25.2 用列举法求概率 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 25.2 用列举法求概率 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 掌握用列举法（列表法、画树状图法）计算简单事件的概率。 2. 能分析两步及两步以上试验的所有可能结果，确保不重复、不遗漏。 3. 理解等可能性在概率计算中的重要性，避免主观臆断。 4. 能解决实际问题中的概率问题，如游戏公平性、抽奖概率等。 知识点梳理 1. 列举法的适用条件 · 适用于有限个等可能结果的事件（如掷骰子、摸球、抽签等）。 · 关键：确保所有可能结果等可能且不重复、不遗漏。 2. 列举法的两种方法 · 列表法：适用于两步试验（如掷两枚硬币、两次摸球）。 · 步骤： 1. 列出第一试验的所有可能结果。 2. 对每个结果列出第二试验的可能结果。 3. 统计满足条件的事件数，计算概率。 · 树状图法：适用于多步试验（如三次摸球、三人比赛胜负）。 · 步骤： 1. 从初始事件开始分支，列出每一步的可能结果。 2. 沿路径写出所有可能的组合。 3. 计算目标事件的概率。 3. 概率计算公式 4. 实际应用 · 判断游戏规则是否公平（如双方获胜概率是否相等）。 · 计算组合事件的概率（如“至少”“同时”等条件）。 易错点提醒 1. 遗漏或重复结果 · 错误：列表或画树状图时漏掉某些组合（如掷两枚硬币漏掉“正反”）。 · 纠正：按顺序系统列举（如先列第一枚结果，再列第二枚）。 2. 忽略等可能性 · 错误：认为“掷两枚骰子和为5”有4种情况（1+4, 2+3, 3+2, 4+1），但误算总结果为6（实际是36种）。 · 纠正：明确每一步的独立性和等可能性。 3. 混淆“有序”与“无序” · 错误：摸球问题中，若球有编号，认为“摸到1和2”与“2和1”是同一情况（若考虑顺序则不同）。 · 纠正：根据题目判断是否区分顺序。 4. 错误理解“放回”与“不放回” · 错误：不放回摸球时，第二次摸球的可能结果数未减少。 · 纠正：不放回试验中，总结果数逐次减少（如第一次6球，第二次5球）。 知识点小结 1. 核心方法 · 列表法：适合两步试验，清晰呈现所有组合。 · 树状图法：适合多步试验，避免遗漏路径。 2. 关键步骤 · 确认试验的等可能性。 · 系统列举所有可能结果。 · 计算概率时，分子分母需基于同一标准（如有序或无序）。 3. 注意事项 · 复杂问题可先简化（如固定一个变量再分析）。 · 检验结果是否合理（如概率值是否在0到1之间）。 注：本节是概率计算的核心方法，需通过大量练习掌握列举技巧，为后续学习概率的复杂应用（如独立事件、概率模型）打下基础。 巩固练习 一、选择题 1．用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 2．全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A． B． C． D． 3．“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上， 爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（　　） A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断 4．活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．科技馆有A、B两个入口，D、E、F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（　　） A． B． C． D． 6．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形；转动转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为　 　. 8．某密码锁的密码是一个四位数字的号码，每位上的数字都可以是0到9中的任意一个，某人忘了密码的最后一位号码，此人开锁时，随意拨了最后一位号码正好能把锁打开的概率是　 　；若此人忘了中间两位号码，随意拨了中间两位号码正好能把锁打开的概率是　 　. 9．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是　 　． 10．一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中　 　获胜的机会大． 11．如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是　 　． 12．在地面铺满的正方形地板，现在向上抛掷半径为的圆碟，求圆碟与地板间的间隙相交的概率大约是　 　． 三、解答题 13．如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是90°，指针绕着圆心自由转动2次 （1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　 　； （2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率 14．在"重走建军路，致敬新四军"红色研学活动中，学校建议间学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动.A.新四军纪念馆（主馆区）；B．新四军重建军部旧址（泰山庙）；C．新四军重建军部纪念塔（大铜马），小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站. （1）小明选择基地A的概率为　 　； （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率. 15．让我们一起来玩转盘游戏吧！同时自由转动如图甲，乙两个转盘(两个转中指针落在每个数字上的机会均等) ，转盘停止后，指针各指向一个数，将所指的两个数相乘．求两个数之积为奇数的概率． 16．设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1，b可取的值是-1，1，2． （1）当a，b分别取何值时，所得函数有最小值？直接写出满足条件的函数，以及相应的最小值． （2）如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数表达式？从这些函数中任取一个，求取到当x>0时，y随x的增大而减小的函数的概率． 17．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为. （1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果. （2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗?请你用概率的知识解释. 18．杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，杨老师一共调查了　 　名学生，其中C类女生有　 　名，D类男生有　 　名； （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请杨老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率． 参考答案 1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7． 8．； 9． 10．乙 11． 12． 13．（1） （2）解：把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份， 画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4，所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率 14．（1） （2）解：画树状图如下： 由上可得，一共有9种等可能性，其中小明和小丽选择相同基地的可能性有3种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率为 15．解：根据题意画出树状图如下： 由图可知：共有24种等可能的结果数，其中两数之积为奇数的情况数有6种， ∴P（ 两个数之积为奇数）=. 16．（1）解：y=x2-x+1，最小值为 ；y=x2+x +1，最小值为；y=x2+2x+1，最小值为0． （2）解：根据题意画出树状图如下： 可得到9个不同的函数解析式， ∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是y=-x2-x+1，y=-x+1， ∴概率为. 17．（1）解：画树状图如下， 由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种； （2）解：不公平，理由如下： ∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0， 而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0， 当a=，b=3时，b2-4a=7＞0， 当a=，b=2时，b2-4a=2＞0， 当a=，b=1时，b2-4a=0， 当a=，b=3时，b2-4a=8＞0， 当a=，b=2时，b2-4a=3＞0， 当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0， 当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0， 当a=1，b=2时，b2-4a=0， ∴(甲获胜)，P(乙获胜)， 而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平. 18．（1）20；2；1 （2）解：补全图形如下： （3）解：因为A类的3人中，女生有2人， 所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$