-5,-1,-1,-1。 求这组数据的四分位数m25,m50,m75。 解:将这16个数据由小到大排序: -5　-2　-2　-1　-1　-1　2　2　2　2　3　3　3　5　5　5 中位数即50%分位数,因此m50==2(℃); 前一半数据的中位数为整组数据的下四分位数,故m25==-1(℃); 后一半数据的中位数为整组数据的上四分位数,故m75==3(℃)。 意图说明 通过具体实例,帮助学生理解四分位数的概念和计算方法。强调数据排序和分步计算的重要性。 探究二　箱线图 活动3:尝试·思考 老师记录了全班40名学生1 min跳绳的次数: 132　136　144　162　144　115　132　136　123　144 136　 132　 132　 159　 136　 144　 129　 136　 139　 153 123　 133　 144　 137　 152　 138　 136　 129　 129　 134 138　 149　 125　 128　 128　 133　 138　 134　 146　 148 (1)求全班学生1 min跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值。 预设答案:全班学生1 min跳绳次数的最小值是115,下四分位数是132,中位数是136,上四分位数是144,最大值是162。 图67 (2)老师绘制了如图67所示的统计图。你能读懂这个统计图吗?图中出现了5条横线,分别对应5个数据,它们是怎样的数据?你认为这个统计图是如何画出的? 预设答案:这五个数分别对应最小值115,下四分位数132,中位数136,上四分位数144,最大值162。 (3)根据图67,中间的“箱子”被136分成了两部分,其中“下半截箱子”比较短,这说明什么? 预设答案:图中136是中位数。“下半截箱子”对应的数据范围是下四分位数(132)到中位数(136),“下半截箱子”比较短,说明在数据的下半部分,从下四分位数到中位数之间的数据较为集中。 (4)请你估计一下,全班学生1 min跳绳次数的平均数和中位数哪个大?你是怎么估计的? 预设答案:从箱线图能看出,上半部分的数据相对下半部分更分散,尤其是存在159,162这样较大的数据,这些较大的数据会拉高平均数的值,所以可以估计全班学生1 min跳绳次数的平均数比中位数大。 归纳总结:图67所示的这种统计图叫作箱线图。箱线图有时也画成如图68所示的形式。 图6-8 活动4:为了反映全班学生1 min跳绳次数的整体情况,小颖和小亮分别画出了图69和图610。 图69图610 (1)在图69的频数直方图中,数据的分布有什么特点?图610的箱线图是否也反映了数据的这种特征? (2)从箱线图中你能获得哪些信息? 活动5:思考·交流 问题1:图611是同一班级学生两次1 min跳绳成绩的箱线图。该班学生第二次跳绳成绩有什么变化?你是如何得出结论的? 图611 问题2:你认为箱线图在表示数据方面有什么特点?与同伴进行交流。 意图说明 通过绘制箱线图,帮助学生直观理解数据的分布特征。培养学生动手能力和数据分析能力。通过实例分析,帮助学生掌握箱线图的解读方法。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 箱线图 1.四分位数的概念　　　　　　　　　　　　　　　　　2.四分位数的计算步骤 3.箱线图 教学反思 3　哪个团队收益大 课标摘录 1.能用中位数、众数、加权平均数、方差、四分位数、箱线图分析数据。 2.能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。 3.体会数据分析的重要性,形成数据观念,发展模型观念。 素养目标 1.掌握平均数、方差、四分位数和箱线图的概念及计算方法。 2.理解不同统计方法在数据分析中的作用。 3.能够运用平均数、方差、四分位数和箱线图对数据进行分析。 教学重难点 重点:平均数、方差、四分位数和箱线图的计算与分析。 难点:不同统计方法的综合运用与结果解读。 教学策略 通过问题引导,激发学生思考,结合实例,让学生动手计算和分析,加深理解,通过小组讨论和合作完成练习,培养团队协作能力,利用PPT、动态图表等工具直观展示数据分析的过程。 情境导入 某银行有A和B两个理财经营团队。2018~2020年,这两个理财团队分别负责经营12项理财产品,收益率如下。 % A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 问题1:如何评价两个团队的经营水平? 问题2:除了平均数,还有哪些统计方法可以帮助我们分析数据? 新知初探 探究一　数据分析与统计方法的应用 活动1:平均数与方差的分析 对于上述问题,小明利用平均数、方差进行分析: =3.861 7%,=3.863 3%,可以看出,B团队的平均收益率略高; =1.326 9,=0.116 5,可以看出,B团队收益率的波动较小。 通过分析可以看出,B团队要比A团队经营得略好一些,且更为稳健。 活动2:四分位数与箱线图的分析 小颖利用四分位数、箱线图(如图613)进行分析: 团队 最小值、四分位数和最大值 最小值 m25 m50 m75 最大值 A 2.020 3.195 3.915 4.440 6.440 B 3.180 3.635 3.890 4.125 4.440 图613 基于四分位数或箱线图,可以发现A团队收益率的中位数与B团队的相差不大,但A团队的收益率明显比B团队的波动大。两个团队经营效益基本一样,但B团队的经营水平比A团队要平稳。 比较两组数据的整体情况,方法多样。可以借助平均数和方差反映数据的集中趋势和离散程度,也可以借助四分位数和箱线图直观反映数据的分布情况。 意图说明 通过具体实例,帮助学生掌握综合分析方法。强调不同统计方法在数据分析中的综合运用。 探究二　数据分析的实际应用 活动3:思考·交流 在某次知识竞赛中,八(1)班每名学生的得分如下: 77　76　73　87　81　88　76　83　84　80　52　82　83　66　83 82　72　86　76　79　82　66　66　79　89　78　75　72　82　84 80　88　74　79　74　78　66　84　80　33　79　80　81　81 八(2)班每名学生的得分如下: 83　85　82　91　83　91　87　81　86　79　78　80　83　95　76 30　95　83　71　78　81　87　84　78　80　80　80　74　76　71 51　81　64　77　82　86　82　81　81　79　89　74　89　82 请你利用所学的统计知识对这两个班的得分情况进行分析和评价,并与同伴进行交流。 活动4:回顾·反思 回顾前面的学习,你认为可以从哪些角度对数据进行分析?你在数据分析方面有哪些感悟?积累了怎样的经验? 意图说明 通过实际案例和小组合作,巩固所学知识,培养学生解决实际问题的能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 哪个团队收益大 1.数据分析的方法　　　　　　　　2.各种数据分析的特点 教学反思 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 第七章　证明 1.体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。 2.通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义。 3.结合具体实例,会区分命题的条件和结论。 4.知道证明的意义和证明的必要性,知道数学思维要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式。 5.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 6.探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。 7.掌握平行线基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 8.掌握平行线基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 9.掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 10.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行;探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。 11.能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 12.了解平行于同一条直线的两条直线平行。 本单元围绕命题与证明展开,涵盖定义、命题等基础概念,平行线的判定与性质定理等内容。这些知识相互关联,是一个有机整体,为后续几何学习奠定基础。本单元是实验几何过渡到论证几何的关键启蒙章节。此前学生在七年级上册经历了“图形的初步知识”的实验入门,七年级下册以“三角形的初步知识”开始出现局部推理,八年级上册“平行线的证明”的学习则进一步向推理过渡。本单元在此基础上,开启有固定格式的论证几何学习,处于“实验几何”与“论证几何”的交接点,为后续学习奠定逻辑基础。 1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性,体会演绎推理的严谨性和结论的确定性,初步树立步步有据的推理意识,发展推理能力。 2.通过具体实例了解定义、命题、定理、推论的含义,会区分命题的条件和结论。 3.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 4.初步感受公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。 5.经历对顶角定理、两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理的证明过程,初步掌握用综合法证明的格式;能利用这些定理解决简单的问题。 重点:准确找出命题的条件和结论;写出一个命题的逆命题;理解证明的必要性,掌握证明的一般步骤与格式。 难点:对于条件和结论不明显的命题,准确分清其条件和结论;使学生充分认识到几何证明的必要性;运用基本事实和定理进行简单的证明。 1　为什么要证明 课标摘录 1.体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。 2.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式。 素养目标 1.经历观察、验证、归纳等过程,在活动中体会到观察、实验、归纳得到的结论未必可靠。初步感受证明的必要性,发展学生的推理意识。 2.了解确定数学结论正确与否的常用方法:计算、举出反例、推理论证等。 3.结合课本内容,体会理性思考、勇于探索的科学精神。 教学重难点 重点:体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性。 难点:推理论证意识的建立。 教学策略 通过生活中的实例或数学史中的经典问题引入证明的概念。设计问题引导学生思考,通过小组讨论、合作探究等方式激发学生的兴趣。通过具体的数学问题,展示证明的过程,帮助学生理解证明的步骤和逻辑。布置适量的练习题,让学生在实践中掌握证明的方法。引导学生总结证明的重要性及其在数学学习中的应用。 情境导入 观察与思考 三角形的边是直线吗　两条线段长度相等吗 中间是正方形吗　图形是静的还是动的 眼见未必为实!实践出真知! 有时视觉受周围环境的影响,往往误导我们,让我们得出错误的结论,所以仅靠经验观察是不够的,只有通过科学的实验进行严格的推理,才能得出最准确的结论。 新知初探 探究　探究证明的方法 活动1:实例验证 如图所示,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流。 活动2:反例验证 有人认为,对于所有自然数n,代数式n2-2n+11的值都是质数。你怎么看待这个结论?取n=0,1,2,3,4,5试一试。 解:当n取0,1,2,3,4,5时,对应n2-2n+11的值如下: n 0 1 2 3 4 5 n2-2n+11 11 10 11 14 19 26 通过上述表格发现,当n=1,3,5时n2-2n+11的值不是质数,所以对于所有自然数n,代数式n2-2n+11的值不一定都是质数。 活动3:推理验证 某次数学竞赛中有5道选择题,每题1分,每道题在A、B、C三个选项中,只有一个是正确的。下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分: 项目 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A 则甲同学错的是第　五　题。  意图说明 通过大量的实例,直观地感受观察、实验、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。理解证明的必要性。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 为什么要证明 1.实例验证　　　2.反例验证 3.推理验证 教学反思 2　认识证明 第1课时　定义与命题 课标摘录 1.通过具体实例,了解定义、命题的意义。 2.结合具体实例,会区分命题的条件和结论。 3.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 素养目标 1.理解定义、命题的概念,能区分命题的条件和结论,并把命题写成“如果……那么……”的形式。 2.了解真命题和假命题的概念,能判断一个命题的真假性,并会对假命题举反例。 教学重难点 重点:知道定义、命题的含义,会区分命题的条件和结论。 难点:能区分命题的条件和结论,会把一些简单命题改写成“如果……,那么……”的形式。 教学策略 教法:通过探究讨论,启发、引导学生学习本课内容。 学法:观察、讨论、交流、归纳、应用。通过课堂讨论和练习掌握新知识。 情境导入 小红与小刚正在津津有味地讨论《我们爱科学》的部分内容。 坐在旁边的两个人一边听着他们谈话,一边也在悄悄议论着。 思考:为什么会出现这样的情况? 新知初探 探究一　定义 活动1:定义:一般地,能清楚地规定某一名称或术语的含义的句子叫作该名称或术语的定义。 如:“具有中华人民共和国国籍的人,叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。 “两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 “无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义。 “有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。 意图说明 结合具体实例让学生增加对定义的理解,锻炼学生有条理的数学表达能力。 探究二　命题 活动2:命题的概念 下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?与同伴进行交流。 (1)任何一个三角形一定有一个角是直角; (2)对顶角相等; (3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数; (4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; (5)你喜欢数学吗? (6)作线段AB=CD。 学生经过思考,自主探究,与同伴交流,借助语文的经验,可以得到正确的结论。 归纳总结:判断一件事情的句子,叫作命题。 例如,上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断,都是命题。 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。 注意: (1)只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题。如:相等的角是对顶角。 (2)如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。如:画线段AB=CD。 活动3:命题的构成 观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征? (1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等; (2)如果a=b,那么a2=b2; (3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等,那么这两个三角形全等。 归纳总结:一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。 命题的组成: 活动4:命题的分类 有些命题如果条件成立,那么结论一定成立;而有些命题条件成立时,结论不一定成立。 正确的命题叫真命题,不正确的命题叫假命题。 注意:要说明一个命题是假命题,只需举一个反例。反例是指具备命题的条件,而不具有命题的结论的例子。 意图说明 通过三个活动使学生理解命题的概念、命题的构成、命题的分类,然后紧跟着给出对应的练习题进行巩固,以加深理解,突破重难点。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 定义与命题 1.定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.命题的概念 3.命题的构成　　　　　 4.命题的分类 教学反思 第2课时　定理与证明 课标摘录 1.体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。 2.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式。 3.探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。 素养目标 1.了解公理、定理和证明的概念,会区分定理、公理和命题。 2.了解证明的表达格式,会按规定格式证明简单命题。 3.通过证明步骤中由命题画出图形,写出已知、求证的过程,继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。 教学重难点 重点:公理、定理的定义及其区别和联系。 难点:如何证明命题。 教学策略 教法:通过探究讨论,启发、引导学生学习本课内容。 学法:观察、讨论、交流、归纳、应用。通过课堂讨论和练习掌握新知识。 情境导入 举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢? 要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特例,也无法保证命题的正确性。如何验证命题的正确性,其实在数学发展史上,数学家也遇到过类似的问题,今天我们就来共同学习。 新知初探 探究一　公理、定理 活动1:公理与定理 公理:数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的出发点和依据,这样的公认的真命题称为公理。 定理:数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用演绎推理的方法证明它们是正确的,经过证明的真命题称为定理。 真命题分类:1.公理:是人们实践活动中总结出来的;2.定理:是通过证明得到的。 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据,我们已经认识了其中的八条: (1)两点确定一条直线。 (2)两点之间线段最短。 (3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 (4)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行)。 (5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 (6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 (7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 (8)三边分别相等的两个三角形全等。 其他哪些还可以作为公理? 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。 例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据,称为“等量代换”。 又如,如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据。 意图说明 经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的基本事实,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念,培养学生的语言表达能力。 探究二　证明命题 活动2:从基本事实出发,就可以证明已经探索过的结论了。例如,我们可以证明下面的定理: 定理:同角(或等角)的补角相等。 定理:同角(或等角)的余角相等。 定理:三角形的任意两边之和大于第三边。 例题 证明对顶角相等 已知:如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证:∠AOC=∠BOD。 证明:∵直线AB与直线CD相交于点O(已知), ∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)。 ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。 ∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)。 由上面的例题,我们可以得到定理:对顶角相等。 意图说明 通过学生合作交流,培养了学生互助交流的意识;让学生初步感受证明推理的过程,体会证明的思路,体验书写的过程以及数学的严谨性。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 定理与证明 1.公理　　　　　　2.定理 3.八条基本事实　　　　　 4.定理的证明 教学反思 3　平行线的证明 第1课时　平行线的判定 课标摘录 1.掌握基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 2.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行。 3.能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 素养目标 1.会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,并能简单应用这些结论。 2.通过画图、讨论、推理等活动,理解和总结证明的步骤、格式和方法。 教学重难点 重点:了解并掌握平行线的判定公理和定理。 难点:灵活应用平行线的三个判定定理解决问题。 教学策略 展示铁轨、双杠等生活实例,让学生观察其特点,引出平行线判定的课题,激发学习兴趣。借助教具演示,如用木条模拟直线位置变化,引导学生总结同位角、内错角、同旁内角的关系与两直线平行的联系,再给出准确判定定理。安排基础证明题与复杂图形题,让学生运用判定定理进行推理,强化对知识的理解和运用。 情境导入 请找出图中的平行线,思考它们为什么平行? 新知初探 探究一　平行线的判定 活动1:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2。求证:a∥b。 证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等), ∴∠3=∠2(等量代换)。 ∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。 小结:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。 简述为:内错角相等,两直线平行。 应用格式: ∵∠1=∠2(已知), ∴a∥b(内错角相等,两直线平行)。 活动2:“两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”这个命题也正确吗?说明理由。 定理证明: 如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补。求证:a∥b。 学生思考交流后独立完成,教师给予点评指导。 证明:∵∠1与∠2互补(已知), ∴∠1+∠2=180°(互补的定义)。 ∴∠1=180°-∠2(等式的性质)。 ∵∠3+∠2=180°(平角的定义), ∴∠3=180°-∠2(等式的性质)。 ∴∠1=∠3(等量代换)。 ∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。 小结:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。 简述为:同旁内角互补,两直线平行。 应用格式: ∵∠1+∠2=180°(已知), ∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)。 意图说明 两个例子都是以基本事实“同位角相等,两直线平行”为依据分别证明平行线的判定定理:“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”。在此过程中要引导学生明确现在证明的出发点有哪些,哪些概念、法则、基本事实、定理可用,让学生养成证明时“有理有据”的习惯,培养严谨的学习态度。 探究二　平行线判定的应用 活动3:思考·交流 (1)如图所示,利用两个全等的直角三角尺作出平行线,请说说其中的道理。 解:可以利用“内错角相等,两直线平行”说明两条直线平行。 (2)任意撕一张纸片,用它折出两条平行线,并予以证明;与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。 意图说明 利用平行线的判定定理解释作图的道理。教学中还可以让学生利用手中的直尺、三角尺等工具快捷地作出平行线,从而得到更多作平行线的方法,说明道理的方法也可能更为多样,开放教学。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 平行线的判定 1.平行线的基本事实　　　　　　　2.平行线的判定定理及证明 教学反思 第2课时　平行线的性质 课标摘录 1.掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 2.探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。 3.了解平行于同一条直线的两条直线平行。 素养目标 1.理解并掌握平行线的三条性质定理。 2.能够根据平行线的性质进行简单的推理与计算。 3.区分平行线的性质和判定的关系,培养学生逆向思维的能力。 教学重难点 重点:平行线的性质的探索及应用。 难点:应用平行线的性质解决问题。 教学策略 在本节课的教学中,注重过程性评价,在教学过程中,一方面利用问题引发学生的思考,通过学生的回答情况对学生进行评价,另一方面,利用课堂练习,使学生的认知情况得到反馈,进而及时调整教学。通过过程性评价,全面考查学生的学习状况,激发学生的学习热情,促进学生的全面发展。 温故知新 (1)平行线的判定方法有哪三种?它们是先知道什么,后知道什么? (2)已知直线AB及其外一点P,画出过点P的AB的平行线。 (3)根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?内错角,同旁内角之间又有什么关系呢? 学习了本节课以后,我们就能得出这些问题的答案了。 新知初探 探究一　平行线的性质 活动1:根据“两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等”。你能作出相关的图形吗? 问题1:你能根据所作的图形写出已知、求证吗? 问题2:你能说说证明的思路吗? 已知:如图所示,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。 求证:∠1=∠2。 该如何证明呢?今天介绍一个特别的方法——反证法。 证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示。 根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD。 又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB与GH都与直线CD平行。 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。 这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2。 由此,我们证明了以下的性质定理。 定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 有时,直接证明很困难,我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立,推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾,那么所作的假设不成立,原命题成立。 活动2:在上一节中,我们利用“同位角相等,两直线平行”推出了“内错角相等,两直线平行”,类似地,已知两直线平行,同位角相等,能否得到内错角之间的数量关系呢? 已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角。 求证:∠1=∠2。 证明:∵a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)。 又∵∠1=∠3(对顶角相等), ∴∠1=∠2(等量代换)。 因此可以得到: 平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为:两直线平行,内错角相等。 活动3:类似地,已知两直线平行,能否得到同旁内角之间的数量关系呢? 如图所示,已知a∥b,那么Ð2与Ð4有什么关系呢?为什么呢? 解:∵a∥b(已知), ∴Ð1=Ð2(两直线平行,同位角相等)。 ∵Ð1+Ð4=180 °(补角的性质), ∴Ð2+Ð4=180 °(等量代换)。 平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 归纳总结:证明一个命题的一般步骤 (1)根据命题,找出命题的条件和结论; (2)根据命题画出图形,写出已知、求证; (3)从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式的性质等,演绎推理出结论。 思考:平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系? 条件和结论的互换。平行线的性质定理是已知两直线平行,得到角的关系;而判定定理是已知角的关系,得到两直线平行。 意图说明 通过探究平行线性质定理的证明,理解证明的环节,其中反证法是个难点,对学生的要求不要太高,让学生了解还有这样的证明方法就可以了。通过定理证明,要引导学生如何从已知条件演绎推理得到结论。同时培养学生有条理的表达能力。 探究二　平行于同一条直线的两条直线平行 活动4:定理:平行于同一条直线的两条直线平行。 如图所示:b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角。 求证:b∥c。 证明:∵b∥a(已知), ∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等)。 ∵c∥a(已知), ∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等)。 ∴∠2=∠3(等量代换)。 ∴b∥c(同位角相等,两直线平行)。 意图说明 从简单的几何证明入手,逐步形成一个更为清晰的证明思路,进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法。了解两定理在条件和结构上的区别,体会正向和逆向的思维过程。进一步发展学生的推理能力,培养学生的逻辑思维能力。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 平行线的性质 1.两直线平行,同位角相等　　　2.两直线平行,内错角相等 3.两直线平行,同旁内角互补　　 4.平行于同一条直线的两条直线平行 教学反思 $$