15.3.1 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质 课件 +教案+导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.1 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形的性质 1. 探索并证明等腰三角形的性质： ① 等边对等角 ；② 三线合一 . (重点) 2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算. (重点、难点) 3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力. 素养目标 在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形，例如下图的中和殿的屋檐设计，你能说说为什么吗？ 中和殿 情境导入 【知识链接】 等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. A C B 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 情境导入 探究点：等腰三角形的性质 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中 AB ＝AC ，所以△ABC 是等腰三角形. 操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？ 新知探究 操作2：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段： AB 和 AC 重合的角： ∠BAD =∠CAD ∠ B =∠ C ∠ADB =∠ADC AD 和 AD BD 和 CD 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 思考：在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？ 既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高. 猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想. (1) 等腰三角形的两个底角相等. (2) 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 操作3： 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把 它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？ 成立. 思考：如何证明你的猜想呢？ 探究点：等腰三角形的性质 A B D C 3 3 沿折痕重合 新知探究 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B = ∠C. 分析： 构造两个全等三角形 证明角相等 1.作底边上的中线 2.作底边上的高线 3.作顶角的角平分线 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 作底边 BC 的中线 AD. AB = AC (已知)， BD = CD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C . 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∵ AD⊥BC， 方法2：作底边上的高线. ∴∠B＝∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC (已知)， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD (公共边)， ∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线， 方法3：作顶角的角平分线 AD. ∴∠B＝∠C. ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BAD＝∠CAD. 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个底角______ (简写成“等边对等角”). 相等 几何语言： ∵ △ABC 是等腰三角形， ∴ ____=____(等角对等边). ∠B ∠C 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. ∠A+∠ABC+∠C = x + 2x + 2x =180°. 解得 x = 36°. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴ ∠ABC = ∠C = ∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) . 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而 ∠ABC = ∠C =∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 所以，在△ABC 中∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC. 分析： 假设任意一种线段为已知条件 证明三线合一 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∴AD⊥BC. ∵∠ADB + ∠ADC = 180°， ∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC. ∴△BAD≌△CAD (SSS). 证明：∵在△ABD 和△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， BD＝CD (已知)， 这三条线是否在 任意边上都重合？ 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 等腰三角形的性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高_________ (简写成“三线合一”，注意：腰上的高 相互重合 和中线与底角的平分线不具有这一性质.). 你能翻译成几何语言吗？ 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 三线合一 (1)∵△ABC是等腰三角形， BD = CD (已知)∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”) (2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)∴_________，AD⊥BC，_________________________ (3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD AD⊥BC BD = CD (等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 探究这个三角形的特点 三角形的边 三角形的角 与三角形的有关线段 三角形的对称性 等腰三角形 AB = AC ∠B = ∠C 三线合一 轴对称图形 分析： 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 例2 如图，在△ABC 中， AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C＝70°.求∠BAE 和∠1 的度数. 解： ∵AB = AC， ∠C = 70°， ∴ ∠ABC = ∠C = 70°. ∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线， ∴AE⊥BC，即∠AEB = 90°. ∴ ∠BAE = 90°-∠ABE = 20°. ∵ ∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠CBF =∠ABC = 35° . 由三角形外角的性质可知， ∠1 = ∠AEB +∠CBF = 90°+ 35° = 125°. 探究点：等腰三角形的性质 新知探究 等腰三角形的_________________ _____________________________简称“________” 定义 等腰三角形 等腰三角形是___对称图形 性质 有_________的三角形 等腰三角形的两个底角_____简称“___________” 两边相等 相等 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 轴 三线合一 等边对等角 课堂小结 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.请补充下列推理过程. 第1题图 (1)∵AD⊥BC， ∴∠1＝∠ ，BD＝ ⁠； (2)∵AD是中线， ∴AD⊥ ，∠1＝∠ ⁠； (3)∵AD是角平分线， ∴ ⊥BC， ＝CD； (4)应用：若AD是等腰三角形ABC的顶角平分线， BD＝5，则BC＝ ⁠. 2　 CD　 BC　 2　 AD　 BD　 10　 当堂反馈 2. 已知等腰三角形ABC. 第2题图 (1)若AB＝AC，∠A＝70°，则∠C的度数为 ⁠； (2)若该三角形有一个角为100°，则其底角度数 为 ⁠； (3)若该三角形有一个角为80°， 则其顶角的度数为 ⁠； (4)如图，若AB＝AC，∠A＝40°，以点B 为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E， 则∠AEB的度数是 ⁠. 55° 40°　 80°或20°　 110°　 当堂反馈 3. 如图，△ABC是等腰三角形， AD是∠BAC的平分线. 若AB＝5cm，BD＝4cm， 则△ABC的周长是 ⁠. 第3题图 18cm　 4. 如图，AB∥CD，EC＝EA， 若∠CAE＝40°， 则∠BAE＝ ⁠°. 第4题图 100　 当堂反馈 5.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 证明：∵F为DE的中点， ∴DF＝EF. 又∵BD＝CE， ∴BD＋DF＝CE＋EF. ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC. 当堂反馈 $$ 第15章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 【素养目标】 1. 探索并证明等腰三角形的两条性质（等边对等角，三线合一）。（重点） 2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算。（重点、难点） 3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性， 提升推理能力。 【情境导入】 在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形， 例如下图的中和殿的屋檐设计， 你能说说为什么吗？ 中和殿 【知识链接】 等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 【合作探究】 探究点： 等腰三角形的性质 操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到 有什么特点？ 操作2: 把剪出的等腰三角形 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。 重合的线段： 重合的角： 思考： 在等腰三角形 中， 是什么特殊的线段？ 猜想：等腰三角形有什么性质？ 说说你的猜想。 操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折。 你的猜想仍然成立吗？ 思考： 如何证明你的猜想呢？ 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。 已知： 如图，在 中， . 求证： . 方法1: 作底边上的中线。 方法2: 作底边上的高线。 方法3: 作顶角的角平分线 . 等腰三角形的性质1 ：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。 几何语言： 是等腰三角形， （等角对等边）。 例1 如图，在 中， ，点 在 上， . 求 各角的度数。 已知： 如图，在 中， ，求证 平分 . 等腰三角形的性质2 : 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线合一”，注意：腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质。）。 几何语言 三线合一 (1) 是等腰三角形， （已知） （等腰三角形的“三线合一”） (2) 是等腰三角形， （已知） , ( ________________________ ) (3) 是等腰三角形， , ____________________ .（等腰三角形的 “三线合一” ） 例2 如图，在 中， 是 边上的中线， 是角平分线， . 求 和 的度数。 当堂反馈 1. 如图，在 中， ，点 在 上。 请补充下列推理过程。 (1) , (2) 是中线， _____ _____. (3) 是角平分线， , ; (4) 应用：若 是等腰三角形 的顶角平分线， ，则 __________. 2. 已知等腰三角形 . (1) 若 , ，则 的度数为_____； (2) 若该三角形有一个角为100°，则其底角度数 为_____； (3) 若该三角形有一个角为8或20°则其顶角的度数为_____； (4) 如图，若 ，以点 为圆心， 长为半 径画弧，交 于点 , 则 的度数是_____. 3. 如图， 是等腰三角形， 是的平分线。 若 , 则 的周长是_________. 第3题图 第4题图 4. 如图， , 若 , 则 _____. 5. 如图，点 , 在 的边 上， , 为 的中点，求证： . 参考答案 探究点： 等腰三角形的性质 操作1: 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即 中 ，所以 是等腰三角形。 操作2: 重合的线段： 和 和 和 . 重合的角： . 思考： 既是顶角的平分线，又是底边上的中线， 也是底边上的高。 猜想： （1）等腰三角形的两个底角相等。 （2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 操作3: 成立。 思考： 方法1: 作底边上的中线。作底边 的中线 . 在 和 中， （已知）， （已作）， （公共边）， (SSS). . 方法2: 作底边上的高线。 , . 在 与中 ( ). . 方法3: 作顶角的角平分线 .是的角平分线， . 在 与 中， . 例1 解： , , （等边对等角）。 设 ，则 , 从而 . 于是在 中，有 . 解得 . 所以，在 中 . 证明：等腰三角形的性质2 证明： 在 和 中， (SSS). . , . . 例2 解： , . 是边上的中线， ，即 . . 是 的平分线， . 由三角形外角的性质可知， 当堂反馈 1. (1) (2) 2 ; (3) AD BD . (4) 10 . 2. (1) ；（2） 40°；（3） 80°或20°(4) 110° 3. . 4. 100° 5. 证明： 为 的中点， . 又 , . . , . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3　等腰三角形 15.3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 1.探索并证明等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）. 2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算. 3.经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力. 重点：1.探索并证明等腰三角形的性质. 2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算. 难点：等腰三角形性质的证明. 知识链接 等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？ 创设情境——见配套课件 探究点：等腰三角形的性质 操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形. 操作2：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. （学生讨论回答） 思考：在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的线段？ 既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高. 猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想. （1）等腰三角形的两个底角相等. （2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折.你的猜想仍然成立吗？成立. 论证：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD.求证：∠B＝∠C，AD平分顶角∠BAC，AD垂直于底边BC. 证明：在△BAD和△CAD中，∴△BAD≌△CAD（SSS）.∴∠B＝∠C（这样，我们就证明了性质1）.由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC. （教材P79例1）在配套课件中展示 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的中线，BF是角平分线，∠C＝70°.求∠BAE和∠1的度数. 解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°.∵AB＝AC，AE是BC边上的中线，∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°.∴∠BAE＝90°－∠ABE＝20°.∵∠ABC＝70°，BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF＝∠ABC＝35°.由三角形外角的性质可知，∠1＝∠AEB＋∠CBF＝90°＋35°＝125°. 归纳总结：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）. 1.[规范作答]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.请补充下列推理过程. （1）∵AD⊥BC，∴∠1＝∠　2　，BD＝　CD　； （2）∵AD是中线，∴AD⊥　BC　，∠1＝∠　2　； （3）∵AD是角平分线，∴　AD　⊥BC，　BD　＝CD； （4）应用：若AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则BC＝　10　. 2.[串题进阶]已知等腰三角形ABC. （1）若AB＝AC，∠A＝70°，则∠C的度数为　55°　； （2）若该三角形有一个角为100°，则其底角度数为　40°　； （3）[高频易错]若该三角形有一个角为80°，则其顶角的度数为　80°或20°　； （4）如图，若AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E，则∠AEB的度数是　110°　. 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，△ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的平分线.若AB＝5cm，BD＝4cm，则△ABC的周长是　18cm　. 4.如图，AB∥CD，EC＝EA，若∠CAE＝40°，则∠BAE＝　100　°. 5.[教材变式]如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 证明：∵F为DE的中点，∴DF＝EF. 又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF. ∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 轴对称图形→等腰三角形→应用 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$