第11讲 函数的单调性与最大（小）值（知识清单+16题型讲解练+强化训练）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第11讲 函数的单调性与最大（小）值 知识清单 知识点01：函数的单调性 2 知识点02：函数单调性的判断与证明 3 知识点03：函数的最大（小）值 3 题型归纳 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 4 题型02：求函数的单调区间 8 题型03：根据函数的单调性求参数值 10 题型04：根据图像判断函数单调性 12 题型05：复合函数的单调性 15 题型06：利用函数单调性求最值或值域 18 题型07：根据函数的最值求参数 22 题型08：根据解析式直接判断函数的单调性 26 题型09：比较函数值的大小关系 28 题型10：根据函数的单调性解不等式 30 题型11：函数不等式恒成立（能成立）问题 32 题型12：分段函数的值域或最值 40 题型13：根据值域求参数的值或者范围 43 题型14：根据分段函数的单调性求参数 45 题型15：分段函数的单调性 48 题型16：根据分段函数的值域（最值）求参数 50 强化训练 54 知识点01：函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 2.复合函数的单调性 复合函数的单调性:一般地,对于复合函数y=f(g(x)),单调性如下表所示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数, 若一个函数是由多个简单函数复合而成的则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数. 【方法总结】判断复合函数单调性的步骤:先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性 3.抽象函数的单调性 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数 判断抽象函数单调性的方法: (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试, 4.由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 知识点02：函数单调性的判断与证明 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 知识点03：函数的最大（小）值 1.函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 2.图象法求函数最值的一般步骤 3.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 4.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 【例1】判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 【变式3】已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【详解】（1）由， 故此令，则， 则. （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 题型02：求函数的单调区间 【例2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的单调区间 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【变式1】函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【答案】 和 和 【知识点】求函数的单调区间 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 根据对勾函数的性质得函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 故答案为：和；和． 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间 【分析】利用反比例函数单调性直接求得答案. 【详解】函数是反比例函数，其单调递减区间是. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【知识点】求函数的单调区间 【分析】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性. 【详解】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 题型03：根据函数的单调性求参数值 【例3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 【变式2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知命题的真假求参数 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 题型04：根据图像判断函数单调性 【例4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 【变式2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【知识点】根据图像判断函数单调性、求函数的单调区间 【分析】根据图象的变化情况直接求解即可. 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 题型05：复合函数的单调性 【例5】函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【知识点】复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 【变式1】若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性 【分析】由复合函数的区间单调性及定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【知识点】复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 题型06：利用函数单调性求最值或值域 【例6】函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】由对勾函数的单调性求解. 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B 【变式1】函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 故选：A 【变式2】已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）已知，若的最小值为，写出的表达式． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】讨论函数的对称轴和区间的位置关系，即可得最值． 【详解】由题意可知，函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，如图1所示，函数在区间上单调递减， 所以最小值，即． ②当，即时，如图2所示，最小值． ③当时，如图3所示，函数在区间上单调递增，所以最小值． 综上，． 【变式4】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 题型07：根据函数的最值求参数 【例7】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 【变式1】（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据函数的最值求参数 【分析】由基本不等式求得当，时的范围，进而可求解. 【详解】当时，； 当时：，当且仅当，即时等号，此时. 当时，，当且仅当，即时等号，此时， 综上，. 若，则，由题，所以； 若，则，由题，所以， 故选：BC. 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 【答案】或0 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数 【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 题型08：根据解析式直接判断函数的单调性 【例8】下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用二次、绝对值、分式、初等函数的单调性判断各函数在对应区间的单调性即可. 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线，故在上单调递减，在上单调递增，A错误； 当时，，单调递减，B错误； 的图象是由的图象向右平移2个单位长度得到的，故在和上单调递减，C正确； 因为和均在上单调递增，由增函数+增函数＝增函数，D错误． 故选：C 【变式1】下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数解析式直接判断即可. 【详解】为上的减函数；，在上单调递减； 为上的增函数，符合题意；在上单调递减； 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可. 【详解】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 【变式3】（多选）（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）关于函数的单调性的叙述正确的是（   ） A．函数在上是递增的 B．函数在上是递增的 C．函数在上是递增的 D．函数的递增区间是和 【答案】AD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据反比例函数的图象及函数单调性的定义可判断. 【详解】作出函数的图象，定义域为， 函数的单调区间之间不能用并集形式，故BC错误， 结合函数图象可知，函数在和上都是递增的. 故选：AD. 题型09：比较函数值的大小关系 【例9】若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 【变式1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 【变式3】已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 题型10：根据函数的单调性解不等式 【例10】已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】由解得． 【变式1】已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是． 故答案为： 题型11：函数不等式恒成立（能成立）问题 【例11】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 【变式1】已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】由已知求得函数解析式，然后结合对勾函数的性质求得的取值范围（最大值和最小值），再结合不等式有解得参数范围. 【详解】由题意，得解得，，所以． 当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增 （破瓶颈：我们称形如的函数为对勾函数， 该函数的定义域为，在，上单调递减， 在，上单调递增）， 当时，；当或时，， 所以，则． 不等式，即，则在上有解， 所以且，即， 则实数m的取值范围为． 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 【变式3】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可． 【详解】， 所以在时单调递减， 所以，，即； 因为对存在，存在，使， 所以， 所以存在，使得， 即，即能成立， 令，则要使在能成立， 只需使， 根据增函数减减函数易知：函数在上单调增， 所以， 故只需，所以的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据条件，得到，由题设有，再分和两种情况，求出的最小值，即可求解. 【详解】因为，，所以， 又对于任意的，存在，使得，则， 又，， 当时，，所以，解得， 当时，，所以，解得， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【变式5】（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 【变式6】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； （2）当时，求得，转化为当，恒有，令，得到，分类讨论，求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 题型12：分段函数的值域或最值 【例12】若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 【变式1】已知函数在处取得最小值，则的取值范围是 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值 【分析】结合函数的单调性和最小值定义求解即可. 【详解】当时，单调递减，当时，单调递增， 因为在处取得最小值，所以，解得，故的取值范围是． 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、分段函数的值域或最值 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 0 【知识点】解分段函数不等式、分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数图像易得最小值为0；分段解不等式即可. 【详解】作出的图象如图所示：    所以当时，函数取得最小值0． 当时，即，解得，又，所以； 当时，即， 即，解得，又，所以． 综上，的取值范围是. 故答案为：. 题型13：根据值域求参数的值或者范围 【例13】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求二次函数的值域或最值 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、分段函数的值域或最值 【分析】分情况讨论，结合单调性即可求. 【详解】当时，， 所以在区间内单调递增，值域为， 所以，解得， 所以； 当时，， 所以在区间内单调递减，值域为， 则，，解得， 所以； 当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故值域为或， 若,则； 若,则， 综上，的取值范围为． 故答案为： 题型14：根据分段函数的单调性求参数 【例14】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【详解】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，． 【变式1】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 【变式2】（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）若函数在上为增函数，求的取值范围. 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】由在上递增， 则，即. 在上递增，则， 又在上为增函数， 所以还需，得. 综上：的取值范围是. 题型15：分段函数的单调性 【例15】（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、分段函数的单调性 【分析】分，两种情况讨论，并根据解析式直接判断即可． 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减， 当时，，在单调递减，在单调递增， 故的单调减区间为和. 故选：C. 【变式1】已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性 【分析】根据分段函数单调性及充分必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，是上的增函数， 而由函数是上的增函数，可得 ，即得，推不出. 则“”是“函数是上的增函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分段函数不等式、分段函数的单调性 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，则 ；的单调递增区间为 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的单调性 【分析】代入求出函数值；利用分段函数单调性求出递增区间. 【详解】函数，则； 函数在上单调递增，在上单调递增， 而当时，， 所以函数的单调递增区是. 故答案为：； 题型16：根据分段函数的值域（最值）求参数 【例16】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数的值域是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和范围，从而求出实数的取值范围. 【详解】当时，，其开口向上，对称轴为，值域为， 由函数的值域是， 则当时，的值域应包含，所以为减函数， 所以，解得，故的取值范围是. 故选：C 【变式2】已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】根据分段函数解析式，首先由二次函数性质确定上的单调性和最值，再讨论参数a，结合的单调性及存在最小值，求参数范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 若，在上单调递增，其值域为， 此时不存在最小值，不符合； 若，则在上，此时存在最小值，满足； 若，在上单调递减，其值域为， 此时，要使函数存在最小值，只需，即，故； 综上，实数a的取值范围. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得解析式，据此可得答案. 【详解】由题，. 注意到在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 即值域为. 故选：D 3．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可； 【详解】由是上的增函数， 需满足：解得， 故选：D. 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二、多选题 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 【答案】ABD 【分析】A选项，令得； B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性； C选项，赋值得到； D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，令得，∴，A正确； B选项，任选，且，中，令，得， 因为当时，，又，所以， 故， 所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以，中，令得， ∵，∴， 由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确. 故选：ABD 6．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（   ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法令，即可判断选项A；不妨设，设，利用定义证明其单调性即可判断选项B；设，利用定义即可判断选项C；由函数在为增函数，所以，，结合证明，即可判断选项D. 【详解】依题意，当时，恒有， 令则， 即，所以，故A正确； 不妨设，设， 则， 因为，所以， 所以， 所以在为增函数，故B正确； 设，的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，故C错误； 由上述判断可知，函数在为增函数， 所以，所以， 所以， 同理，所以， 所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 7．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）当时，的最小值是 ． 【答案】4 【分析】利用对勾函数单调性求出最小值. 【详解】函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为：4. 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】由题意，解得． 故答案为：. 10．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】若使在上单调递增，则； 若使在上单调递增，则． 若使函数在上单调递增， 则解得，故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛： 解决分段函数单调性问题，关键是分别分析各段函数的单调性，对于二次函数，根据对称轴与单调性的关系确定参数范围；对于一次函数，根据的系数与单调性的关系确定参数范围. 11．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【分析】采用分离参数法分析函数的单调性，确定函数的最大、最小值即可求解. 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在上是增函数，，，且对任意，均有，则 ． 【答案】 【分析】可根据已知条件，通过对进行变形，结合函数在上的单调性及已知函数值来求解. 【详解】因为，那么. 已知函数是上的增函数，且，. 因为，令，可得. 令，则，所以. 由于函数在上单调递增，且，所以当时，. 又因为，所以. 将代入，可得. 故答案为：1. 13．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·四川成都·期中）已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，都有， 所以在上为增函数， 当时，，易知函数在上为增函数； 当时，则，解得， 综上，，则a的取值范围为， 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）结合（1）中函数的单调性求出函数的最值. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，. 16．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案. （2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案. 【详解】（1）， 当且仅当即时取等号，故的最小值为2， （2）易知在上单调递增， 因为，故， 整理得，即，解得， 故所求为． 17．（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （2）结合函数的单调性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）证明：取任意，，且， 有， 由，可得，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由在上单调递增， 可得在上，， 依题意得，， 又，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）分类讨论即可求解. 【详解】（1） 当时，，则， 当时，，则， （2）任取，故， 由于,所以， 因此，故， 因此函数在区间上是增函数， （3）当时，由时，，解得或， 当时，由时，，解得， 综上可得不等式的解集为． 19．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的单调性与最大（小）值 知识清单 知识点01：函数的单调性 2 知识点02：函数单调性的判断与证明 3 知识点03：函数的最大（小）值 3 题型归纳 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 4 题型02：求函数的单调区间 6 题型03：根据函数的单调性求参数值 6 题型04：根据图像判断函数单调性 7 题型05：复合函数的单调性 8 题型06：利用函数单调性求最值或值域 8 题型07：根据函数的最值求参数 9 题型08：根据解析式直接判断函数的单调性 10 题型09：比较函数值的大小关系 11 题型10：根据函数的单调性解不等式 11 题型11：函数不等式恒成立（能成立）问题 12 题型12：分段函数的值域或最值 13 题型13：根据值域求参数的值或者范围 14 题型14：根据分段函数的单调性求参数 14 题型15：分段函数的单调性 15 题型16：根据分段函数的值域（最值）求参数 16 强化训练 17 知识点01：函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 2.复合函数的单调性 复合函数的单调性:一般地,对于复合函数y=f(g(x)),单调性如下表所示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数, 若一个函数是由多个简单函数复合而成的则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数. 【方法总结】判断复合函数单调性的步骤:先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性 3.抽象函数的单调性 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数 判断抽象函数单调性的方法: (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试, 4.由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 知识点02：函数单调性的判断与证明 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 知识点03：函数的最大（小）值 1.函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 2.图象法求函数最值的一般步骤 3.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 4.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 【例1】判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【变式3】已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 题型02：求函数的单调区间 【例2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 题型03：根据函数的单调性求参数值 【例3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 题型04：根据图像判断函数单调性 【例4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 题型05：复合函数的单调性 【例5】函数的单调递减区间为 ． 【变式1】若函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 【变式2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 题型06：利用函数单调性求最值或值域 【例6】函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【变式1】函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【变式2】已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）已知，若的最小值为，写出的表达式． 【变式4】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型07：根据函数的最值求参数 【例7】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 题型08：根据解析式直接判断函数的单调性 【例8】下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 【变式1】下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）关于函数的单调性的叙述正确的是（   ） A．函数在上是递增的 B．函数在上是递增的 C．函数在上是递增的 D．函数的递增区间是和 题型09：比较函数值的大小关系 【例9】若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【变式3】已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 题型10：根据函数的单调性解不等式 【例10】已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【变式3】已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 题型11：函数不等式恒成立（能成立）问题 【例11】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【变式4】（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【变式5】（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【变式6】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 题型12：分段函数的值域或最值 【例12】若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【变式1】已知函数在处取得最小值，则的取值范围是 【变式2】（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【变式4】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满足，则的取值范围是 ． 题型13：根据值域求参数的值或者范围 【例13】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 题型14：根据分段函数的单调性求参数 【例14】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）若函数在上为增函数，求的取值范围. 题型15：分段函数的单调性 【例15】（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 【变式1】已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，则 ；的单调递增区间为 ． 题型16：根据分段函数的值域（最值）求参数 【例16】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数的值域是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【变式4】（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 6．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（   ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 7．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的值可以为 C．存在，使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 三、填空题 8．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）当时，的最小值是 ． 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 11．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 12．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在上是增函数，，，且对任意，均有，则 ． 13．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 14．（23-24高一上·四川成都·期中）已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 16．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 19．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$