15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 课件 +教案+导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 1.探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力. 2.合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识. 重点：探究等边三角形的性质与判定方法，并进行简单的应用. 难点：等边三角形的性质与判定的应用. 知识链接 回顾前面课时的内容，你觉得等腰三角形和等边三角形有什么区别联系.那等边三角形又有什么特殊的性质呢？让我们开始今天的学习. 创设情境——见配套课件 探究点一：等边三角形的性质 思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 由定义可知：等边三角形的三条边都相等. 几何语言：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC. 问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明. 　　　 　　 等腰三角形 等边三角形 AB＝AC AB＝AC＝BC ∠B＝∠C　　　 ∠A，∠B，∠C？ 论证：已知：AB＝AC＝BC，求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角）. 同理∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 问题3：从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.等边三角形有三条对称轴. 总结：结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的性质并完成下表. 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 两条边相等 三条边都相等 两个底角相等 三个角都相等，且都是60° 底边上的中线、高和顶角的平分线 互相重合 每一边上的中线、高和这一边所对的角的 平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 探究点二：等边三角形的判定 思考：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ 通过上面性质的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形. 论证：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形. 证明：由∠A＝∠B，得BC＝AC.由∠B＝∠C，得AC＝AB.所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等边三角形. 猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 论证：已知：如上图，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝60°，求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°，∴60°＋2∠B＝180°.∴∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.由（1）中结论可知，△ABC是等边三角形. 总结：结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定. 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中有哪些与BD相等的线段？ BD＝DC＝DE＝DF＝AE＝BE＝AF＝CF. 1.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，则∠BAD的度数为（　A　） A.30° B.40° C.45° D.无法求出 2.[规范作答]如图，在△ABC中. （1）∵AB＝AC＝　BC　，∴△ABC是等边三角形； （2）∵∠A＝∠B＝　∠C（或60°）　，∴△ABC是等边三角形； （3）∵AB＝AC，且　∠A（或∠B或∠C）　＝60°， ∴△ABC是等边三角形. 3.如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. （1）求∠F的度数； （2）求证：CD＝CF. （1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDF＝90°－60°＝30°. （2）证明：由（1）得∠EDC＝∠ECD＝60°，∴∠DEC＝60°. ∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝CF.∴CD＝CF. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$null15.3.2 等边三角形 第 1 课时 等边三角形的性质和判定 1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力. (重点) 2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识. (难点) 素养目标 在上节课基础上，需要设计一个等腰△ABC，目前已知底边 BC ，你该如何设计呢？在设计过程中，你有什么发现？ 分析： 三线合一 底边 联想 情境导入 探究点一： 等边三角形的性质 思考：顶点 A 在边 BC 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 AB 的长度等于 BC ，△ABC 会变成什么三角形？ 等边三角形 新知探究 等边三角形的定义： 是三边都_____的特殊的等腰三角形. 相等 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形与等边三角形的关系： 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 由定义可知：等边三角形的三条边都相等. 如图，∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC = AC. 等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用 A B C 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下. 等腰三角形 等边三角形 AB = AC ∠B = ∠C AB = AC = BC ∠A，∠B，∠C ? 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 已知：AB ＝AC ＝BC ，求证：∠A = ∠B = ∠C= 60°. 证明：∵AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C (等边对等角). 同理 ∠A = ∠C， ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∵ ∠A + ∠B + ∠C =180°， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 角都等于 60°. 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 问题3：从“三线合一 ”的角度比较两者，等边三角形的“三线 ”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” ．等边三角形有三条对称轴. 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 A B C A B C 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 根据前面的探究结果完成下表. 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是 60° 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 例1 如图，△ ABC 是等边三角形 ，DE∥BC，分别交AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C. ∴∠A = ∠ADE = ∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 思考1：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证. 探究点二：等边三角形的判定 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 新知探究 思考2：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ 通过上面性质的学习，我们很容易联想到： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C. 求证：△ABC 是等边三角形. 证明：∵∠A = ∠B ， ∴ BC = AC . ∵∠B = ∠C ， ∴ AB = AC . ∴ AB = AC = BC . ∴ △ABC 是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 论证： 已知：如上图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若∠A ＝60°，求证：△ABC 是等边三角形. 猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°， 那么它是等边三角形吗？ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明： ∵AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C. ∵ ∠A +∠B +∠C＝180°，∠A＝60°， ∴ 60° + 2∠B ＝180°. ∴ ∠B＝60°. ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∴△ABC 是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 A B C 新知探究 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 从角看 两条边相等的三角形是等腰三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 例2 如图，等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，∠BDE =∠CDF = 60°，图中有哪些与 BD 相等的线段？ 与 BD 相等的线段有： DC，DE，DF，AE， BE，AF，CF. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 定义 等边三角形 __________的三角形等边三角形 判定 性质 ____________的三角形是等边三角形 等边三角形的三个内角______，并且每一个内角________ 三个角都相等 都相等 有____个角是___的______三角形是等边三角形 一 60° 等腰 三边都相等 等于 60° 课堂小结 1. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点， 则∠BAD的度数为(　A　) A. 30° B. 40° C. 45° D. 无法求出 A 当堂反馈 2. [规范作答]如图，在△ABC中. (1)∵AB＝AC＝ ⁠， ∴△ABC是等边三角形； BC　 (2)∵∠A＝∠B＝ ⁠， ∴△ABC是等边三角形； (3)∵AB＝AC，且 ⁠＝60°， ∴△ABC是等边三角形. ∠C　 ∠A(或∠B或∠C)　 当堂反馈 3. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (1)解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－∠EDF＝90°－60°＝30°. 当堂反馈 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (2)求证：CD＝CF. (2)证明：由(1)得∠EDC＝∠ECD ＝60°， ∴∠DEC＝60°. ∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD. ∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠F＝30°. ∴EC＝CF. ∴CD＝CF. 当堂反馈 Lavf58.46.101 $$ 第15章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 【素养目标】 1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力。 （重点） 2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题， 发展应用意识。 （难点） 【情境导入】 在上节课基础上，需要设计一个等腰 ，目前已知底边 ，你该如何设计呢？ 在设计过程中，你有什么发现？ 【合作探究】 探究点一：等边三角形的性质 思考： 顶点 在边 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 的长度等于 会变成什么三角形？ 等边三角形的定义： 是三边都________的特殊的等腰三角形。 等腰三角形与等边三角形的关系： 思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？ 你能得到什么结论？ 试着证明一下。 已知： , 求证： 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 . 问题3：从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？ 等边三角形有几条对称轴？ 根据前面的探究结果完成下表。 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称 性 例1 如图， 是等边三角形， ，分别交 于点 . 求证： 是等边三角形。 想一想： 本题还有其他证法吗？ 探究点二： 等边三角形的判定 思考1: 对于一般 ，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证。 思考2: 通过前面的学习， 我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ 已知： 如图，在 中， . 求证： 是等边三角形。 猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是 , 那么它是等边三角形吗？ 论证： 已知： 如上图，在 中， , 若 ，求证： 是等边三角形。 结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定。 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 从角看 例2 如图，等边三角形 中， 是 上的高， ，图中有哪些与 相等的线段？ 当堂反馈 1. 如图， 是等边三角形， 是 的中点， 则 的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 无法求出 2. [规范作答]如图，在 中。 (1) _____, 是等边三角形； (2) _____, 是等边三角形； (3) ，且__________________ , 是等边三角形。 3. 如图，在等边三角形 中，点 在边 上，过点 作 交 于点 ，过点 作 , 交 的延长线于点 . (1) 求 的度数； (2) 求证： . 参考答案 探究点一：等边三角形的性质 思考1: 等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用 问题1: 由定义可知： 等边三角形的三条边都相等。 如图， 是等边三角形， . 问题2: 证明： , （等边对等角）。 同理 , . , . 问题3：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”。 等边三角形有三条对称轴。 根据前面的探究结果完成下表。 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 两条边相等 三条边都相等 角 两个底角相等 三个角都相等，且都是 三线合一 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合 对称 性 1 条对称轴 3 条对称轴 例1 证明： 是等边三角形， . , . . 是等边三角形。 探究点二： 等边三角形的判定 思考2: 通过上面性质的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形。 证明： , . , . . 是等边三角形。 猜想：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 证明： . , . . 是等边三角形。 总结一下等腰三角形和等边三角形的判定。 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 例2 与 相等的线段有： . 当堂反馈 1. A. 2. (1) (2) (3) （或 或 ） 3. (1) 解： 是等边三角形， . . , . . （2）证明：由（1）得 , 是等边三角形。 . . . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$