7.4.1二项分布（课件）—2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项分布 1 情境引入 情境1：现在刘备帐下除了诸葛亮之外还有五名谋士.假设对某事进行决策时，五名谋士提供正确意见的概率均为0.8，诸葛亮提供正确意见的概率是0.9.现刘备为某事是否可行征求他们意见.以下有两种方案： (1)征求五名谋士的意见，并按多数人的意见做出决策. (2)采纳诸葛亮的意见. 同学们，如果你是刘备，你应该选择哪种方案呢？ 情境2：近年来，的迅速发展给生活带来了很多便捷.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.连续测试次，智能客服的回答被采纳次的概率是多少？ 思考：上述两个问题情境有何共同特征？ (1)只包含两个可能的结果(被采纳和不被采纳)； (2)每次试验重复做了次，且相互独立. 掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上； 检验一件产品结果为合格或不合格； 飞碟运动员射击时中靶或脱靶； 医学检验结果为阳性或阴性； …… 上述试验都只包含两个可能结果. 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 掷一颗质地均匀的硬币10次； 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次； 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件； …… (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立. 总结以下几个随机试验有什么共同特征？ 问题 瑞士数学家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。他还研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。概率论中的伯努利试验与大数定理也是他提出来的。 1 每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生； 2 每次试验是在同样条件下进行的； 3 各次试验中的事件是相互独立的； 4 每次试验，某事件发生的概率是相同的。 重伯努利试验具有如下共同特征: 新知初探 活动1：以小组为单位，讨论下面个随机试验是否为重伯努利试验？ 如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为，那么的概率是多大？重复试验的次数是多少？ (1)抛掷一枚质地均匀的硬币次. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次. (3)一批产品的次品率为，有放回地随机抽取件. (1)抛掷一枚质地均匀的硬币次. “射击中靶”，，. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次. “正(反)面向上”，，. (3)一批产品的次品率为，有放回地随机抽取件. “抽到正品”，，. 问题1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次。 (1)中靶次数的可能取值为？ (2)试说明连续射击次，射击中靶次是什么意思？次呢？ (3)中靶次数的概率分布列是怎样的？ 析:(1)X 的可能取值为0,1,2,3. （2）连续射击次，射击中靶次是指“次都不中靶”；射击中靶次是指“有次中靶，其余次都不中靶(有可能是第次中靶，也有可能是第次中靶，还有可能是第次中靶)”. 问题1：（3）中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3)， 用下列树状图表示试验的可能结果. 问题1：（3）中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 则A1，A2，A3相互独立， 中靶次数X的分布列： . 活动2：以小组为单位，讨论如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数等于2的结果有哪些？写出中靶次数的分布列. . 问题3：上述问题的结论能否推广到一般形式？ 二项分布的分布列 在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()， 则事件发生的次数的分布列为： . 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布， 记作. 提醒：正确理解其条件以及参数的意义 —— 事件发生的次数 —— 实验总次数 —— 事件发生的概率 —— 事件发生的概率 . 由二项式定理，容易得到：. 问题4：对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 问题5：两点分布与二项分布这两个模型之间有什么联系呢？ 两点分布： 二项分布： 一般情况 特例 (1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能的结果； (2)两点分布是时的二项分布. 典例解析 例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5. 用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5). (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6， 其中的伯努利试验是什么？ 重复试验的次数是多少？ 若定义每个试验中“成功”的事件为，则的概率是多大？ 例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 其中的伯努利试验是__________________________________. 重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立? 定义每个试验中“成功”的事件为___________________________. 发生的概率是________. 事件发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么? 观察小球碰撞到小木钉后下落的方向 10 小球碰撞到小木钉后向右落下 0.5 分析 小球最后落入格子的号码X 等于向右下落的次数 7, 0.11718 7S5eries1, 8, 0.04394 53125 Series1, 9, 0.00976 5625 Series1, 10, 0.00097 65625 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Series1, 0.00097 3, 0.11718 Series 17,5 Series1, 0.00976 65625 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 Seri i,Se i,es1, 4, 5, 6, 0.205. 06. 507 81253758125 Series1, Series1, 0, 1,53125 2, 0.04394 5625 解：设“向右下落”，则“向左下落”，且. 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程 中共碰撞小木钉10次，所以. 则的分布列为.的概率分布图如图. 通过钉板试验,我们可以发现随机现象的特点,即偶然中蕴含着必然规律.另外可以发现,当小球越来越多时,小球上面的轮廓曲线像正态密度曲线,这说明二项分布和正态分布之间有一定关系，概率论的中心极限定理揭示了二项分布可以用正态分布近似. 例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？ ①3局2胜制中“甲胜”的情况： 2:0——赛2局，甲连胜2局； 2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局； ②5局3胜制中“甲胜”的情况： 3:0——赛3局，甲连胜3局； 3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局； 3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局； 解法一 解法1符合比赛实际规则,比较容易理解,但不符合二项分布的特征。 . . 直觉上,赛制越长对水平高的一方越有利. 解法1符合比赛实际规则,比较容易理解,但不符合二项分布的特征。 ①3局2胜制：不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数， 则X~B(3，0.6). ②5局3胜制：不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数， 则X~B(5，0.6). 解法二 . . 解法2用二项分布求解,解法较简单,但不易理解. 因为，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 思考：为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率？ 第1局 第2局 第3局 最终获胜者 解法1中P(甲胜) 解法2中P(甲胜) 甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 0.62 0.63 乙胜 0.62×0.4 甲胜 甲胜 0.62×0.4 甲胜 乙胜 甲胜 甲胜 甲胜 0.62×0.4 乙胜 以3局2胜制为例 当甲先胜2局时,第3局甲是胜是输并不影响甲最终获胜的概率. 课堂练习 1.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： (1)没有鸡感染病毒的概率； (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率. 2.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，分别求质点回到原点和质点位于4的概率. 　　　 3.已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率为，某植物研究所分成两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数X，求X的分布列． X 0 1 2 3 P 　　　　 　　　 解：由题意得随机变量X可能取值为0，1，2，3，则(3,) 所以X 的分布列为:　 二项分布的实际应用 24 　　　 3.已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率为，某植物研究所分成两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的． (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共进行3次失败的概率． 解:第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验之间相互独立，因此，所求概率为: 二项分布的实际应用 25 什么是伯努利试验？ 什么是二项分布？ 二项分布的分布列如何书写？ 课堂小结 (1)整理本节课的题型； (2)课本P76的练习1——4题； (3)课本P80的习题7.4的第1、2、3、5题. 课后作业 Lavf58.46.101 $$