数列大题两个重点问题突破（通项与求和）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

解题觉醒 数列大题两个重点问题突破 求数列的通项公式 数列求和问题 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 一、求数列的通项公式 类型一 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 一般此种题型适用于选择题或填空题，根据所给的数据或图形推导出其排列规律，进而根据规律写出该数列的通项公式。 索引 第四章 数列 【例1】古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示。把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{ an }，写出a5、a6以及an。 【分析】通过观察每个图点的排列规律可以看出，第几个图上就有几行点数，且第一行有一个点，剩下的行数都比上一行多1个点。 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 a5=1+2+3+4+5=15 a6=1+2+3+4+5+6=21 an=1+2+3+…+n 索引 第四章 数列 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项。使用观察法时要注意 ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(-1)n或者(-1)n-1 部分。 ②考虑各项的变化规律与序号的关系。 ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{ n2 }、{ 2n }与(-1)n有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列。 索引 第四章 数列 类型二 公式法 若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 索引 第四章 数列 类型三 累加法 形如an+1=an+f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于的n函数）可构造： 将上述式子两边分别相加，可得 索引 第四章 数列 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 索引 第四章 数列 【例2】已知a1=0，an+1=an+2n-1，求{ an }的通项公式。 累加 符合式子 索引 第四章 数列 【例3】已知数列{ an }满足a1=2，an+1=an-n，求a100。 累加 索引 第四章 数列 【例4】在数列{ an }中， ，求a5。 累加 索引 第四章 数列 类型四 累乘法 形如 或 型的递推数列（其中f(n)是关于的n函数）可构造： 将上述式子两边分别相乘，可得 索引 第四章 数列 【例5】已知数列{ an }的前n项和为Sn，且满足 ，求{ an }的通项公式。 a1符合式子 索引 第四章 数列 类型五 构造数列法 1．形如 （其中p，q均为常数且p ≠ 0）型的递推式 （1）若p = 1时，数列{ an }为等差数列； （2）若q = 0时，数列{ an }为等比数列； （3）若p ≠ 1且q ≠ 0时，数列{ an }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求。 索引 第四章 数列 法一： 设 即 构成以p为公比的等比数列，再转化为累加法便可求出an。 法二： 两式相减并整理得 即 构成以 为首项，以p为公比的等比数列 索引 第四章 数列 2．形如 型的递推式 （1）当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时 法一： 设 通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1+A+B为首项，以p为公比的等比数列{ an+A+B }，再利用等比数列的通项公式求出{ an+A+B }的通项整理可得an。 法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得 两式相减得 即用 型的递推式解决问题。 索引 第四章 数列 （2）当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时 法一： 设 通过待定系数法确定的值，转化成以a1+f(1)为首项，以p为公比的等比数列{ an+f(n) }，再利用等比数列的通项公式求出{ an+f(n) }的通项整理可得an。 法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得 两边同时乘以q得 两式相减得 即用 型的递推式解决问题。 索引 第四章 数列 法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q，r均为常数）时 要先在原递推公式两边同时除以qn+1，得 引入辅助数列{ bn }（其中 ），得 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 （3）当f(n)为任意数列时，可用通法 要先在原递推公式两边同时除以qn+1，得 令 ，得 在转化为累加法，求bn出之后得an=pnbn 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 类型六 对数变换法 形如 型的递推式 在原递推式两边取对数得 令 得： 即用 型的递推式解决问题。 索引 第四章 数列 类型七 倒数变换法 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 类型八 形如 an+2=pan+1+qan 型的递推式 索引 第四章 数列 二、数列求和问题 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 2．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。 （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和。 （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解。 （4）倒序相加法：如果一个数列{ an }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解。 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 索引 第四章 数列 $$