第09课 第二十二章二次函数22.1.1二次函数的定义同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第09课 第二十二章二次函数22.1.1二次函数的定义人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 【这里需要强调】：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2、二次函数的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3、根据实际问题的等量关系列二次函数：①审题；②确定自变量和函数字母；③找两个变量间的等量关系；④对等量关系式进行化简，写成二次函数一般形式 考点01 二次函数的判断 例题1（1）.下列函数中，是的二次函数的是     ． A. B. C. D. 【答案】B  例题1（2）.下列每组变量之间的关系为二次函数的是． A. 正方形周长与边长的关系 B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C. 速度一定时，路程与时间的关系 D. 等边三角形的面积与边长的关系 【答案】D  【解析】A.正方形周长与边长的关系式为，是正比例函数，故该选项不符合题意；菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系式为，是反比例函数，故该选项不符合题意；速度一定时，路程与时间的关系式为，是正比例函数，故该选项不符合题意；等边三角形的面积与边长的关系式为，是二次函数，故该选项符合题意．故选 D． 变式1（1）.下列关于的函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式1（2）.下列函数关系中，是二次函数的有(    ) A. 在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系 B. 当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系 C. 等边三角形的周长与边长之间的关系 D. 正方形的边长为，如果边长增加，那么面积增加，则与之间的关系 【答案】D  变式1（3）.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  考点02 二次函数的一般式 例题2. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 变式2（1）. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A  变式2（2）. 已知二次函数，则其二次项系数，一次项系数，常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  变式2（3）. 二次函数的二次项系数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：二次函数的二次项系数是， 故选：． 根据二次函数的定义：形如为常数且，即可解答． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 变式2（4）. 二次函数的二次项系数与常数项的和是          ． 【答案】  变式2（5）.函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  变式2（6）.下列函数中，哪些是关于的二次函数？若是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． ；；是常数，且 【答案】是二次函数二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，是二次函数二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，  考点03 根据二次函数的概念求字母的值 例题3（1）.若是关于的二次函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式3（1）.已知是关于的二次函数，那么的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式3（2）.已知是关于的二次函数，那么的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式3（3）.若是二次函数，则的取值范围是          ． 【答案】．  变式3（4）.若是关于的二次函数，则          ． 【答案】  变式3（5）.若关于的函数是二次函数，则的值为          ． 【答案】  考点04 列二次函数的解析式 例题4.如图，在四边形中，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】如图，过点作于点设，则．，，易得又，，．，．在中，，，即．，即与之间的函数解析式为． 变式4（1）.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放个垃圾桶，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式4（2）.已知矩形的周长为，矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱设矩形的另一条边的长为，圆柱的侧面积为，则与之间的函数解析式为          ． 【答案】  变式4（3）.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为，设其中一条直角边长为，则该直角三角形的面积与之间的函数解析式为          ． 【答案】  变式4（4）.如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． 写出与的函数关系式；上述函数是什么函数？自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1)解：y＝x2+7x． (2)二次函数． (3)x≥0．  变式4（5）.某校九班共有名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手次，试写出与之间的函数关系式，并判断是不是的二次函数． 【答案】解：．是的二次函数．  变式4（6）.已知一个菱形两条对角线的长的和为，设其中一条对角线的长为． 设菱形的面积为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； 当时，菱形的面积为多少？ 【答案】(1)由题意，得  (2)当时，，即菱形的面积为  一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：对于选项A， 符合二次函数的定义， 选项A符合题意； 对于选项B， 不符合二次函数的定义， 选项B不符合题意； 对于选项C， 不符合二次函数的定义， 选项C不符合题意； 对于选项D， 不符合二次函数的定义， 选项D不符合题意； 故选：． 根据二次函数的定义对各选项逐一进行判断即可得出答案． 本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 2.已知是关于的二次函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.函数是常数是二次函数的条件为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. 【答案】D  4.已知函数是二次函数，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 任意实数 【答案】C  5.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若关于的函数是二次函数，则           ． 【答案】  7.二次函数中，当时，的值是          ． 【答案】  8.将二次函数化成一般形式为          ，它的二次项系数为          ，一次项系数为          ，常数项为          ． 【答案】；；；。 9.若是关于的二次函数，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法，要注意二次项系数不等于． 根据二次函数表达式中二次项系数不等于，最高次项指数为列出方程，求出的值即可． 【解答】 解：由题意可知，且， 即，且， 解得：． 10.等边三角形的边长为，面积为，则与的函数关系式为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.若是的二次函数，求出它的解析式． 【答案】解：根据二次函数的定义可得，且，解得或  当时，；当时，  综上所述，该二次函数的解析式为或．  12.判断函数是否为二次函数？若是二次函数，写出二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】解：，是二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．  13.某中学某毕业班共有名同学，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手次，试写出与之间的函数解析式，并判断是不是的二次函数． 【答案】，且为整数，是的二次函数  14.某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，设利润为元 求与的函数关系式； 当利润为元时，求的值． 【答案】(1)解：由题意，得；  (2)由题意，得，解得，.答：当利润为1000元时，的值是80或50.  15.如图，有总长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边为，面积为． 求与的函数关系式及的取值范围； 如果要围成面积为的花圃，的长度是多少？ 【答案】(1)解：∵AB＝x m， ∴BC＝（24－3x）m， ∴y＝－3x2＋24x， ∵0＜24－3x≤10， ∴；   (2)当y＝45时，即－3x2＋24x＝45， ∴x1＝3（舍去），x2＝5． ∴当AB为5 m时，面积为45 m2．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09课 第二十二章二次函数22.1.1二次函数的定义人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 【这里需要强调】：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2、二次函数的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3、根据实际问题的等量关系列二次函数：①审题；②确定自变量和函数字母；③找两个变量间的等量关系；④对等量关系式进行化简，写成二次函数一般形式 考点01 二次函数的判断 例题1（1）.下列函数中，是的二次函数的是     ． A. B. C. D. 例题1（2）.下列每组变量之间的关系为二次函数的是． A. 正方形周长与边长的关系 B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C. 速度一定时，路程与时间的关系 D. 等边三角形的面积与边长的关系 变式1（1）.下列关于的函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 变式1（2）.下列函数关系中，是二次函数的有(    ) A. 在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系 B. 当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系 C. 等边三角形的周长与边长之间的关系 D. 正方形的边长为，如果边长增加，那么面积增加，则与之间的关系 变式1（3）.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 考点02 二次函数的一般式 例题2. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 变式2（1）. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 变式2（2）. 已知二次函数，则其二次项系数，一次项系数，常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 变式2（3）. 二次函数的二次项系数是(    ) A. B. C. D. 变式2（4）. 二次函数的二次项系数与常数项的和是          ． 变式2（5）.函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 变式2（6）.下列函数中，哪些是关于的二次函数？若是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． ；；是常数，且 考点03 根据二次函数的概念求字母的值 例题3（1）.若是关于的二次函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 变式3（1）.已知是关于的二次函数，那么的值为  (    ) A. B. C. D. 变式3（2）.已知是关于的二次函数，那么的值为(    ) A. B. C. D. 变式3（3）.若是二次函数，则的取值范围是          ． 变式3（4）.若是关于的二次函数，则          ． 变式3（5）.若关于的函数是二次函数，则的值为          ． 考点04 列二次函数的解析式 例题4.如图，在四边形中，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 变式4（1）.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放个垃圾桶，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 变式4（2）.已知矩形的周长为，矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱设矩形的另一条边的长为，圆柱的侧面积为，则与之间的函数解析式为          ． 变式4（3）.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为，设其中一条直角边长为，则该直角三角形的面积与之间的函数解析式为          ． 变式4（4）.如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． 写出与的函数关系式；上述函数是什么函数？自变量的取值范围是什么？ 变式4（5）.某校九班共有名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手次，试写出与之间的函数关系式，并判断是不是的二次函数． 变式4（6）.已知一个菱形两条对角线的长的和为，设其中一条对角线的长为． 设菱形的面积为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； 当时，菱形的面积为多少？ 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知是关于的二次函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.函数是常数是二次函数的条件为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. 4.已知函数是二次函数，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 任意实数 5.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若关于的函数是二次函数，则           ． 7.二次函数中，当时，的值是          ． 8.将二次函数化成一般形式为          ，它的二次项系数为          ，一次项系数为          ，常数项为          ． 9.若是关于的二次函数，则的值为          ． 10.等边三角形的边长为，面积为，则与的函数关系式为          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.若是的二次函数，求出它的解析式． 12.判断函数是否为二次函数？若是二次函数，写出二次项系数、一次项系数、常数项． 13.某中学某毕业班共有名同学，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手次，试写出与之间的函数解析式，并判断是不是的二次函数． 14.某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件，设利润为元 求与的函数关系式； 当利润为元时，求的值． 15.如图，有总长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边为，面积为． 求与的函数关系式及的取值范围； 如果要围成面积为的花圃，的长度是多少？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$