重难点06：高考数学十二类补充函数（12大类型+90难题攻关）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与类型全解（上海专用） 重难点06 高考数学十二类补充函数 类型一、对勾函数 1.定义:形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数. 2.图象与性质 详解式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 【例1】已知函数，下面有关结论不正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【例2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【例3】函数的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．不存在 【例4】若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5】对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【例7】已知函数，则的最小值（    ） A． B． C．0 D．1 【例8】已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 . 【例9】形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【例10】若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ． 类型二、双刀函数（双曲函数、飘带函数） 1.定义:形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为对勾函数. 2.图象与性质 详解式 图象 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数 在是减函数 【例11】函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C．1 D．-1 【例12】已知函数，，则的值域为 ． 【例13】函数的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 【例14】已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例15】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 类型三、分式型函数 一次分式函数借助于“分离常数”法，解析式可以化为 (过程比结果重要) 因此一次分式函数的图像可以看作是反比例函数图像经过平移得来 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在定义域内是减函数 在定义域内是增函数 渐近线 ， 对称性 既是中心对称，又是轴对称 对称中心 【例16】若函数的值域是，则此函数的定义域为________ 【例17】已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值 【例18】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数只有最大值没有最小值 B．若，则函数只有最小值没有最大值 C．若，则函数有最大值没有最小值 D．若，则函数有最小值也有最大值 【例19】函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则 【例20】已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【例21】已知函数，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【例22】已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【例23】已知函数，对于，，使得成立，则实数的取值范围是 . 类型四、绝对值型函数 NO1. “V型”函数 1.定义：函数 图象类似于符号“V”，故称之为 形函数,其中 为常数,且 . 2.图象与性质 其图象如下图所示： 性质：其图象的对称轴方程为 ,顶点坐标为 , 的图象开口方向向上, 的图象开口方向向下, 并且其图象左、右两支的斜率分别为 . 【例24】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． NO2. “平底型”函数 1、 定义：含两个绝对值的函数 ，， 2、其图像：平底型的锅 【例25】求函数的最小值。 【例26】函数的最大值为3，则的取值范围为______________. NO.3指数绝对值函数 指数函数核心特征是“一点一线”。 1. 一点，即一定点。 2. 一线，即一条渐近线（x轴） 3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。 【例27】若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例28】已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． NO.4对数型绝对值函数 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 【例29】已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例30】已知存在实数满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 类型五、囧函数：偶次型、半脸型 NO.1囧函数 1.定义：函数f(x)=(a的图像形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”。 2.图像：如函数y=的图像: 3.性质：定义域为x不等于a 值域为{y|y 奇偶性：偶函数 单调性：如图 【例31】已知函数，求： （1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象； （2）写出函数的单调区间． 【例32】函数（，）图像形如中国汉字“囧”字，因此我们把函数称之为“囧函数”；判断下列命题的正假，并说明理由； ①“囧函数”的值域为：； ②“囧函数”在上严格单调递增； ③“囧函数”的图像关于轴对称； ④“囧函数”有两个零点； ⑤“囧函数”的图像与直线至少有一个交点； 【例33】函数f(x)=(a的图像形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”。若函数f(x)=(a,a)有最小值，则当a=b=1时的囧函数与y=的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【例34】函数f(x)=(a的图像形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧”点，以“囧”点为圆心凡是与囧函数有公共点的圆，皆称为囧圆，则当a=b=1时的所有囧圆中，面积最小的是_______. 【例35】已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是________ 【例36】试讨论方程解的个数 NO.2偶次型函数 形如：函数f(x)=(a 【例37】画出y=的函数图像并求其单调区间 【例38】判断并证明函数f（x）=在区间（﹣1，0）上的单调性． 【例39】画出函数的大致图像，并求函数的严格单调递增区间。 类型六、取下整函数（高斯函数）、取上整函数 NO.1取下整函数 1.定义：[x]表示不超过x的最大整数，[x]称为高斯函数，也叫取整函数. 2.函数图像 3.性质：①定义域：； ②值域：； ③图象：台阶型线段； ④图象与直线的交点个数(或方程的根的个数，或的零点个数。 ⑤应用：纳税、电话资费、出租车费用等。 由取整函数的定义知，[x]≤x<[x]＋1， 高斯函数的应用：1.求值域，2.求交点个数，3.解不等式。 【例40】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例41】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例42】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【例43】函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例44】设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有 ( ) A. B. C. D. 【例45】已知表示不超过x的最大整数，且关于x的方程(且)在上有解，则实数a的取值范围是___________. NO.2构造函数f(x)=x-[x] 1.定义： 2.图像 3.性质 ①定义域：； ②值域：； ③周期性：。 【例46】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．区间，上的值域为， B．区间，上的值域为， C．区间，上的值域为， D．区间，上的值域为 【例47】高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例48】(多选)函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（    ） A．在R上单调递增，且图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数与函数的图象没有交点 NO.3取上整函数 1.定义：{x}表示不小于x的最小整数，{x}取上整函数. 2.图像 3.性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等 【例49】定义(其中表示不小于的最小整数)为“取上整函数”，例如以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是（ ） ① ②若则 ③任意有 ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 类型七、最值函数(取大/取小函数)、有界函数 1、最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 【例50】设，其中表示a，b，c三个数中的最小值,则的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【例51】已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【例52】已知，设函数，则的最值情况是 A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最小值，无最大值 D．既无最大值，又无最小值 【例52】定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．若函数. （1）求函数的解析式及其单调区间； （2）求函数的值域. 2、有界函数 定义在D上的函数f(x),如果满足，对任意xD,存在实数M，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界；对于函数f(x)，在使f(x)成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界。 【例53】函数的值域是 ． 【例54】函数的值域是 ． 【例55】函数的值域为 ． 【例56】求函数的值域。 【例57】对于函数，在使f(x)成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界。现已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f（1+x),当x[0,1]时，f(x)=-+2,则f(x)的下确界为_______. A.2 B.1 C.0 D.-1 【例58】定义在D上的函数f(x),如果满足，对任意xD,存在实数M，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界。已知函数f(x)=1+a+在（-，0]上是以3为上界的函数，则实数a的取值范围是______. 类型八、病态函数：狄利克雷函数和符号函数 NO.1狄利克雷函数： 1.定义：狄利克雷函数：。 2.性质：①定义域:； 值域：； 解析式不正常 ② 无法画出图像 稠密性，离散性 ③周期性：以任何正有理数为周期，但没有最小正周期； ④非单调函数，不连续，处处无极限。 ⑤偶函数。 【例59】设函数，则下列结论错误的是 ( ) A.的值域为 B.是偶函数 C.不是周期函数 D.不是单调函数 【例60】19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 【例61】德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【例62】数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【例63】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称f(x)为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数f(x)，给出下面14个命题，正确的有（ ） （1）f() （2）函数y=f(x)的图像是两条直线 （3）对于任意x （4）方程f(f(x))=x的解只有x=1 （5）对任意x （6）对任意x （7）对任意 （8）对任意 NO.2符号函数： 1.定义。符号函数： 2.图像 3.性质：①定义域：； ②值域：； ③周期性：非周期函数； ④非单调函数； ⑤奇函数。 【例64】已知符号函数 是R上的增函数，，则 ( ) A. 　 B. C. D. 类型九、凹凸函数 凹凸函数阵容：凸函数、凹函数、上凸函数、下凹函数 1. 函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)． 2. 相对性： 3. V型 4. 切线位置 5. 割线位置 6. 不等式关系 【例65】设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则函数的“严格凸区间”为（ ） A． B． C． D． 【例66】已知定义在上的函数，如果满足：对任意两个不相等的实数，都有，则称函数具有“下凸性”．则下列函数：①；②；③；④.其中具有“下凸性”函数的个数是（    ） A．1 B． C．3 D． 【例67】函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例68】设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例69】若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型十、三角型函数、保三角形函数 1.三角形函数 对于函数f(x),若任意a，b，cf(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为三角形函数。 实质：f(a)+f(b)>f(c)恒成立，转化为f(a)+f(b)的最小值和f(c)的最大值的的不等式，进而求出参数的取值范围。 【例70】对于函数f(x),若任意a，b，cf(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造的三角形函数”。以下说法正确的是（ ） A.f(x)=1(x不是“可构造的三角形函数”； B.“可构造的三角形函数”一定是单调函数； C.f(x)=(x是“可构造的三角形函数” D.若定义在R 上的函数f(x)的值域[,e],则f(x)一定是“可构造的三角形函数” 【例71】已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例72】对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是__． 【例73】已知函数（是常数）. （1）若，求函数的值域. （2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方. （3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围. 【例74】已知函数（其中为常数）. （1）判断函数的奇偶性； （2）若不等式在时有解，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由. 【例75】已知函数（是常数）. （1）若，求函数的值域. （2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方. （3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围. 2.保三角形函数 已知函数f(x),若对给定的，它的三边长a、b、c均在函数f(x)的定义域内，且f(a)，f(b)，f(c)也是某一三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”。 【例76】如果对任意一个三角形，只要它的三边a、b、c均在函数f(x)的定义域内，且f(a)，f(b)，f(c)也是某一三角形的三边长，则称f(x)为“和美型函数”。现有下列函数： （1）f(x)= （2）g(x)=sinx,x(0,（3）（x)=（4）h(x)=lnx,x[2,+ 其中是“和美型函数”的函数是______ 【例】设函数y=f(x),xD，如果对任意一个三角形，只要它的三边a、b、c均在函数f(x)的定义域内，且f(a)，f(b)，f(c)也是某一三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”。 （1） 求证：g(x)=(x>0)不是“保三角形函数”； （2） 试判断h(x)=x+(x>0)是否为“保三角形函数”； （3）若p(x)=x，x[M，+是“保三角形函数”，试求M的最小值。 类型十一、保值/半(倍)保值函数 1.保值函数：函数的定义域为，若满足 （1）在D上是单调函数 （2）存在区间[a,b]⊆D,使得在区间[a,b]上的值域是[a,b]， 则称为函数的“保值函数”． 2.半保值函数：函数的定义域为，若满足 （1）在D上是单调函数 （2）存在区间[a,b]⊆D,使得在区间[a,b]上的值域是[a,b](或[，]）， 则称为函数的“倍保值函数”（半保值函数）． 3.倍值函数：对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。 【例77】对于定义域为D的函数，如果存在区间，其中，同时满足:①在内是单调函数；②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”. （1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”； （2）若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； 【例78】已知函数的定义域为，若存在区间使得： （Ⅰ）在上是单调函数； （Ⅱ）在上的值域是， 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①； ②；③； ④． 【例79】函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　） ①f（x）=x2（x≥0）； ②f（x）=ex﹣1（x∈R）； ③； ④． A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①②④ 【例80】已知函数，函数x． （1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）； （3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由． 【例81】已知函数的定义域为，若存在区间使得： （Ⅰ）在上是单调函数； （Ⅱ）在上的值域是， 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①； ②；③； ④． 【例82】对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例83】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型十二、倍增/倍减函数 1、值域倍增函数：若函数满足f(x+a)=Af(x)（a>0,A>1),那么此函数的图像每经过一个T=a，函数值都会周期性的变大为原来的A倍。 2、值域倍减函数：若函数满足f(x+a)=Af(x)（a>0,0<A<1),那么此函数的图像第经过一个T=a,函数值都会周期性的缩小为原来的A倍。 倍增/倍减函数“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 【例84】定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例85】定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例86】定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【例87】已知定义在上的函数满足，且当时，，则当时，函数的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【例88】定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________. 【例89】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例90】设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与类型全解（上海专用） 重难点06 高考数学十二类补充函数 类型一、对勾函数 1.定义:形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数. 2.图象与性质 详解式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 【例1】已知函数，下面有关结论不正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C 【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：C. 【例2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【答案】A 【分析】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值 【详解】解：因为函数和在上均为减函数， 所以f(x)在上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.故选：A 【例3】函数的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．不存在 【答案】B 【解析】令，原函数化简为，在上也是增函数，可得当，． 【详解】令，函数在上是增函数， 在上也是增函数．当，即，时，．故选：B． 【例4】若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 【例5】对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得. 【详解】分离参数得， 要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，所以. 故选：D 【例6】函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数. 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 【例7】已知函数，则的最小值（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】结合函数的单调性确定正确选项. 【详解】对于函数， 任取，， 其中，所以， 所以在上递增.，令，则， 由于在上递增，当时有最小值为， 所以的最小值为.故选：A 【例8】已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案. 【详解】当时，， 故， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 故，所以，解得， 当时，， 故，其中， 所以， 综上，. 故答案为： 【例9】形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】1 【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可. 【详解】j为奇函数，且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时， 在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时， 在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 【例10】若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ． 【答案】/0.75 【分析】由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 故答案为： 类型二、双刀函数（双曲函数、飘带函数） 1.定义:形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为对勾函数. 2.图象与性质 详解式 图象 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数 在是减函数 【例11】函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】由题意结合函数的单调性可得函数在上为减函数，即可得解. 【详解】∵函数在上为减函数， ∴.故选：A. 【例12】已知函数，，则的值域为 ． 【答案】 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 【例13】函数的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】　C 【详解】　当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝ 易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝ 易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 【例14】已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可得为奇函数，结合单调性可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为的定义域为， 且，即函数为奇函数， 又因为在上单调递增， 则在上也单调递增， 因为，即， 则，所以， 则， 当且仅当时，即，取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 【例15】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以函数为偶函数； 设，则， 因为，所以，，，所以，即 所以函数在上单调递增. 由函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，在上单调递减. 所以且. 故选：D 类型三、分式型函数 一次分式函数借助于“分离常数”法，解析式可以化为 (过程比结果重要) 因此一次分式函数的图像可以看作是反比例函数图像经过平移得来 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在定义域内是减函数 在定义域内是增函数 渐近线 ， 对称性 既是中心对称，又是轴对称 对称中心 【例16】若函数的值域是，则此函数的定义域为________ 【答案】法一：画图象看定义域， 法二：解不等式或 【例17】已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值 【答案】A 【分析】先化简函数，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 【例18】关于函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数只有最大值没有最小值 B．若，则函数只有最小值没有最大值 C．若，则函数有最大值没有最小值 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可. 【详解】函数的定义域为， ， 由反比例函数的性质，得在单调递减，此时； 在单调递减，此时； 若，则在上取到，所以， 同理，在上取到，所以， 所以当，函数有最大值和最小值.故选：D 【例19】函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则 【答案】渐近线，渐近线，又， 故 【例20】已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性可得答案. 【详解】，因为在区间上是严格增函数， 所以，即.故答案为：. 【例21】已知函数，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 ，从而有在上单调递增，再结合单调性可求解． 【详解】解： ，在在上单调递增，， 或，解可得，或，即，故选A． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用． 【例22】已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【分析】先求出函数并得到在R上递增，再结合的性质求解． 【详解】解：为奇函数，，， ，单调递增，单调递增，单调递增． 为了解决问题我们先研究对勾函数的性质，，令且， ，∴在上单调递增． 若恒成立，则等价成， 即①，令，①化为 ，令， 由上面的讨论知，在上单调递增，，，∴ ， ∴ a的最大值为．故选：A． 【例23】已知函数，对于，，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】需先求函数的值域，再分两步对所要求的条件进行转化．要使对于，时成立，只要，而且，以及对任意恒成立. 【详解】，由，得，，即的值域是，． ①对于，，使得，转化为只要， ，；对于，，， 转化为只要，，解不等式组，得 或； ②由对于恒成立，， ，，解得：或； 故的取值范围是.故答案为：. 类型四、绝对值型函数 NO1. “V型”函数 1.定义：函数 图象类似于符号“V”，故称之为 形函数,其中 为常数,且 . 2.图象与性质 其图象如下图所示： 性质：其图象的对称轴方程为 ,顶点坐标为 , 的图象开口方向向上, 的图象开口方向向下, 并且其图象左、右两支的斜率分别为 . 【例24】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时，若，则，若，则， 函数的值域不可能为； 当时，，在上单调递增，在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是.故选：B. NO2. “平底型”函数 1、 定义：含两个绝对值的函数 ，， 2、其图像：平底型的锅 【例25】求函数的最小值。 解： 【例26】函数的最大值为3，则的取值范围为______________. 【答案】 【详解】 解法一： 根据上述结论，最大值为，则，解得. 解法二： 当时，；当时，； 当时，； 所以函数式可化为 函数图象如图所示： 因为 时最大值为3，又当时，，当时，； 由图知， . NO.3指数绝对值函数 指数函数核心特征是“一点一线”。 1. 一点，即一定点。 2. 一线，即一条渐近线（x轴） 3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。 【例27】若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题目转化为与的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 即与的图象有两个交点， 令，作出与的大致图象如图所示，     由图可知，则， 所以实数的取值范围是.故选：B. 【例28】已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有四个不同的实数根，转化为函数，有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当趋近于0时趋近于，当趋近于时趋近于，如图所示： 由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 则，设为方程的两根，即的两根， 则，因此， 由，得，即，则， 所以．故选：A NO.4对数型绝对值函数 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 【例29】已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出的图象，确定的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得和，进而利用二次函数的性质求出范围. 【详解】作出函数的图象，且， 方程有四个不同的实根，则， 由，得，即，由，得， ，， 函数在上单调递增，当时，， 则的取值范围为，所以的取值范围为. 故选：C 【例30】已知存在实数满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，画出函数图象，数形结合求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，所以在上单调递增，所以的图象如下所示， 又，，，∵存在，满足， 函数图象可知，，，所以， ∴，即，，的取值范围是.故选：B． 类型五、囧函数：偶次型、半脸型 NO.1囧函数 1.定义：函数f(x)=(a的图像形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”。 2.图像：如函数y=的图像: 3.性质：定义域为x不等于a 值域为{y|y 奇偶性：偶函数 单调性：如图 【例31】已知函数，求： （1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象； （2）写出函数的单调区间． 【解答】解：（1）由|2x|﹣1≠0，可得x≠±， ∴函数的定义域为{x|x≠±}； f（﹣x）==， ∴函数是偶函数； 图象如图所示； （2）函数的单调递增区间为 （﹣∞，﹣），（﹣，0）；单调递减区间为（0，），（，+∞）． 【例32】函数（，）图像形如中国汉字“囧”字，因此我们把函数称之为“囧函数”；判断下列命题的正假，并说明理由； ①“囧函数”的值域为：； ②“囧函数”在上严格单调递增； ③“囧函数”的图像关于轴对称； ④“囧函数”有两个零点； ⑤“囧函数”的图像与直线至少有一个交点； 提示：注意利用教材上研究函数的方法与过程来研究“囧函数”； 解析：①由题意，得，又由题设，故命题①是错误的； ②当时，函数等价为：，由函数在上严格单调递增，且； 又由函数在和函数在上严格单调递减；综上，“囧函数”在在上严格单调递减，故命题②是错误的； ③由题意，得，定义域关于原点对称，，为偶函数，故命题③正确； ④由囧函数”的图像，“囧函数”没有零点，故命题④是错误的； ⑤由题设，结合 “囧函数”的图像特征，由，则直线与“囧函数”的图像一定有交点； （或代数解释；不妨设，，两函数有交点，等价为关于的方程：，即有解，而，因为，则，故“囧函数”的图像与直线至少有一个交点）；故命题⑤正确； 综上，命题③、⑤是正确的； 【例33】函数f(x)=(a的图像形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”。若函数f(x)=(a,a)有最小值，则当a=b=1时的囧函数与y=的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【例34】函数f(x)=(a的图像形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧”点，以“囧”点为圆心凡是与囧函数有公共点的圆，皆称为囧圆，则当a=b=1时的所有囧圆中，面积最小的是_______. 【例35】已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是________ 【答案】画出图像，观察其与直线的交点 由图像知求出临界状态切线，当部分的函数解析式为， 和直线联立，，令，得 或，故实数的取值范围是 【例36】试讨论方程解的个数 【答案】画出函数的图像，看其与直线的交点个数 由图像可知：①若，方程无解；②若，方程1解；③若，方程2解；④若，方程4解 NO.2偶次型函数 形如：函数f(x)=(a 【例37】画出y=的函数图像并求其单调区间 【例38】判断并证明函数f（x）=在区间（﹣1，0）上的单调性． 【解答】解：根据题意，函数f（x）=在区间（﹣1，0）上单调递增， 证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=， 又由﹣1＜x1＜x2＜0， 则x2﹣x1＞0，x2+x1＜0，x12﹣1＜0，x22﹣1＜0， 则有f（x1）﹣f（x2）＜0， 则函数f（x）=在区间（﹣1，0）上单调递增． 【例39】画出函数的大致图像，并求函数的严格单调递增区间。 提示：画函数图像时，得注意先研究函数的性质； 解析：由函数，根据题意，则 定义域：； 又由函数的性质，再结合幂函数的性质， 得， 值 域：； 奇偶性：偶函数； 单调性：在区间上时严格增函数，在区间上时严格增函数； 在区间上时严格减函数，在区间上时严格减函数； 最 值：无； 零 点：无； 函数的图像（如图）； 评注：本题属于“偶次方型“囧函数””，其解析式形如：。 类型六、取下整函数（高斯函数）、取上整函数 NO.1取下整函数 1.定义：[x]表示不超过x的最大整数，[x]称为高斯函数，也叫取整函数. 2.函数图像 3.性质：①定义域：； ②值域：； ③图象：台阶型线段； ④图象与直线的交点个数(或方程的根的个数，或的零点个数。 ⑤应用：纳税、电话资费、出租车费用等。 由取整函数的定义知，[x]≤x<[x]＋1， 高斯函数的应用：1.求值域，2.求交点个数，3.解不等式。 【例40】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合表示不超过的最大整数，利用函数的值域求法求解. 【详解】解：，因为， 所以，，则，当时，； 当时，；当时，； 所以函数的值域是，故答案为：D 【例41】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立，此时； 又因为，所以，函数的值域为， 当时，；当时，； 当时，.综上所述，函数的值域为.故选：D. 【例42】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据高斯函数的定义即可得解. 【详解】由，得， 解得， 根据高斯函数的定义可得， 所以不等式 的解集为. 故选：D. 【例43】函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解. 【详解】，当且仅当时取等号， 由可得， 所以，故， 故选：C 【例44】设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有 ( ) A. B. C. D. 【解析】：，，选项A错误；，，选项B错误；，，选项C错误；选D。 【例45】已知表示不超过x的最大整数，且关于x的方程(且)在上有解，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】∵，∴不可能是方程的解， 则，若，则，不符合题意， 因此， 时，，，，不合题意； ，，，，， 时，，，，， 时，，，，， ，则，． 又，，， ∴， 故答案为：． NO.2构造函数f(x)=x-[x] 1.定义： 2.图像 3.性质 ①定义域：； ②值域：； ③周期性：。 【例46】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．区间，上的值域为， B．区间，上的值域为， C．区间，上的值域为， D．区间，上的值域为 【答案】A 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象可知，在，的值域也为，. 故选：A 【例47】高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可. 【详解】易知函数的零点即的交点， 对于函数， 显然，所以要符合题意需，如下图所示， 四个交点应在区间，即. 故选：D 【点睛】思路点睛：对于高斯函数相关的函数可以分区间讨论其函数形式，然后利用方程转化为两函数交点问题，数形结合计算即可. 【例48】(多选)函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（    ） A．在R上单调递增，且图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数与函数的图象没有交点 【答案】BCD 【分析】对于A，通过举反例即可判断结论错误；对于B，由即可求得的值域并判断；对于C，分段表示，易判断函数在上的单调性；对于D，求出函数的详解式，作出图象，数形结合即可判断. 【详解】对于A，当时， ， 且当时，，故在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误； 对于B，如图，由于，所以，所以函数的值域是，故B正确； 对于C，，满足函数单调递增的条件，故C正确； 对于D，当时，，则，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，，作出函数图象如图所示， 由图可知，函数在上的值域为, 故其与函数的图象没有交点，故D正确. 故选:BCD NO.3取上整函数 1.定义：{x}表示不小于x的最小整数，{x}取上整函数. 2.图像 3.性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等 【例49】定义(其中表示不小于的最小整数)为“取上整函数”，例如以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是（ ） ① ②若则 ③任意有 ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【详解】解：对于①，当时，，， 即，故①错误； 对于②，若，当为整数时，，此时，即， 当不是整数时，，表示不大于的最大的整数，表示比的整数部分大1的整数或者是和保持相同整数的数，此时，故②正确； 对于③，当，，当，，故③正确； 对于④，举例取,则，故④错误， 故选：C. 类型七、最值函数(取大/取小函数)、有界函数 1、最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 【例50】设，其中表示a，b，c三个数中的最小值,则的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据的意义,画出函数图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值. 【详解】 画出的图象,观察图象可知,当时,,当时,, 当时,,的最大值在时取得为9,故选D. 【例51】已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案. 【详解】令，定义域为，令，得， 且在上单调递增， 画出函数图象如下：    则的图象如下：    若，则，画出的图象如下，    显然最小值为2，不合题意， 若，则画出的图象如下：    显然函数在点取得最小值， 令，解得，正值舍去， 令，解得， 若，则画出的图象如下：    显然函数在点取得最小值， 令，解得，负值舍去， 令，解得， 综上，. 故选：B 【例52】已知，设函数，则的最值情况是 A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最小值，无最大值 D．既无最大值，又无最小值 【答案】C 【分析】先讨论的正负号将的绝对值拿掉，再解不等式，写出函数的解析式，根据解析式说明单调性，选出答案． 【详解】1)当 时，解即解得， 所以 2)当 时，解即解得， 所以综上所述 所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，在 单调递减，在 上单调递增．且 , ， 所以函数最小值，无最大值 【例52】定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．若函数. （1）求函数的解析式及其单调区间； （2）求函数的值域. 【答案】（1），函数在上是增函数，在上是减函数.（2） 【分析】 （1）对与的大小分类讨论即可。 （2）分别求分段函数在各个区间段上的值域，再求它们的并集即可。 【详解】（1）由 由 ∴ ∴函数在上是增函数，在上是减函数. （2） 当时， 当时，， 当时，， ∴的值域为. 【点睛】（1）考查了分类讨论思想及新定义概念问题。 （2）考查了分段函数的值域问题求解方法。 2、有界函数 定义在D上的函数f(x),如果满足，对任意xD,存在实数M，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界；对于函数f(x)，在使f(x)成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界。 【例53】函数的值域是 ． 【答案】 【详解】方法一：（分离常数法） 由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 方法二：（中间值法） 由，得，即， 解得：或， 故值域为 故答案为： 【例54】函数的值域是 ． 【答案】 【详解】方法一：（分离常数法） ∵，∴， 令， ， 在上单调递增，在 上单调递减 ∴的取值范围为， ∴函数的值域是， 故答案为： 方法二：（中间值法） 由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 【例55】函数的值域为 ． 【答案】 【详解】方法一：（分离常数法） 解：令t＝sinx，t∈[-1,1]， 所以原式可化为：， ∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4， ∴，则， ∴，函数的值域为． 故答案为：． 方法二：（中间值法） 由，可得，则， ∵，∴，，解得 ∴函数的值域是， 故答案为： 【例56】求函数的值域。 解：（法一）方程法：原函数可化为：， ∴（其中）， ∴，∴，∴，∴， ∴原函数的值域为． （法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略． 【例57】对于函数，在使f(x)成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界。现已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f（1+x),当x[0,1]时，f(x)=-+2,则f(x)的下确界为_______. A.2 B.1 C.0 D.-1 【答案】D 【例58】定义在D上的函数f(x),如果满足，对任意xD,存在实数M，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界。已知函数f(x)=1+a+在（-，0]上是以3为上界的函数，则实数a的取值范围是______. 类型八、病态函数：狄利克雷函数和符号函数 NO.1狄利克雷函数： 1.定义：狄利克雷函数：。 2.性质：①定义域:； 值域：； 解析式不正常 ② 无法画出图像 稠密性，离散性 ③周期性：以任何正有理数为周期，但没有最小正周期； ④非单调函数，不连续，处处无极限。 ⑤偶函数。 【例59】设函数，则下列结论错误的是 ( ) A.的值域为 B.是偶函数 C.不是周期函数 D.不是单调函数 【解析】：由狄克莱克函数性质可知选C。 【例60】19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数和无理数的概念以及函数解析式先求出，再求，最后求. 【详解】因为，所以，则， 故选B. 【例61】德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D. 【分析】对于A，因为或均为有理数， 所以，故没有零点，A错误， 对于B，因为，所以， 故不是单调函数，B错误， 对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以， 故是偶函数，C错误， 对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数， 所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确， 故选：D. 【例62】数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【答案】C 【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得. 【详解】由高斯函数的定义知，都是整数，即都是有理数，所以，A正确； 若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则也是无理数，，B正确； 取，则，C错误； 的值域是，所以的值域为，D正确． 故选：C 【例63】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称f(x)为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数f(x)，给出下面14个命题，正确的有（ ） （1）f() （2）函数y=f(x)的图像是两条直线 （3）对于任意x （4）方程f(f(x))=x的解只有x=1 （5）对任意x （6）对任意x （7）对任意 （8）对任意 NO.2符号函数： 1.定义。符号函数： 2.图像 3.性质：①定义域：； ②值域：； ③周期性：非周期函数； ④非单调函数； ⑤奇函数。 【例64】已知符号函数 是R上的增函数，，则 ( ) A. 　 B. C. D. 【解析】：当时，；时，；时，，选B。 秒杀技巧：抽象函数特殊化：设，则，而为奇函数，。 【解析】：，选B。 类型九、凹凸函数 凹凸函数阵容：凸函数、凹函数、上凸函数、下凹函数 1. 函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)． 2. 相对性： 3. V型 4. 切线位置 5. 割线位置 6. 不等式关系 【例65】设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则函数的“严格凸区间”为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的导函数，，由可得，解得，所以函数的“严格凸区间”为，所以选D。 【例66】已知定义在上的函数，如果满足：对任意两个不相等的实数，都有，则称函数具有“下凸性”．则下列函数：①；②；③；④.其中具有“下凸性”函数的个数是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】结合幂函数的图象根据“下凸性”定义判断． 【详解】的几何含义是：在区间上，图象上任意两点连线的中点，位于中点对应的函数值之上，幂函数、在第一象限的图象符合此性质，所以正确选项为C．故选：C． 【例67】函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，则恒成立，参变分离得到恒成立，令，利用导数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】函数定义域为，则，令，则，依题意恒成立，即恒成立，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.故选：B 【例68】设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】因为，所以， ，因为在上为“凸函数”，所以对于恒成立，可得对于恒成立，令，则，因为，所以在单调递增，所以，所以，故选：C. 【例69】若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，在有2个不同的实数根，则设函数，根据导数判断函数的范围，求得的取值范围. 【详解】，若函数具有“凹凸趋向性”时，则在有2个不同的实数根，令，，令，解得：，令，解得：，在上递减，在递增，故的最小值是 当越趋近于0时，也越趋近于0，当趋近于正无穷大时，也趋近于正无穷大，所以的取值范围是.故选：B 类型十、三角型函数、保三角形函数 1.三角形函数 对于函数f(x),若任意a，b，cf(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为三角形函数。 实质：f(a)+f(b)>f(c)恒成立，转化为f(a)+f(b)的最小值和f(c)的最大值的的不等式，进而求出参数的取值范围。 【例70】对于函数f(x),若任意a，b，cf(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造的三角形函数”。以下说法正确的是（ ） A.f(x)=1(x不是“可构造的三角形函数”； B.“可构造的三角形函数”一定是单调函数； C.f(x)=(x是“可构造的三角形函数” D.若定义在R 上的函数f(x)的值域[,e],则f(x)一定是“可构造的三角形函数” 【例71】已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，； ①若时，函数在区间上单调递减，则，即， 那么，当时，，， 由题意可得，则有，解得，此时，； ②当时，且当时，，则，，成立，此时； ③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，， 由题意可得，则有，解得，此时. 综上所述，.故选B. 【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 【例72】对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是__． 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得恒成立，即，因为，当时，满足；当时，由得；当时，由得；因此实数的取值范围是 【例73】已知函数（是常数）. （1）若，求函数的值域. （2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方. （3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围. 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）. 【分析】（1）将函数化为，再利用反函数法即可求解. （2）由奇函数的定义可得，代入解析式化简整理可求；只需证出即可. （3）由题意只需，，令，，可得，讨论对称轴的取值范围，根据二次函数的性质求出的最值即可求解. 【详解】（1）若，则，即， 整理得，因为，所以，即， 所以函数的值域为； （2）若为奇函数，则， 即，整理得， 因为恒不为0，所以，解得，此时， 所以， 所以图像始终在的图像的下方﹔ （3）由题意得，， 令，，则，其对称轴为， ①当，即时，严格减， 由得， 解得或，所以， ②当，即时，先减后增左端点高， 由得，无解， ③当，即时，先减后增右端点高， 由得，无解， ④当，即时，严格增， 由得， 解得或，所以， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题考查了求函数的值域、二次函数的最值以及不等式恒成立，解题的关键是得出，考查了分类讨论的思想、数学运算，此题综合性比较强. 【例74】已知函数（其中为常数）. （1）判断函数的奇偶性； （2）若不等式在时有解，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），偶函数； ，非奇非偶函数；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）先由题意得到函数的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论与，即可判断出结果； （2）先由题意，将问题转化为在上能成立；求出的最大值，即可得出结果； （3）先假设存在正数满足题意；设，求出，将对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形，转化为，任取，作差得到，分别讨论，，，四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为， 又， 当，即时，，所以是偶函数； 当，即时，是非奇非偶函数； （2）由不等式可得：，即， 所以不等式在时有解， 等价于在上能成立； 又在上单调递增，所以 因此，只需，解得； 即实数的取值范围是； （3）假设存在正数满足题意； 设，则在上单调递减， 所以，则； 所以对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形，等价于， 任取，所以， 则， ①当时，，所以， 即在上单调递增， 所以，， 由得，解得：，所以； ②当时，易得：在上单调递减，在上单调递增，所以， ， 由得：，解得：； 所以； ③当时，易得：在上单调递减，在上单调递增，所以， ， 由得：，解得：， 所以； ④当时，，所以， 即在上单调递减， 所以，， 由得，解得，所以； 综上，，又为正数，所以. 即存在满足题意. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及由不等式能成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 【例75】已知函数（是常数）. （1）若，求函数的值域. （2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方. （3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围. 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）. 【分析】（1）将函数化为，再利用反函数法即可求解. （2）由奇函数的定义可得，代入解析式化简整理可求；只需证出即可. （3）由题意只需，，令，，可得，讨论对称轴的取值范围，根据二次函数的性质求出的最值即可求解. 【详解】（1）若，则，即， 整理得，因为，所以，即， 所以函数的值域为； （2）若为奇函数，则， 即，整理得， 因为恒不为0，所以，解得，此时， 所以， 所以图像始终在的图像的下方﹔ （3）由题意得，， 令，，则，其对称轴为， ①当，即时，严格减， 由得， 解得或，所以， ②当，即时，先减后增左端点高， 由得，无解， ③当，即时，先减后增右端点高， 由得，无解， ④当，即时，严格增， 由得， 解得或，所以， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题考查了求函数的值域、二次函数的最值以及不等式恒成立，解题的关键是得出，考查了分类讨论的思想、数学运算，此题综合性比较强. 2.保三角形函数 已知函数f(x),若对给定的，它的三边长a、b、c均在函数f(x)的定义域内，且f(a)，f(b)，f(c)也是某一三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”。 【例76】如果对任意一个三角形，只要它的三边a、b、c均在函数f(x)的定义域内，且f(a)，f(b)，f(c)也是某一三角形的三边长，则称f(x)为“和美型函数”。现有下列函数： （1）f(x)= （2）g(x)=sinx,x(0, （3）（x)= （4）h(x)=lnx,x[2,+ 其中是“和美型函数”的函数是______ 【例】设函数y=f(x),xD，如果对任意一个三角形，只要它的三边a、b、c均在函数f(x)的定义域内，且f(a)，f(b)，f(c)也是某一三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”。 （1） 求证：g(x)=(x>0)不是“保三角形函数”； （2） 试判断h(x)=x+(x>0)是否为“保三角形函数”； （3）若p(x)=x，x[M，+是“保三角形函数”，试求M的最小值。 类型十一、保值/半(倍)保值函数 1.保值函数：函数的定义域为，若满足 （1）在D上是单调函数 （2）存在区间[a,b]⊆D,使得在区间[a,b]上的值域是[a,b]， 则称为函数的“保值函数”． 2.半保值函数：函数的定义域为，若满足 （1）在D上是单调函数 （2）存在区间[a,b]⊆D,使得在区间[a,b]上的值域是[a,b](或[，]）， 则称为函数的“倍保值函数”（半保值函数）． 3.倍值函数：对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。 【例77】对于定义域为D的函数，如果存在区间，其中，同时满足:①在内是单调函数；②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”. （1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”； （2）若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可； （2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可； （3）由不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，令h（x）=2x+，易证h（x）在[1，+∞）递增，同理g（x）=﹣2x[1，+∞）递减，求出函数h（x）min，与函数g（x）max，建立不等关系，解之即可求出a的范围． 【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， x∈[0，1]时，g（x）∈[﹣1，0]， 根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”． （2））由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n， 因此m，n是方程2+﹣=x的两个不相等的实数根， 等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根， 即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0 解得a＞或a＜﹣； （3）a2f（x）=2a2+a﹣，则不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立， 即﹣2x≤2a2+a﹣≤2x即不等式对x≥1恒成立， 令h（x）=2x+，易证h（x）在[1，+∞）递增， 同理g（x）=﹣2x[1，+∞）递减， ∴h（x）min=h（1）=3，g（x）max=g（1）=﹣1， ∴， ∴﹣≤a≤1且a≠0． 【例78】已知函数的定义域为，若存在区间使得： （Ⅰ）在上是单调函数； （Ⅱ）在上的值域是， 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】函数中存在“倍值区间”，则在内是单调函数,，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”， 则（Ⅰ）在，内是单调函数，（Ⅱ）， 对①，，若存在“倍值区间” ，则，，存在“倍值区间” ； 对②，，若存在“倍值区间”，当时，，故只需即可，故存在； 对③，；当时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增， 若存在“倍值区间”，， 不符题意； 若存在“倍值区间” ，不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对④，，易得在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，若存在“倍值区间” ，，，即存在“倍值区间” ，； 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查“倍值区间”的定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及函数的单调性和值域问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 【例79】函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　） ①f（x）=x2（x≥0）； ②f（x）=ex﹣1（x∈R）； ③； ④． A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，f（x）在区间[0，2]上的值域为[0，4]． 由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间． ②由于函数y=ex在R上单调递增，所以f（x）=ex﹣1在R上单调递增． 令ex﹣1=2x，再令g（x）=ex﹣2x﹣1，求导得g′（x）=ex﹣2，令ex﹣2=0，解得x=ln2． 经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2﹣1﹣2ln2=1﹣ln4＜0， 又g（2）=e2﹣5＞0，g（1）=e﹣3＜0，所以ex﹣1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb﹣2b﹣1=0． 可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=ex﹣1的倍值区间． ③由解得x=0或1；又当0≤x≤1时，≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间． ④要使函数f（x）有意义，则满足，取a＞1，令，则，解得． 由于函数y=logax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间上单调递增，所以区间是函数f（x）的倍值区间． 综上可知①②③④皆正确． 故选：A．　 【例80】已知函数，函数x． （1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）； （3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由． 【解答】解：（1）∵， ∴， 令u=mx2+2x+m，则， 当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意； 当m≠0时，若的定义域为R， 则， 解得m＞1， 综上所述，m＞1 …（4分） （2）=，x∈[﹣1，1]， 令，则，y=t2﹣2at+3， ∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线， 故当时，时，； 当时，t=a时，； 当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a． 综上所述，…（10分） （3）， 假设存在，由题意，知 解得， ∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分） 【例81】已知函数的定义域为，若存在区间使得： （Ⅰ）在上是单调函数； （Ⅱ）在上的值域是， 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】函数中存在“倍值区间”，则在内是单调函数,，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”， 则（Ⅰ）在，内是单调函数，（Ⅱ）， 对①，，若存在“倍值区间” ，则，，存在“倍值区间” ； 对②，，若存在“倍值区间”，当时，，故只需即可，故存在； 对③，；当时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增， 若存在“倍值区间”，， 不符题意； 若存在“倍值区间” ，不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对④，，易得在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，若存在“倍值区间” ，，，即存在“倍值区间” ，； 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查“倍值区间”的定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及函数的单调性和值域问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 【例82】对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围． 【详解】解：在定义域内单调递增， ， 即， 即是方程的两个不同根， ∴， 设， ∴当时,函数单调递减, 不存在两个根的问题, 时，；时，， ∴是的极小值点， 的极小值为：， 又趋向0时，趋向；趋向时，趋向， 时，和的图象有两个交点，方程有两个解， ∴实数的取值范围是． 故选:C． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 【例83】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据所给定义得到方程组，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解. 【详解】①为增函数，若函数存在“倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立， 即无零点，所以不存在“倍值区间”，故①错误； 对于②在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 所以，解得. 所以函数存在“倍值区间”，故②正确； 对于③函数在定义域上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， ， 所以在上存在一个零点， 所以在定义域上存在两个零点， 方程有解，其中，， 所以函数存在“倍值区间”，故③正确； 对于④，函数在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，，则， 所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点， 所以函数不存在“倍值区间”，故④错误； 故选：B 类型十二、倍增/倍减函数 1、值域倍增函数：若函数满足f(x+a)=Af(x)（a>0,A>1),那么此函数的图像每经过一个T=a，函数值都会周期性的变大为原来的A倍。 2、值域倍减函数：若函数满足f(x+a)=Af(x)（a>0,0<A<1),那么此函数的图像第经过一个T=a,函数值都会周期性的缩小为原来的A倍。 倍增/倍减函数“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 【例84】定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知等式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以有：， 因此有：， 当时，，所以， 因此当时，该函数有最大值， 故选：A 【例85】定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，然后将转化为来求得的解析式，由此求得的最小值. 【详解】， ， ， ，， 依题意，且当时，， 所以，故当时， 取得最小值. 故选：C 【例86】定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据，结合当时函数的解析式求出当的解析式，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】由. 当时，，当时，函数的最小值为. 故选：A 【例87】已知定义在上的函数满足，且当时，，则当时，函数的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数在上的解析式，再由二次函数性质得最小值． 【详解】∵时，． ∴， 由二次函数的最值易知最小值为， 故选：． 【例88】定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________. 【答案】 【分析】 由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值. 【详解】 由题设知，当时，，故， 同理：在上，， ∴当时，.函数的图象，如下图示. 在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：. 【例89】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项． 【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，解得， 所以要使对任意，都有，则，， 故选：B． 【例90】设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围. 【详解】令，则，故，而， 所以且， 令，则，故，而， 所以且， 结合已知：且时，而， 对且，，即随增大依次变小， 要使对任意都有，令，则且， 则上，且上， 当时，令，则，解得或， 综上，要使对任意都有，只需. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$