入学测试题练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师版数学九年级入学测试题练习 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：北师版八年级下册全部内容 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在代数式 ，，， 中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意π是一个具体的数，不是字母． 根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：代数式，，，中分式有，，共2个， 故选：B． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 3．已知，，是实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、∵，∴，故选项A不正确，不符合题意； B、，若，则，故选项B不正确，不符合题意； C、∵，当,时，，故选项C不正确，不符合题意； D、∵，两边同时乘以再同时加上，得，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 4．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解. 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式. 【详解】A. 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； B. 右边为，包含加法运算，未完全分解为积的形式，不符合因式分解要求； C. 右边为，包含减法运算，同样未形成积的形式，不是因式分解； D. 左边可写成，即两个相同因式的乘积，符合因式分解的定义. 故选：D. 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可解答． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示正确的是： ． 故选：C． 6．全国两会期间，大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，参与掀起的“人工智能”浪潮席卷而来．某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出单独处理需要小时，则可得的工作效率为，的工作效率为，然后根据合作效率之和等于总效率建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：单独处理需要小时， 则的工作效率为，的工作效率为， ∵若两模型合作处理，仅需小时即可完成， ∴， 故选：C． 7．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 8．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中进行分类讨论．根据新定义可得：若 ，则， 若，则，分别求出，即可． 【详解】解：根据新定义可得： 若 ，即，则， ∴， 解得 ， ∵ ， ∴不符合题意，舍去； 若，即，则， ∴， 解得， 经检验为分式方程的解， ∵ ， ∴符合题意； 故选：B． 9．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP′= AO=2， ∴PQ的最小值=2OP′=4， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 10．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式， 即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后得到点， 所以． 故答案为：7． 13．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 【答案】六 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 14．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：将点代入得，， 解得，， 所以点A的坐标为， 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 15．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 16．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 【详解】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确； ②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得 3﹣x﹣m＝x﹣2 ∴x＝， ∵原分式方程无解， ∴x＝2， ∴＝2， 解得m＝1， 故②正确； ③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得 （a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5， （x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5， ∴， 解得： 则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为， 故③正确． 综上，正确答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤尤其不要忘记检验是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 经检验是分式方程的解． （2）解： 去分母得，， 整理得， 解得， 当时，， 是增根， 原分式方程无解． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）（2） ，整数解为 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 它的整数解为 20．（1）先化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）1 【分析】本题考查了分式的化简求值，列二元一次方程组解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，再根据分式有意义的条件，代入合适的值求解； （2）先通分化简，再得到二元一次方程组，解出，再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式= ， ∵， ∴， ∴只能选，当时， 原式． （2）解：∵ ∴ 解得： ∴． 21．如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出． (2)绕原点顺时针旋转得到，作出． (3)求面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3.5 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据坐标可确定平移方式，即可得出，，即可作出； （2）根据旋转的性质，得出各点的对应点，顺次连接即可； （3）用所在正方形的面积减去三个小三角形的面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为， ∴平移的方式为：向左平移个单位，再向下平移个单位， ∵，， ∴，， ∴如图所示： （2）解：如图所示． （3）解：． 22．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，结合已知即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为等边三角形． 23．2025年国家补贴政策以“加力扩围”为核心，覆盖数码产品、家电、汽车等多个民生消费领域． 在政策的刺激下，某商场的空调购买量明显增加．现有甲、乙两位安装师傅需对空调进行安装，已知乙安 装师傅平均每天安装数量比甲安装师傅平均每天安装数量多3台，甲安装师傅单独安装60台空调所需要 的时间与乙安装师傅单独安装90台空调所需要的时间相等． (1)求甲、乙两位安装师傅平均每天分别安装多少台? (2)为了保证安装质量和安全，两位安装师傅不能同时工作，并且要求甲安装师傅的工作时间不少于乙安 装师傅工作时间的2倍，那么15天里，两位安装师傅最多能安装多少台空调? 【答案】(1)甲安装师傅平均每天安装6台，乙安装师傅平均每天安装9台 (2)两位师傅最多能安装105台空调 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲安装师傅平均每天安装台，则乙每天安装台。根据甲安装台与乙安装台时间相等，列分式方程求解； （2）设甲工作天，则乙工作天，根据甲工作时间不少于乙的倍，列不等式求解的范围，设总安装量为，再根据一次函数的性质求得总安装量的最大值。 【详解】（1）解：设甲安装师傅平均每天安装台，则乙每天安装台 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意； 乙每天安装：（台） 答：甲每天安装台，乙每天安装台 （2）解：设甲安装师傅工作天，则乙工作天，根据题意得， 解得： 设总安装量为 ∴ ∵ 当取最小值时，总安装量最大， 当时： 24．阅读下列材料： 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立． 例如：分解因式． ∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积． 设 而，则有 ，得，从而 运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积； ②分解因式； （2）若与都是多项式的因式，求的值． 【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3 【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论； （2））设（其中M为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①，观察知，显然x=-1时，原式=0，则的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积． 故答案为：x=-1；（x+1） ②设另一个因式为（x2+ax+b）， （x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b =x3+（a+1）x2+（a+b）x+b ∴a+1=0 ，a=-1， b=3 ∴多项式的另一因式为x2-x+3． ∴． （2）设（其中M为二次整式）， 由材料可知，x=1，x=-2是方程的解， ∴可得， ∴②-①，得m-n=3 ∴的值为3． 【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键． 25．如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系． (3)如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据平行四边形性质可得进而得到，再根据四边形是平行四边形和翻折性质可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）根据平行四边形的性质证明可得，如图，过点D作可求得，根据，可得，根据条件证明可得，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由翻折性质可得： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折性质可得：， ∴， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师版数学九年级入学测试题练习 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：北师版八年级下册全部内容 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在代数式 ，，， 中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，是实数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．全国两会期间，大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，参与掀起的“人工智能”浪潮席卷而来．某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 8．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 9．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 10．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．因式分解： ． 12．在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 13．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 14．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 15．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 16．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．因式分解 (1) (2) 18．解分式方程： (1)； (2)． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 20．（1）先化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． （2）已知，求的值． 21．如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出． (2)绕原点顺时针旋转得到，作出． (3)求面积． 22．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)若，求证：为等边三角形． 23．2025年国家补贴政策以“加力扩围”为核心，覆盖数码产品、家电、汽车等多个民生消费领域． 在政策的刺激下，某商场的空调购买量明显增加．现有甲、乙两位安装师傅需对空调进行安装，已知乙安 装师傅平均每天安装数量比甲安装师傅平均每天安装数量多3台，甲安装师傅单独安装60台空调所需要 的时间与乙安装师傅单独安装90台空调所需要的时间相等． (1)求甲、乙两位安装师傅平均每天分别安装多少台? (2)为了保证安装质量和安全，两位安装师傅不能同时工作，并且要求甲安装师傅的工作时间不少于乙安 装师傅工作时间的2倍，那么15天里，两位安装师傅最多能安装多少台空调? 24．阅读下列材料： 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立． 例如：分解因式． ∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积． 设 而，则有 ，得，从而 运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积； ②分解因式； （2）若与都是多项式的因式，求的值． 25．如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系． (3)如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$