15.3.2 等边三角形第2课时 含 30° 直角三角形的性质与判定 课件+教案+导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第2课时　含30°角的直角三角形的性质 1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质. 2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力. 3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识. 重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与应用. 难点：含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用. 知识链接 我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角.量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜. 创设情境——见配套课件 探究点：含30°的直角三角形的性质 情境探究：如图，将两个含30°角的全等的三角板摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 问题1：两个三角板构成的图案，恰好是一个三角形吗？ 是的.∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点B，C，D在一条直线上.所以两个三角板构成的图案恰好是一个三角形. 问题2：△ABD是不是等边三角形？说明理由. 是.因为两个三角形全等，所以AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形. 问题3：你能说说BC与AB的长度关系吗？ BC＝AB.理由：因为BC＝CD，所以BC＝BD.因为△ABD是等边三角形，所以BD＝AB.所以BC＝AB. 思考：你还能用其他方法证明上面的结论吗？试一试. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝AB. 证明：如图，在AB边上截取BE＝BC，连接CE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝AB. （教材P83例5）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长. 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD.∴BC＝×7.4＝3.7（m）. 又AD＝AB，∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）. 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. 解：（1）根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30（nmile），∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile. 答：B处到灯塔C的距离为30nmile. （2）会有触礁的危险.理由：如图，过点C作CD⊥AE于点D.∵∠CBD＝30°，BC＝30nmile，∴CD＝BC＝15nmile.∵15＜16，∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险. 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（　D　） A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC.若AD＝6，则CD的长为（　A　） A.3 B.4 C.5 D.6 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD的长为　6　. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为　3　. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 【素养目标】 1. 掌握含 30°角的直角三角形的边角性质。 （重点） 2. 经历探究含 角的直角三角形性质的过程，提升推理能力。（重点） 3. 合理应用含 角的直角三角形的性质，强化应用意识。 （难点） 【情境导入】 根据之前的知识完成下表。 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称 性 如图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点， 立柱 垂直于横梁 , 立柱 的长是多少？ 在 的直角三角形中， 探究边长之间的关系。 【合作探究】 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 【情境探究】如图，将两个含 角的全等的三角尺摆放在一起。 你能借助这个图形，找到 的直角边 与斜边 之间的数量关系吗？ 问题1: 两个三角尺构成的图案，是一个三角形吗？ 问题2: 是不是等边三角形？ 问题3: 你能说说 与 的长度关系吗？ 思考： 如何证明上面的结论呢？ 证法1 如图，在Rt 中， , . 求证： . 证法 2: 含 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言 在 , , . 例1 如图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点，立柱 垂直于横梁 , ，立柱 的长是多少？ 例2 如图，灯塔 在海岛 的北偏东 方向，某天上午 8 点，一条船从海岛 出发，以 15 n mile/h 的速度由西向东航行，上午 10 时整到达 处，此时测得灯塔 在 处的北偏东 方向。 (1) 求 处到灯塔 的距离； (2) 已知在以灯塔 为中心，周围 mile 的范围内均有暗礁， 若该船继续由西向东航行， 是否有触礁的危险？ 请你说明理由。 【练一练】1. 如图，在Rt 中， ，线段 的垂直平分线分别交 于点 ，连接 , 则 ，则 的长为 _____. 当堂反馈 1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为 , 则斜边的长为 ( ) A. 2cm B. C. 6cm D. 8 cm 2. 如图，在 中， , , 平分 . 若 ，则 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，在 中， , ，则底边上的中线 的长为 _________. 4. 如图，在Rt 中， , , 是 的高，且 ，则 的长为________. 5. 如图，在等边三角形 中，点 、 分别在边 、 上，将 沿着 折叠，使点 落在边 上的点 处，且 ，求证： . 参考答案 复习导入 根据前面的探究结果完成下表。 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 两条边相等 三条边都相等 角 两个底角相等 三个角都相等，且都是 三线 合一 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合 对称 性 1 条对称轴 3 条对称轴 探究点： 含 30°角的直角三角形的性质 问题1: 是的。 , 所以点 在一条直线上。 所以两个三角尺构成一个图案是一个三角形。 问题2：是。 因为两个三角形尺全等，所以 . 因为 ，所以 . 所以 是等边三角形。 问题3: 理由： 因为 ，所以 因为 是等边三角形，所以 . 所以 . 思考： 证法1 在 边上截取 ，连接 . 在Rt 中， , . 又 , 是等边三角形。 . . 而 , . . 证法2：延长 到 ，使 ，连接 , 则 是 的垂直平分线，所以 . 又因为 , 所以 是等边三角形，所以 , 又 ，所以 . 例1 解： , .又 , . 答： 立柱 的长是 的长是 . 例2 解： (1) 根据题意得 , , (n mile), . . mile. 答： 处到灯塔 的距离为 mile. (2) 会有触礁的危险。理由： 如图，过点 作 于点 . mile, mile. , 该船继续由西向东航行会有触礁的危险 . 【练一练】1. 2. 当堂反馈 1. D. 2. A 3. 6 4. 3. 5. 证明： 沿着 折叠，得到 , . , . . . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$15.3.2 等边三角形 第 2 课时 含 30°角的直角 三角形的性质 1. 掌握含 30° 角的直角三角形的边角性质.(重点) 2. 经历探究含 30° 角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.(重点) 3. 合理应用含 30° 角的直角三角形的性质，强化应用意识.(难点) 素养目标 根据前面的探究结果完成下表. 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是 60° 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 复习导入 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？ 在 30° 的直角三角形中，探究边长之间的关系. 数学抽象 情境导入 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 【情境探究】如图，将两个含 30° 角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ A B C 新知探究 问题1 两个三角尺构成的图案，是一个三角形吗？ 是的．∠ACB＋∠ACD ＝ 90°＋90°＝180°， 所以点 B ，C ，D 在一条直线上． 所以两个三角尺构成一个图案是 一个三角形. 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 D A B C 问题2：△ABD 是不是等边三角形？ 是．因为两个三角形尺全等，所以 AB＝AD. 因为∠BAC＝∠DAC＝30°， 所以∠BAD＝30°＋30°＝ 60°.所以△ABD是等边三角形. 新知探究 问题3：你能说说 BC 与 AB 的长度关系吗？ BC＝ AB. 理由：因为 BC ＝ CD，所以 BC ＝BD . 因为 △ABD 是等边三角形， 所以 BD＝AB.所以 BC＝ AB. 思考：如何证明上面的结论呢？ 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 D A B C 新知探究 证法1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝30°. 求证：BC＝ AB. E ∴ AE＝CE＝BC＝BE . ∴ BC ＝ AB. 证明：在 AB 边上截取 BE＝BC，连接 CE. 在Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－30°＝60°. 又 BE＝BC， ∴△BCE 是等边三角形. BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°. ∵ ∠ACB ＝ 90°，∴ ∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°. 而∠A＝30°，∴ ∠A＝∠ACE. 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 A B C 30° 新知探究 证法 2： 要证明 BC = AB，只要证明 2BC = AB. 为此可以构造长为 2BC 的线段，证明它和AB 相等即可. 延长 BC 到 D ，使 CD＝BC ，连接 AD ， 则 AC 是 BD 的垂直平分线 ，所以 AB = AD. 又因为 ∠ B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， 所以 △ABD 是等边三角形，所以 BD＝AB， 又 BD＝2BC ，所以 BC＝ AB . A B C 30° D 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 新知探究 含 30° 角的直角三角形的性质： 几何语言 ∵∠A = 30°， 在 Rt△ACB ，∠ACB = 90°， 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ∴ BC = AB . 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 新知探究 例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m， ∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？ 分析： BC Rt△ACB DE Rt△AED 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 新知探究 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴ BC = AB ， DE = AD . ∴ BC = ×7.4 = 3.7 (m). 又 AD = AB ， ∴ DE = AD =× 3.7 = 1.85 (m). 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m . 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 新知探究 例2 如图，灯塔 C 在海岛 A 的北偏东 75° 方向，某天上午 8 点，一条船从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度由西向东航行，上午 10 时整到达 B 处，此时测得灯塔 C 在 B 处的北偏东 60° 方向. (1) 求 B 处到灯塔 C 的距离； (2) 已知在以灯塔 C 为中心，周围 16 n mile 的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 西 北 北 东 C B A E 新知探究 解：(1) 根据题意得 ∠BAC ＝ 90°－75°＝ 15°， ∠CBE ＝ 90°－60°＝ 30°， AB ＝15×2＝30 (n mile)， ∴∠ACB ＝ 30°－15°＝ 15°. ∴∠BAC ＝∠ACB . ∴ BC＝AB ＝ 30 n mile . 答：B 处到灯塔 C 的距离为 30 n mile. 西 北 北 东 C B A E 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 (1) 求 B 处到灯塔 C 的距离； 新知探究 (2) 会有触礁的危险． 理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D . ∵ ∠CBD ＝ 30°，BC ＝ 30 n mile， ∴ CD ＝BC＝15 n mile. ∵ 15 < 16， ∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险 . 西 北 北 东 C B A E (2) 已知在以灯塔 C 为中心，周围 16 n mile 的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. D 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 新知探究 【练一练】1.如图，在Rt△ABC 中，∠A = 30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD，则 CD =1，则 AD 的长为_____. 2 分析： △BCD≌△BED CD = ED = 1 AD = 2DE = 2 Rt△AED中，∠A = 30° 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 新知探究 直角三角形的两个锐角____ 直角三角形的性质 性质2 性质1 在____三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的_______等于_____的一半 直角 互余 直角边 斜边 课堂小结 1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm， 则斜边的长为(　D　) A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm D 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠ABC＝60°，BD平分∠ABC. 若AD＝6，则CD的长为(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第2题图 A 当堂反馈 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12， ∠BAC＝120°，则底边上的中线AD的长为 ⁠. 第3题图 6　 第4题图 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1， 则AD的长为 ⁠. 3　 当堂反馈 5. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，将 △CED 沿着 DE 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 F 处，且 DF⊥AB，求证：BF = 2BE. 证明：∵△CED 沿着 DE 折叠，得到△FED， ∴△CED≌△FED， ∴∠C = ∠DFE = 60° . ∵ DF⊥AB， ∴∠DFA = 90° ， ∴∠BFE = 180° - 60°- 90°= 30° . ∴∠FEB = 180° - 60°- 30°= 90° . ∴ BF = 2BE. 当堂反馈 $$