精品解析：2024-2025学年北师大版七年级数学下册期末质量监测试题（1）

2024–2025学年度第二学期七年级期终质量监测 数学试题卷（1） 全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 6. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知平行四边形中，，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点A，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则边的长为（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 已知，，则________． 13. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是______． 14. 如图，在中，，，平分交于点D，点E是的中点，连接，则的度数为__________． 15. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ________． 三、解答题（一）：（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在△ABC中，，． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数． 四、解答题（二）：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 19. 小明正在参加答题闯关游戏节目，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，这两道题都各有3个选项（只有一个选项是正确的），且这两道题小明都不会． （1）如果小明随机选择一个选项，求小明答对第一道题的概率是多少? （2）如果小明两道题各随机选择一个选项，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率； （3）若小明在答题过程中有一次“求助”的机会（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.请你分别计算小明在第一题求助和第二题求助后的概率，并比较大小． 20. 如图，都是等边三角形，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题： （1）滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） （2）滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； （3）在整个往返过程中，若，求的值． 五、解答题（三）：（第22题13分，第23题14分） 22. 为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积是　　． （2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间关系：　　． （3）应用：已知，，求，． 23. 问题情境： 在数学实践课上，张老师带领同学们以“一个含直角三角尺和三条平行线”为背景开展数学活动，已知直线和直角，，． 操作发现： （）在图中，老师先把直线放在直线力之间，点在直线上，则 ； （）如图，知行小组同学在（）的基础上，把直线向上平移，并把的位置改变，点在直线上，求； 实践探究： （）善行小组在知行小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，点在直线上，当时，是否平分，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024–2025学年度第二学期七年级期终质量监测 数学试题卷（1） 全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可得出答案． 【详解】根据轴对称图形的定义可知，A、B、C是轴对称图形，D不是轴对称图形， 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键． 2. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 3. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 4. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 5. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、属于随机事件，故本选项不符合题意； B、属于随机事件，故本选项不符合题意； C、属于必然事件，故本选项符合题意； D、属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 6. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， ∴A、B之间的距离不可能是， 故选：D． 7. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F, ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D， ∴DF=CD=3 ∵点E为AB的中点， AB＝12 ∴BE=AB=6 ∴△DBE的面积为 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角，是解题的关键．连接，中垂线的性质结合外角的性质得到，等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 9. 如图，已知平行四边形中，，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点A，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则边的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形与动点．熟练掌握菱形的判定和性质，函数图象中的关键信息，三角形面积公式，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 过点A作，交延长线于点E，判定平行四边形是菱形，分析函数图象得到点从点到点过程中的面积是a，菱形的边长是a，得到，求得，点从点运动到点A行进的路程为，用勾股定理求得，得到，根据勾股定理解得，即得． 详解】解：如图① ，过点A作，交延长线于点E． ∵， ∴平行四边形是菱形． 由图2可知，点从点到点行进的路程是a，的面积是a， ∴菱形的边长是a． ∵， ∴． ∵， ∴． 当点从点运动到点A时， 逐渐减小到0，行进的路程为 ． ∴． ∴． ∵， ∴． 解得． ∴边的长为． 故选：A． 10. 如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BE，依据是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC． 【详解】如图，连接BE， ∵点D是AB边的中点， l⊥AB， ∴l是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴AE+CE=BE+CE， ∵BE+CE≥BC， ∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变， ∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线性质定理是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的计算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据，，计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 已知，，则________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案为：54． 13. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，每分钟滴出滴水，每滴水约毫升，则一分钟滴水毫升毫升，则分钟可滴毫升，据此即可求解，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 即， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分交于点D，点E是的中点，连接，则的度数为__________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理结合等边对等角可得，由角平分线的定义可得，从而得出，推出，再由等腰三角形的性质可得，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故答案为：①②④． 三、解答题（一）：（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，除法运算，合并同类项．先计算积的乘方运算，再计算同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值得方法． 18. 如图，在△ABC中，，． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线． （2）根据到腰三角形的性质和三角形的内角和可得出再线段的垂直平分线的性质得到得到再计算出即可． 【小问1详解】 如图设所示： ∴直线MN和点D就是所求作的图形． 【小问2详解】 ∵的垂直平分线交AC于点D， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 四、解答题（二）：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 19. 小明正在参加答题闯关的游戏节目，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，这两道题都各有3个选项（只有一个选项是正确的），且这两道题小明都不会． （1）如果小明随机选择一个选项，求小明答对第一道题的概率是多少? （2）如果小明两道题各随机选择一个选项，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率； （3）若小明在答题过程中有一次“求助”的机会（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.请你分别计算小明在第一题求助和第二题求助后的概率，并比较大小． 【答案】（1） （2） （3）小明在第一题求助和第二题求助后的概率都为，小明无论在第几题使用“求助”，他过关的概率都一样大 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）设分别用A，，表示第一道单选题的3个选项，，，表示第二道单选题的3个选项，然后根据画树状图的方法进行求解概率； （3）由题意可分别求出当小明在第一题求助和在第二题求助时的概率，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 小明答对第一道题的概率是； 【小问2详解】 解：分别用A，，表示第一道单选题的3个选项，，，表示第二道单选题的3个选项，画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利过关的只有1种情况， ∴（小明顺利过关）的概率； 【小问3详解】 解：①小明在第一题使用“求助”，分别用A，表示第一道单选题剩下的2个选项，，，表示第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，小明顺利过关的只有1种情况， ∴（小明顺利过关）； ②小明在第二题使用“求助”，分别用A，，表示第一道单选题的3个选项，，表示第二道单选题剩下的2个选项， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，小明顺利过关的只有1种情况， ∴（小明顺利过关）； ∵， ∴小明无论在第几题使用“求助”，他过关的概率都一样大． 20. 如图，都是等边三角形，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到，再证明，由此可利用证明，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得． 【小问1详解】 证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质，正确利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 21. 某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题： （1）滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） （2）滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； （3）在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】（1）由负到正 （2） （3）当或时， 【解析】 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【小问1详解】 ∵， 当滑块在点时，，， 当滑块在点时，，， ∴值由负到正． 故答案为：由负到正． 【小问2详解】 解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； 【小问3详解】 当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 五、解答题（三）：（第22题13分，第23题14分） 22. 为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积是　　． （2）观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． （3）应用：已知，，求，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积公式列式即可； （2）根据面积的和差关系列式即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可； 【小问1详解】 解：阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； 【小问2详解】 由图可得， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴． 23. 问题情境： 在数学实践课上，张老师带领同学们以“一个含的直角三角尺和三条平行线”为背景开展数学活动，已知直线和直角，，． 操作发现： （）在图中，老师先把直线放在直线力之间，点在直线上，则 ； （）如图，知行小组的同学在（）的基础上，把直线向上平移，并把的位置改变，点在直线上，求； 实践探究： （）善行小组在知行小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，点在直线上，当时，是否平分，请说明理由． 【答案】（）；（）；（）平分，理由见解析 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）由平行线的性质得，，又由得，两角相减即可求解； （）由平行线的性质得，，即得，可得，进而得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：（）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； （）平分，理由如下： ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$