4.2一次函数 第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 第2课 一次函数 第3课时 分段式一次函数 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.通过丰富的现实情境理解分段式一次函数的概念，体会分段的必要性. 2.能根据具体的分段表达式进行实际问题的分析，作出相对合理的决策. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 现实生活中存在着大量的应用一次函数的模型，期待同学们的发现.如家庭生活中的水费、电费缴纳，乘坐出租车车费，个人所得税的收缴标准等，这些生活中的事例都具备分段收费的显著特征，并呈现出一次函数的对应关系. 问题：分段一次函数的分段标准是什么？如何确认？这种分段会对你选择产生怎样的影响呢？ 4 问题构建 现实问题背景：某单位需租一辆 45 座大客车,咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准：直接按里程计费,每千米 15 元.乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外,另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）. 问题1：上述问题中有几个变量，它们分别是什么？ 两个变量，行驶里程是自变量，租车费用是因变量. 追问：甲、乙两个租车公司在收费标准有什么不同？ 甲公司只和行驶里程有关，但费用更高；乙公司费用较低，但有服务费产生. 问题构建 问题2：如果你是该单位的租车负责人，设行驶里程为km,你能写出两个公司的租车费用的关系式吗？ ; 追问1：假设该单位用车里程为 30 km,你建议租用哪家公司的客车？ 当=30时， =15×30=450元 当=30时，=10×30+200=500元，选择甲公司. 问题构建 问题2：如果你是该单位的租车负责人，设行驶里程为km,你能写出两个公司的租车费用的关系式吗？ ; 追问2：假设该单位用车里程为 52 km,你建议租用哪家公司的客车？ 当=52时， =15×52=780元 当=52时，=10×52+200=720元，选择乙公司. 追问3：用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 问题构建 问题2：如果你是该单位的租车负责人，设行驶里程为km,你能写出两个公司的租车费用的关系式吗？ ; 追问4：作为负责人，你将按怎样的方案进行选择？ 当40时，选择甲公司更便宜； 当=40时，甲、乙两个公司收费相同； 当＞40时，选择乙公司更便宜. 追问5：如何选择，主要由哪个因素决定？ 该公司行驶里程，即自变量的最终结果决定方案如何选择. 协作破冰 现实问题 函数建模 得关系式 数据分析 作出决策 教师示范 例1：为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 问题3：上述问题中有几个变量，它们分别是什么？是否有常量，是什么？ 两个变量，户年用水量是自变量，水费费用是因变量.不同档位的水费单价是常量. 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 ≤220 3.45 第二档 ≤300 4.83 第三档 ＞300 5.83 教师示范 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 ≤220 3.45 第二档 ≤300 4.83 第三档 ＞300 5.83 问题4：第一档水费与之间有怎样的关系式？ （≤220） 追问：第一档水费与是哪种关系的函数？范围内水费最高是多少？ 正比例函数，当=220时，𝑦=3.45×220=759元. 教师示范 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 ≤220 3.45 第二档 ≤300 4.83 第三档 ＞300 5.83 问题5:第二档的水费增加了你是如何理解的？当 220＜x≤300 时,你能写出水费与之间有怎样的关系式?第二档水费最高是多少？ 第一档的 220 按单价 3.45元/  计费，费用为 3.45×220=759元； 超出第一档的水量为 (−220) ，按第二档单价 4.83元/  计费，费用为 4.83(−220)； 总水费为两部分之和：​=3.45×220+4.83(−220)=759+4.83−1062.6=4.83−303.6​，最高是1145.4元. 教师示范 问题7：某户去年一年的水费是 1000.5 元,求该户去年一年的用水量. 问题6：某户一年用水量是 250m³,求该户这一年的水费； 因为250 属于第二档的范围，直接代入： =4.83−303.6，当=250 ， 4.83×250-303.6=903.9元. 由问题5的计算可得，第二档最高水费为1145.4元，所以1000.5元属于第二档，借助函数关系式和方程思想可得： 4.83−303.6=1000.5 因此该户去年一年的用水量为270 . 巩固拓展 问题8：在例 3 中，第三档水费与之间有怎样的关系式？ 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 ≤220 3.45 第二档 ≤300 4.83 第三档 ＞300 5.83 第三档：>300  第一档 220  费用：3.45×220=759元； 第二档 300−220=80  费用：4.83×80=386.4元； 超出第二档的水量为 (−300) 按第三档单价 5.83元/  计费,费用为 5.83(−300)； 总水费为三部分之和：​=759+386.4+5.83(−300)=1145.4+5.83−1749=5.83−603.6​ 巩固拓展 问题9：本例与之间有怎样的关系式？ 本例中出现的一次函数关系，因不同范围内收费标准不同，产生的一次函数关系式发生了很大的变化，我们常用分段式函数表示这种生活中的数学现象，比如本节课主干问题中提到的交税标准也是执行了分段式一次函数这一数学模型. 巩固拓展 问题10：像例 3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ ① 分档计费的意义 引导资源节约：通过 “阶梯加价”,让 “多消耗资源” 的用户支付更高成本,激励人们减少浪费（如少用水、电）,提升资源利用效率，助力可持续发展. 保障民生公平：第一档以低价覆盖 “基本需求”（如家庭日常用水 / 电）,保障低收入群体的基本生活；超出部分加价,体现 “多消费多付费”,更符合公平原则. 调节市场需求：用价格杠杆调控资源消耗（如缺水地区通过水价抑制过度用水）,缓解资源稀缺压力,平衡供需关系. 巩固拓展 ② 设计计费规则的注意事项 档位划分要 “接地气”： 调研大众日常用量（如统计 80% 家庭的月均用水量设为第一档上限）,让普通用户基本处于低价档 价格梯度要 “合理”： 第二、三档的单价涨幅需平衡 “约束性” 和 “可接受性”—— 既让超额消费付出更高成本,又不致价格突变让用户难以接受. 规则要 “透明易懂”： 明确公示档位区间、单价、计算方式,让用户能轻松算清费用,减少争议（如 “第一档 0~220m³,单价 3.45 元”,规则越简单,用户越易接受）。 预留 “动态调整” 空间：,定期更新档位和价格 结合社会发展（如居民用水习惯变化、物价上涨）,保持规则的合理性（如近年水费调整常与通胀、水资源压力挂钩）. 巩固拓展 ③ 生活中的类似计费案例 能源类：阶梯电价（用电分档加价）、天然气阶梯价； 交通类：出租车 “里程 + 时段” 分档 （如高峰时段加价、超里程加价）； 服务类：快递 “首重 + 续重” 计费 （首重低价,超重后每公斤加价）、手机流量 “套餐内低价 + 超出后计费”； 消费类：商场停车费 “首小时低价 + 超时加价”、健身房“基础会员费 + 超时长 / 项目收费”. 分档计费的核心是 “兼顾民生与效率” —— 既保障基本需求，又用市场手段推动资源合理利用，设计时需充分考虑 “人性、公平、可执行性”. 当堂检测 1.某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度.若每月用水量 不超过14吨（含14吨）,则每吨按2元收费；若每月用水量超过14吨， 则超过部分每吨按3.5元收费. （1）设每月用水量为吨，应交水费为元，当时，求与 之 间的关系式. 解：当时， . （2）若小名家9月份用水15吨,则9月份水费为多少元？ 解：由（1）可知，9月份水费为 （元）. 当堂检测 （3）若小名家10月份交水费49元,求他家10月份用水多少吨? 解：（元）， ， 小名家10月份用水超过14吨. 当时， ， 解得 . 答：小名家10月份用水20吨. 当堂检测 2.北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位） 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 含 的部分 2.67元/ 第二阶梯 含 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 根据表中所给的数据回答以下问题： 当堂检测 （1）设某户这个冬季用气量为 ，缴纳燃气 费用为元，求与 之间的关系式. 解：当 时， . （2）某户用气量为 ，求此户需缴纳的燃气费用. 解：当时， . 此户需缴纳的燃气费用为5 580元. 当堂检测 （3）已知某户该冬季缴纳燃气费用为5 895元，求该户用了多少立方 米的燃气. 解：设该户用 的燃气. 当用气量为时，费用为 （元） 元， 当用气量为时，费用为 （元） 元. 该用户燃气用量属于第二阶梯. ， 解得 . 该户用了 的燃气. 反思总结 1.分段一次函数关系进行分段的依据是什么？ 2.如何借助分段表达式对方案进行区分，并作出相应的决策？ 3. 需要应用分段一次函数关系的题目有哪些特点？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P84页 第1题 二、素养类作业 尝试课本P88页 第12题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$