专题4.5 利用相似三角形测高（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题4.5 利用相似三角形测高 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾与储备 1 活动（一）利用阳光下的影子来测量旗杆的高度 1 【题型1】利用阳光下的影长测量旗杆的高度 2 活动（二）利用标杆测量旗杆的高度 3 【题型2】利用利用标杆测量旗杆的高度 3 活动（三）利用镜子的反射测量旗杆的高度 4 【题型3】利用镜子的反射测量旗杆的高度 5 二．同步练习 6 【基础巩固（20题）】 6 【能力提升（20题）】 12 【直能中考（8题）】 19 一．知识梳理与题型分类精析 知识回顾与储备 1. 判定三角形相似的方法有: （1）两组角对应 ，两三角形相似．（2）两边对应成比例且 相等，两三角形相似． （3）三边对应 ，两三角形相似． 2. 太阳光可近似看成 ： 活动（一）利用阳光下的影子来测量旗杆的高度 活动方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的_________和此时旗杆的_______．（点拨：把太阳的光线看成是平行的．） ∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE＝∠CDB=_____°， ∴△_______∽△_______ ∴ 即CD= 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 【题型1】利用阳光下的影长测量旗杆的高度 【例题1】（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【变式2】（2023·广西南宁·模拟预测）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 活动（二）利用标杆测量旗杆的高度 活动方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M． 点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝_______° ∴人、标杆和旗杆是互相_______的． ∵EF∥CN，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3， ∴△______∽△______，∴ ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出， ∴能求出CN，∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，∴四边形ABND为________． ∴DN＝_______，∴能求出旗杆CD的长度． 【题型2】利用利用标杆测量旗杆的高度 【例题2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求： （1）小明的影长 （2）旗杆的高度． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 活动（三）利用镜子的反射测量旗杆的高度 活动方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度． 点拨：入射角＝反射角 ∵入射角＝反射角 ∴∠________＝∠________ ∵人、旗杆都_________于地面 ∴∠B＝∠D＝_______° ∴△________∽△________，∴ 因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度． 【题型3】利用镜子的反射测量旗杆的高度 【例题3】（24-25八年级下·山东泰安·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【变式1】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 【变式2】（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反 电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．30米 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 4．（2025·广东深圳·一模）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D．6m 5．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）“中国第一高树”云南黄果冷杉高度为，相当于28层楼高．小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板的斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则冷杉的高为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 二、填空题 9．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ． 10．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ． 11．（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔或像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 12．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下1.6米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为 米． 13．（24-25九年级上·北京石景山·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部影子落在教学楼的墙壁上（如图），其墙壁上影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 ． 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 16．（2024·山东临沂·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·广东梅州·期末）学习完《利用相似三角形测高》这一节知识后，小明所在活动小组利用课余时间测量了附近一河流的宽度，下图是小明他们填写的报告的部分内容，根据小明的测量数据，求出河流的宽度． 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 18．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，公路旁有两个高度相同的路灯，小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处；晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． （1）在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为米，他离里程碑E恰好2米，求路灯的高． 20．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（2025八年级下·山东·专题练习）小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点是坐标原点），则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（   ） A． B．5m C． D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）八年级物理课上，老师和学生一起做“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，路灯的高度为，身高为的小明（用表示）站在D处时，他在路灯下的影长为，已知点B，C，D在一条直线上，点C，E，A在一条直线上，，，此时小明与路灯的距离为 ． 10．（2025·广东汕头·二模）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 11．（2025·湖南邵阳·一模）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 13．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 14．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是 ． 15．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．    16．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 19．（24-25九年级上·河南郑州·期中）陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【直能中考（8题）】 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    三、解答题 6．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． （1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 7．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    8．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 利用相似三角形测高 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾与储备 1 活动（一）利用阳光下的影子来测量旗杆的高度 1 【题型1】利用阳光下的影长测量旗杆的高度 2 活动（二）利用标杆测量旗杆的高度 4 【题型2】利用利用标杆测量旗杆的高度 5 活动（三）利用镜子的反射测量旗杆的高度 7 【题型3】利用镜子的反射测量旗杆的高度 8 二．同步练习 10 【基础巩固（20题）】 11 【能力提升（20题）】 26 【直能中考（8题）】 47 一．知识梳理与题型分类精析 知识回顾与储备 1. 判定三角形相似的方法有: （1）两组角对应 相等 ，两三角形相似．（2）两边对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似． （3）三边对应 成比例 ，两三角形相似． 2. 太阳光可近似看成 直线 ： 活动（一）利用阳光下的影子来测量旗杆的高度 活动方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的 影长 和此时旗杆的 影长 ．（点拨：把太阳的光线看成是平行的．） ∵太阳的光线是 平行 的，∴ AE ∥ BC ，∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是 垂直 于地面的，∴∠ABE＝∠CDB= 90 °， ∴△ ABE ∽△ CDB ∴ 即CD= 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 【题型1】利用阳光下的影长测量旗杆的高度 【例题1】（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】（1），；（2）43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 解：（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 【变式2】（2023·广西南宁·模拟预测）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴旗杆的高为， 故答案为：． 活动（二）利用标杆测量旗杆的高度 活动方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在 一条直线上 时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M． 点拨：∵人、标杆和旗杆都 垂直 于地面，∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝ 90 ° ∴人、标杆和旗杆是互相 平行 的． ∵EF∥CN，∴∠ 1 ＝∠ 2 ，∵∠3＝∠3， ∴△ AEM ∽△ ACN ，∴ ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出， ∴能求出CN，∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，∴四边形ABND为 矩形 ． ∴DN＝ AB ，∴能求出旗杆CD的长度． 【题型2】利用利用标杆测量旗杆的高度 【例题2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求： （1）小明的影长 （2）旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 解：（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 活动（三）利用镜子的反射测量旗杆的高度 活动方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆 顶端 ．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度． 点拨：入射角＝反射角 ∵入射角＝反射角 ∴∠ AEB ＝∠ CED ∵人、旗杆都 垂直 于地面 ∴∠B＝∠D＝ 90 ° ∴△ AEB ∽△ CED ，∴ 因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度． 【题型3】利用镜子的反射测量旗杆的高度 【例题3】（24-25八年级下·山东泰安·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】（1）墙的垂直高度为米；（2）墙的垂直高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 解：（1）， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； （2），， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 【变式1】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度． 解：根据题意，，， ∴， 米，米，米， 米， 该古城墙的高度是15米． 故选C． 【变式2】（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反 电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．30米 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同． 解：设教学大楼的高度为米， 在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似， ， 解得 则教学大楼的高度为18米． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为， 则， 解得， 所以另一段长为， 因为，所以是第5张． 故选：A． 4．（2025·广东深圳·一模）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D．6m 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 先求解，再根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 解：， 由题意得：，， ， ， ， ． 故选B． 5．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：树的高度为； 故选：C． 6．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 7．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）“中国第一高树”云南黄果冷杉高度为，相当于28层楼高．小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板的斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则冷杉的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．根据即可求得的长，进而求得树高． 解：依题意，，， ， ， cm，cm，m，m， ， ． 故选：B． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案． 解：∵， ∴． ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可． 解：设小明爸爸的影子长为， 由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质求解即可得． 解：如图，由题意得：， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔或像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 12．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下1.6米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为 米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据光沿直线传播的道理可知，则，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答． 解：太阳光是平行光线， ， ， ，即， 米， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·北京石景山·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部影子落在教学楼的墙壁上（如图），其墙壁上影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 ． 【答案】/8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度为，则，据此即可求解； 解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度为， 则， 解得： ∴树高为 故答案为： 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 解：如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米， 故答案为：． 16．（2024·山东临沂·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24九年级上·广东梅州·期末）学习完《利用相似三角形测高》这一节知识后，小明所在活动小组利用课余时间测量了附近一河流的宽度，下图是小明他们填写的报告的部分内容，根据小明的测量数据，求出河流的宽度． 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为： 18．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 【答案】山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据垂直的定义得到，利用相似三角形的判定得到和，根据相似三角形的性质分别得到，，再联立解方程即可得到结论． 解：由题意得：，，， ， 又，， ，， ，， ，， 解得：米，米， 答：山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，公路旁有两个高度相同的路灯，小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处；晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． （1）在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为米，他离里程碑E恰好2米，求路灯的高． 【答案】（1）见分析；（2）米 【分析】本题考查了投影以及相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意即可作图； （2）由题意得身高为米的小明在太阳光下的影子为米，即，，，证，得，即可求解． 解：（1）解：如图所示： （2）解：∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米， ∴身高为米的小明在太阳光下的影子为米，即，， ∵小明离里程碑E恰好2米， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴路灯的高为米． 20．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（2025八年级下·山东·专题练习）小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可知，，，，得，，，进而根据可得，再根据线段的和差关系即可求解． 解：如图，由题意可知，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点是坐标原点），则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题得，，得到，根据相似三角形的性质得到或求出或，得到或，即可得到答案． 解：， ， ； 直线交轴的正半轴于点，交轴于点， ， ， ， 或 或， 或， 当时，， 代入得， 解得； 当时，， 代入得， 解得， 综上所述，的值为或， 故选：D． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（   ） A． B．5m C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，代入数据可得答案． 解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得或 （舍去）， ∴树的高度长为 故选： D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）八年级物理课上，老师和学生一起做“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②，得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：C． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可． 解：如图，为路灯的高，设， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   由①②得即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即：标杆的影长为． 故选C． 7．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的实际运用，设小城的边长为x步，利用可得比例关系，代入相关数据即可计算． 解：设小城的边长为x步，根据题意，， 则， ， ， ， ， 故选：B． 8．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 二、填空题 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，路灯的高度为，身高为的小明（用表示）站在D处时，他在路灯下的影长为，已知点B，C，D在一条直线上，点C，E，A在一条直线上，，，此时小明与路灯的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，从而得出，则，代入题目中条件，求出长，进而由求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．（2025·广东汕头·二模）在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2025·湖南邵阳·一模）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 【答案】28 【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 解：设海岛高， ． ∵，， ∴, ∴， ∴，即 ①． 又∵，， ∴, ∴， ∴，即 ②． ∴①，得； ∴②，得 ． ∴，解得 ． 即海岛的高为 ， 故答案为：28． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 【答案】70 【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形． 解：连接交于点H，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：． 设，，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 故答案为：70． 13．（2025·福建·一模）身高均为的小明与小强在学校球场的照明灯和照明灯之间，两盏灯的高度均为，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在灯的底部处，小强的身影的顶部正好在灯的底部处，已知两灯之间的距离为，则两人的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关在知识．由题意可得：，，推出，，进而得到，，可求出，最后根据，即可求解． 解：由题意得：，，，，， ，， ，， 即，， ， ， 即两人的距离是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，求出，即可得到答案． 解：，， ， ， ，，， ， 点离地面的高度为， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 解：如图，    由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意知点F、B、D共线，作于Q，交于P，易得，，计算出，，再证明，然后利用相似比计算出即可求出答案． 解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）窗户的高度为；（2）下调后每辆汽车的售价为21万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，列出方程是解题的关键； （1）阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度． （2）设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时，根据等量关系：平均每周的销售利润为96万元，利用一周的销售利润等于一辆汽车的利润与销售的汽车数的乘积，列出一元二次方程，并求解即可． 解：∵， ，， ， ， ， 解得：， ， 答：窗户的高度为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要尽量让利顾客，所以 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为7.5米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】河流的宽度为10米 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质的应用，过点E作，垂足为H，先证，得出，再证得出，求出结论． 解：过点E作，垂足为H， ， ， ， ， ． ，， ． ， ， ，即 ． 答：河流的宽度为10米． 19．（24-25九年级上·河南郑州·期中）陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 20．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见分析；②塔刹的高度为 【分析】本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图．[探索活动]由题意知，，，可知∽，进而求解；[解决问题]①根据题意作图即可；②根据题意可知，∽，利用相似求解． 解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①如图， ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 【直能中考（8题）】 一、单选题 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 3．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 二、填空题 4．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 解：由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    【答案】/ 【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 三、解答题 6．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． （1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值． 解：（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 7．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 8．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）旗杆高度为；（3）雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 解：（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$